Cепаратриса в задаче о растяжении с кручением при жёстком нагружении Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

СЕПАРАТРИСА В ЗАДАЧЕ О РАСТЯЖЕНИИ С КРУЧЕНИЕМ ПРИ ЖЁСТКОМ НАГРУЖЕНИИ

В. В. Стружанов1, Е. Ю. Просвиряков2

1 Институт машиноведения УрО РАН,

620219, г. Екатеринбург, ул. Комсомольская, 34.

2 Уральский государственный университет им. А. М. Горького,

620083, г. Екатеринбург, пр-т Ленина, 51.

E-mails: [email protected], [email protected]

В настоящей 'работе проведено построение сепаратрисы при растяжении с кручением одной механической системы ее при жестком нагружении, в состав которой входит материал, обладающий деформационным разупрочнением (свой-ства материала описываются невыпуклым потенциалом).

Ключевые слова: растяжение с кручением, сепаратриса, устойчивость, потеря устойчивости, бифуркационное множество.

Введение. Разрушение конструкций (механических систем) в общем случае представляет собой глобальное явление того же характера, что явление неустойчивости движения и явление невозможности равновесия. Следовательно, при квазистатиче-ском нагружении разрушение и неразрушение связаны с устойчивостью равновесия. Если силы, действующие на систему, консервативны (система градиентна), то состояния равновесия (устойчивые или неустойчивые) описываются системой уравнений П (ф-, ci) = 0. При этом тип устойчивости определяется собственными значениями матрицы Гессе H (П) функции П. Здесь П — потенциальная функция, ф-, ci — соответственно параметры состояния и управления, Vф —оператор Гамильтона в пространстве состояний. Данные уравнения в зависимости от параметров управления могут не иметь решений, иметь одно или более чем одно решение. Отсюда проблема разрушения сводится к задаче о том, каким образом состояния равновесия ф- (ci) потенциальной функции П изменяются при изменении управляющих параметров.

Особую роль играют вырожденные критические точки потенциальной функции в пространстве состояний, где по крайней мере одно из собственных значений матрицы Гессе обращается в нуль. В них меняется тип равновесия [1]. Отображение таких точек из пространства состояний в пространство управлений образуют сепаратрису потенциальной функции, которая разделяет пространство управлений на открытые области, где уравнение VфП = 0 имеет одно и то же число решений. Внутри области, ограниченной сепаратрисой, несколько решений, вне этой области — одно решение. Сепаратриса фактически представляет собой бифуркационные множества. При первом пересечении путём нагружения сепаратрисы (вхождение в область ею ограниченной) у системы появляются новые положения равновесия, как устойчивые, так и неустойчивые. Однако согласно принципу промедления [1] система остаётся в устойчивом положении до тех пор, пока не осуществится выход из области, ограниченной сепаратрисой. В этот момент и осуществляется скачкообразный переход системы из одного положения равновесия в другое (потеря устойчивости). Ниже приведён пример построения сепаратрисы в задаче о растяжении с кручением полого цилиндрического образца.

1. Механическая система и свойства образца. Рассмотрим систему, состоящую из

Валерий Владимирович Стружанов (д.ф.-м.н., проф.), главный научный сотрудник, лаборатория прикладной механики. Евгений Юрьевич Просвиряков, аспирант, каф. теоретической механики.

трёх элементов (рис. 1). Полый образец 3 имеет специальную геометрию такую, что удлинение по величине равно деформации растяжения е, угол закручивания—деформации сдвига 7, растягивающая сила — растягивающему напряжению а, а крутящий момент — касательному напряжению т [2]. У упругого стержня 1 сечение В — В двигается поступательно (кручение блокировано), у упругого стержня 2 сечение С — С может только поворачиваться (поступательное движение блокировано). Жёсткость стержня 1 при растяжении равна Ах, жёсткость стержня 2 при кручении— А2 [2].

Рис. 1. Механическая система

Свойства материала образца при активном деформировании заданы невыпуклым потенциалом, описывающим как стадию упрочнения, так и стадию разупрочнения [3]:

П(є,7)

(Еє2 + С 72) віп(а(Еє2 + С?72))

4 + 4а ’

если (є, 7) Є О; если (є, 7) Є О,

где а :

100п/Е, Е = 2 • 104 кг/мм2, С = 7,7 • 104 кг/мм2, а П = |е, 7 : е, 7 ^ 0, Ее2 + |. Нагружение ведётся посредством монотонно возрастающих величин и

+ с72

и ф.

2. Построение сепаратрисы. Состояние системы описывает потенциальная функция [2]

(и — е) 2

+ А2

(Ф-1Г

2

+ п(є,7),

где и, ф, Ах, А2 —параметры управления системой; е, 7 — параметры состояния. Множество критических точек функции Ш (решений уравнений УШ = 0, где V — оператор Гамильтона в пространстве состояний) образует четырёхмерное многообразие Qw равновесных состояний [2]. Глобальное качественное поведение семейства функций Ш полностью определяется множеством вырожденных критических точек. При проектировании многообразия Qw в пространство управления М4 = МД х МЦ (Мд = {Ах, А2}, МЦ = {и, ф}) множество вырожденных критических точек образует множество меры нуль, называемое сепаратрисой, которая представляет собой бифуркационное множество [1]. Сепаратриса разбивает пространство управляющих параметров М4 функции Ш на открытые области, каждая из которых параметризует лишь качественно подобные функции, имеющие одно и то же число положений равновесия.

В пространстве состояний множество вырожденных критических точек определяет уравнение [2]

Н(Ж) — (Аі + сіі) (А2 + С22) — с22 — 0,

(1)

ні

где Н(Ш) — матрица Гессе функции Ш, ехх = П,ее, ех2 = е2х = П,е7, с22 = П, инкрементальные модули (запятой обозначены частные производные). Линии вырожденных критических точек показаны для различных значений Ах и А2 на рис. 2.

При Ах = А2 =0 уравнение (1) определяет две линии вырожденных точек, которые не пересекаются (рис. 2). При дальнейшем увеличении параметров Ах и А2

0

Рис. 2. Линии вырожденных точек

кривые 1 и 2 «сближаются» и, наконец, пересекаются в некоторой точке. Отметим, что возможно два варианта пересечений. При первом варианте кривые 1 и 2 пересекаются на оси О7, а затем «отрываются» от неё (рис. 2), а при втором варианте аналогичная ситуация происходит на оси Ое. Положим в уравнении (1) е = 0. В этом случае (1) преобразуется в совокупность уравнений

Ах + с]х = 0, А2 + С22 = 0. (2)

Отметим, что верхний индекс указывает на переменную, от которой в данном случае зависят инкрементальные модули.

Очевидно, что первое уравнение из (2) только при Ах = 0 имеет единственное решение, которое при А2 = 0 входит во второе уравнение (2). При Ах > 0 уравнение Ах +с7х = 0 решений не имеет, поэтому в дальнейшем интерес представляют решения только уравнения А2 + с^ = 0.

Уравнение А2 + С22 =0, а следовательно, и уравнение (2), имеет два решения при 0 ^ А2 < 12119,6, а при А2 = 12119,6 — единственное (кратное) решение (кривые

1 и 2 пересеклись на оси О7). Значение параметра А2, соответствующее кратному решению, определяется из следующей системы уравнений:

А2 + с"[1 =0, — (А2 + с]2) = 0.

Отметим, что при А2 > 12119,6 данное уравнение решений не имеет, следовательно, точка пересечения кривых 1 и 2 уже не лежит на оси О7. В этом случае линии вырожденных критических точек располагаются аналогично тому, как они изображены на рис. 2. На рис. 2 точка В —двойная вырожденная критическая точка. Однако ещё требуется найти оценки для параметра Ах , поскольку если взять этот параметр очень большим даже при небольшом значении А2, то уравнение (1) не будет иметь решений, следовательно, можно добиться полного исчезновения вырожденных критических точек [2].

Для второго случая по аналогии требуется проанализировать количество решений уравнения

Ах + с^х = 0

в зависимости от значений параметра управления Ах . Получим, что данное уравнение имеет два решения при 0 ^ А2 < 31479,6, при А2 = 31479,6 — единственное (кратное) решение (кривые 1 и 2 пересеклись на оси Ое), а при Ах > 31479,6 данное уравнение решений не имеет, следовательно, точка пересечения кривых 1 и 2 уже не лежит на оси Ое.

Таким образом, дважды вырожденные критические точки существуют при Ах > 31479,6 и А2 < 12119,6 или Ах < 31479,6 и А2 > 12119,6. Если же Ах > 31479,6 и А2 > 12119,6, то вырожденные критические точки, а тем более дважды вырожденные, отсутствуют.

Отображая линии критических точек функции Ш в пространство управлений при различных значений параметров Ах и А2 (отображение осуществляет равенство УШ = 0), получаем в пространстве управлений {и, ф,Ах,А2} искомую сепаратрису (см. рис. 3). Для уменьшения размерности пространства параметров управления положено Ах = А2 = А. Сепаратриса состоит из двух поверхностей, а именно верхней поверхности Ах А2 А3А4А5 Аб и расположенной под ней поверхности АхВхВ2ВзОВ4Аб (см. рис. 3).

В области, ограниченной поверхностями сепаратрисы, функция Ш имеет три положения равновесия, а именно два морсовских 0-седла (устойчивые положения равновесия) и между ними одно морсовское 1-седло (устойчивость и неустойчивость зависят от пути нагружения). Вне данной области функция Ш имеет одно положение равновесия (морсовское 0-седло). На поверхностях сепаратрисы функция Ш имеет одну вырожденную критическую точку, в которой она структурно неустойчива, и одно морсовское 0-седло.

Теперь, исходя из принципа промедления, можно утверждать, что потеря устойчивости процесса деформирования рассмотренной механической системы произойдёт тогда, когда путь нагружения пересечёт поверхность сепаратрисы Ах А2А3А4А5 Аб.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 07-08-00125).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф: в 2-х книгах. Кн. 1. — М.: Мир, 1984. — 350 с.

2. Стружанов В. В., Просвиряков Е. Ю. Растяжение с кручением. Сообщение 2: Устойчивость процесса деформирования образца в механической системе. Жёсткое и мягкое нагружения// Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2008. —№2(17). —

С. 77-86.

3. Стружанов В. В., Просвиряков Е. Ю., Бурмашева Н. В. Об одном методе построения

единого потенциала// Вычисл. мех. сплош. сред, 2009. — Т. 2, №2. — С. 96-107.

Поступила в редакцию 04/09/2009; в окончательном варианте — 14/10/2009.

MSC: 74G55

SEPARATRIX IN RIGID TENSION-TORSION LOADING PROBLEM

V. V. Struzhanov1, E. Yu. Prosviryakov2

Institute of Engineering Science, Urals Branch, Russian Academy of Sciences,

91, Pervomajskaya str., Ekaterinburg, 620219.

Ural State University,

51, prosp. Lenina, Ekaterinburg, 620083.

E-mails: [email protected], [email protected]

In this work construction separatrix is constructed at tension with torsion of one mechanical system for rigid loading which structure includes material possessing a property of deformational loss of strength (properties of a material are described by uncon-vex potential).

Key words: tension with torsion, separatrix, stability, stability loss, bifurcational multitude.

Original article submitted 04/09/2009; revision submitted 14/10/2009.

Valeriy V. Struzhanov (Dr. Sci. (Phys. & Math), Chief Research Scientist, Division of Machines Mechanics & Technology. Eugeniy Yu. Prosviryakov, Postgraduate Student, Dept. of Theoretical Mechanics.

УДК 539.374.1

АДИАБАТИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДИССИПАЦИИ ЭНЕРГИИ В ОКРЕСТНОСТИ ЦЕНТРА ВЕЕРА ХАРАКТЕРИСТИК

А. А. Буханько1, Е. П. Кочеров2, В. А. Самойлов1

1 Самарский государственный аэрокосмический университет им. ак. С. П. Королёва,

443086, Самара, Московское ш., 34.

2 ОАО «Самарское конструкторское бюро машиностроения»,

443009, Самара, Заводское ш., 29.

E-mails: [email protected], [email protected]

В рамках теории плоской деформации идеального жёсткопластического тела на примере задачи о растяжении полосы с V-образными вырезами рассматривается метод расчета адиабатического распределения диссипации механической энергии в окрестности центра веера линий скольжения.

Ключевые слова: пластичность, диссипация энергии, деформация, разрушение.

Анастасия Андреевна Буханько (к.ф.-м.н.), доцент, каф. прочности летательных аппаратов. Евгений Павлович Кочеров, главный конструктор. Виталий Андреевич Самойлов, аспирант, каф. прочности летательных аппаратов.