Вычислительная процедура расчета предельных нагрузок в задаче о растяжении с кручением одной стержневой системы Текст научной статьи по специальности «Физика»

1710

Механика деформируемого твердого тела Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (4), с. 1710-1712

УДК 539.374

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ПРОЦЕДУРА РАСЧЕТА ПРЕДЕЛЬНЫХ НАГРУЗОК В ЗАДАЧЕ О РАСТЯЖЕНИИ С КРУЧЕНИЕМ ОДНОЙ СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ

© 2011 г. В. В. Привалова

Институт машиноведения УрО РАН, Екатеринбург [email protected]

Поступила в редакцию 15.06.2011

Предложена численная процедура расчета предельных значений нагрузок, действующих на дискретные градиентные механические системы, часть элементов которых может работать уже на стадии разупрочнения. Методику иллюстрирует задача о растяжении с кручением в одной стержневой системе специального образца из нелинейного материала, свойства которого определяет невыпуклый потенциал, описывающий как устойчивые состояния материала (упрочнение), так и неустойчивые (разупрочнение). Изложенная вычислительная схема позволяет избежать решения нелинейных уравнений равновесия при постепенном возрастании нагрузок и оценки устойчивости каждого такого положения равновесия с целью выявления значений нагрузок, приводящих систему к катастрофе.

Ключевые слова: градиентная система, разупрочнение, сепаратриса, катастрофа, матрица Гессе, предельные параметры управления.

Введение

Разрушение механических систем есть явление подобное явлению невозможности равновесия [1], то есть разрушение связано с потерей устойчивости процесса деформирования. Если механическая система градиентна, то ее поведение описывается потенциальной функцией [2, 3]. Потеря устойчивости деформирования этих систем определяется вырожденными критическими точ -ками их потенциальных функций, которые в пространстве управления задают сепаратрисы таких функций. Известно [1, 2], что потеря устойчивости происходит тогда, когда путь нагружения в пространстве управлений выходит из области, ограниченной сепаратрисой. Отсюда для нахождения предельных значений параметров управления необходимо знать сепаратрису потенциальной фун -кции.

Механическая система

Исследована стержневая система (рис. 1). Стержни 1 и 2 выполнены из линейно упругого материала. Стержень 1 передает на образец 3 растягивающую нагрузку. Жесткость стержня 1 при растяжении равна Стержень 2 передает на образец закручивающий момент. Жесткость стержня 2 при кручении - Х2. Полый образец 3 имеет такую геометрию, что удлинение по величине равно деформации растяжения е, угол закручива-

ния - деформации сдвига у, растягивающая сила - растягивающему напряжению О, а крутящий момент - касательному напряжению Т.

Рис. 1

Свойства материала образца при растяжении с кручением заданы в общем случае невыпуклым потенциалом [4]:

0.25[ Ее 2 +Оу2 +а а( Ее 2 +Оу2))], П(е, у)=! (е, у) е О;

2.5-10 -3 Е, (е, у) ¿О,

где Е = 2-104 кГ/мм2, О = 7.7-103 кГ/мм2, а = = 100п/Е, 0 = (в,у> 0, Ее2 + Оу2 <па_1}. На-гружение системы ведется посредством монотонно возрастающих кинематических и силовых параметров (и, у, Р,М). В этом случае данная стержневая конструкция относится к классу градиентных систем.

Сепаратриса и предельные значения

параметров управления при жестком, мягком и смешанном нагружении

При жестком нагружении состояние механической системы описывает потенциальная функ-

Вычислительная процедура расчета предельных нагрузок в задаче о растяжении с кручением

1711

ция

Щ = 0.5А^и - е/)2 + 0.5Х2(у - У /г-1)2 + + П (е, у )£/,

где первые два слагаемых - потенциальные энергии упругих деформаций стержней 1 и 2; / - длина образца 3; S - площадь его поперечного сечения; г - радиус средней линии поперечного сечения. Параметры /, г, £ будем опускать, как равные единице [4], и, не нарушая сути дела, считать все величины безразмерными. Тогда потенциальную функцию запишем в виде

Щ = 0.5Х 1(и-е)2 + 0.5Х 2(у-у )2 + П (е, у). Здесь и, у параметры управления; е, у - параметры состояния системы. Величины А1 и А2 фиксируем (А^ = 500 кГ/мм, А2 = 500 кГ/мм). Критические точки функции Щ есть решения системы уравнений равновесия

Щ дП , ( ) 0

дЕ дЕ

дЩ дП х ( ) 0

^Т1 = ^--X 2(^-7) = 0.

ду ду

Отсюда

1 дП

и =--+ Е,

X1 дЕ

1 дП

X 2 ду

(1)

Вырожденные критические точки, образующие в пространстве управлений сепаратрису, обращают в нуль детерминант матрицы Гессе функции Щ (матрицы вторых производных). Приближенные значения координат вырожденных критических точек определяли следующим образом. Взяли на множестве {е, у > 0} прямоугольник 0 < < е < 0.1, 0 < у < 0.16 и построили в нем сетку узлов с шагом 2-10-4 (по е) и 3.2 • 10-4 (по у). В каждом узле вычислили значение детерминанта матрицы Гессе и выделили те узлы, в которых детерминант близок к нулю с достаточной степенью точности. Координаты этих узлов подставили в уравнения (1) и нашли значения и5, у5. В пространстве управления точки с координатами (и5, у5) расположены на сепаратрисе функции Щ (или в достаточной близости от нее).

На рис. 2 изображена полученная сепаратриса функции Щ при жестком нагружении. Потеря устойчивости процесса деформирования происходит тогда, когда путь нагружения в пространстве управлений выходит из области, ограниченной кривыми сепаратрисы, т.е. пересекает кривую АВ (рис. 2). Координаты точек этой кривой и определяют предельные значения параметров управления.

Для мягкого и смешанного нагружения потенциальные функции соответственно будут иметь вид:

Щ = щ -1 Рс1иМсЬц, Щ = ЩMdy.

0 0 0 Здесь в выражении потенциальной функции для мягкого нагружения Щ2 второе и третье слагаемые - работа внешних сил, взятая со знаком минус. Роль параметров управления для мягкого нагружения играют величины Р и М, а параметров состояния - е, у, и, у. Для смешанного нагруже-ния параметры управления - и, М; параметры состояния е, у, у. Проводим процедуру, аналогичную случаю жесткого нагружения и получаем соответствующие сеператрисы для мягкого и смешанного нагружений (рис. 3, 4 соответственно).

у

0.15 0.10 0.05

В I

0 0.05 0.10 0.15 0.20 и Рис. 2

М

400 300 200 100

С

п

0 200 400 600 800 Р

Рис. 3

М 400 300 200 100

О

к

F

0 0.05 0.10 0.15 0.20 и Рис. 4

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект №10-01-96018).

Список литературы

1. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1. М.: Наука, 1970. 492 с.

2. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф: в 2-х кн. Кн. 1. М.: Мир, 1984. 350 с.

1712

В.В. Привалова

3. Стружанов В.В. Об устойчивости двухосного растяжения квадратной пластины в одной градиентной механической системе // Труды Института математики и механики УрО РАН, 2010. Т. 16, №5. С. 187-195.

4. Стружанов В.В., Просвиряков Е.Ю., Бурмаше -ва Н.В. Об одном методе построения единого потенциала // Вычислительная механика сплошных сред. 2009. Т. 2, №2. С. 96-107.

A NUMERICAL PROCEDURE FOR CALCULATING THE LIMIT LOADS IN THE PROBLEM OF TENSION AND TORSION OF A FRAMED STRUCTURE

V.V. Privalova

A numerical procedure for calculating the limit loads is suggested. These loads operate on discrete gradient mechanical systems. A part of elements of these systems can already work at the softening stage. The method is illustrated using the problem of tension and torsion of a framed structure of nonlinear material. The non-convex potential (that describes the stable material condition - strengthening and unstable - softening) determines the properties of this material. This numerical procedure allows one to avoid solving the nonlinear equilibrium equation with a step-by-step increase of the loading and estimating the stiffness for each of these equilibrium states in determining the load values leading to the collapse of the system.

Keywords: gradient system, softening, separatrix, catastrophe, matrix Hesse, extreme control parameters.