CC BY
36
УДК 539.3
РАСТЯЖЕНИЕ С КРУЧЕНИЕМ. СООБЩЕНИЕ 3.
ИТЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПАРАМЕТРОВ РАВНОВЕСИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ПРОЦЕССА ДЕФОРМИРОВАНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ПРИ ЕЁ СМЕШАННОМ НАГРУЖЕНИИ
В. В. Струганое1, Е. Ю. Просвиряков2
1 Институт машиноведения УрО РАН,
620219, г. Екатеринбург, ул. Комсомольская, 34.
2 Уральский государственный университет им. А. М. Горького,
620083, г. Екатеринбург, пр-т Ленина, 51.
E-mails: [email protected], [email protected]
Продолжено исследование рассмотренной в предыдущих сообщениях механической системы для реализации растяжения с кручением образца при смешанном нагружении конструкции. Предложена итерационная процедура решения нелинейных уравнений равновесия в предположении об упругопластическом характере деформирования образца. Установлена связь между началом расхождения итерационного процесса и потерей устойчивости процесса деформирования.
Ключевые слова: растяжение с кручением, итерационная процедура, устойчивость, потеря устойчивости.
Введение. В сообщениях [1, 2] основное внимание было уделено свойствам материала образца специальных размеров при активном деформировании растяжением с кручением и исследованию устойчивости этого процесса в механической системе, его реализующей при мягком и смешанном нагружениях. В данной работе рассматривается методика решения нелинейных уравнений равновесия этой механической системы. Итерационная схема, изложенная в работах [3, 4] и применённая для решения одномерных задач при учёте деформационного разупрочнения упругопластического материала, распространяется на неодномерную задачу определения параметров равновесия изучаемой системы (материал образца — упругопластический, нагружение системы — смешанное). Также установлена связь начала расходимости итерационного процесса с потерей устойчивости процесса деформирования.
1. Конструктивный элемент и свойства образца. Рассмотрим конструктивный элемент (см. рис.), состоящий из двух упругих стержней 1 и 2, предназначенных для реализации процесса растяжения с кручением образца 3 [2]. Стержень 1 передаёт на образец растягивающее усилие (в сечении B—B блокировано кручение), а стержень 2 — крутящий момент (горизонтальное перемещение сечения C—C блокировано). Геометрия образца такова, что сила, растягивающая образец, по величине равна напряжению а, удлинение образца — деформации растяжения е, крутящий момент, действующий на образец, — касательному напряжению т, а угол закручивания — деформации сдвига Y [1]. Система нагружена смешанным способом, а именно, точкам сечения A-A
Стружанов Валерий Владимирович — главный научный сотрудник отдела механики машин и технологий; д.ф.-м.н., профессор.
Просвиряков Евгений Юрьевич — магистрант кафедры теоретической механики.
В
в с
Конструктивный элемент
D
\М,ф
D
первого стержня задано монотонно возрастающее перемещение u, а в сечении D-D второго стержня задан монотонно возрастающий крутящий момент M. Жёсткость стержня 1 при растяжении равна Ai, жёсткость стержня 2 при кручении — A2. Следуя работе [1], полагаем, что свойства материала образца заданы скалярным потенциалом П(е, 7), т. е. a = П£, т = П,7. В общем случае зависимости a(e, 7) и т(е, 7) представляют собой поверхности с падающим участком. Следовательно, описывается не только упрочнение материала, но и его разупрочнение. Здесь и ниже запятая, стоящая после знака функции, обозначает частные производные по переменным, обозначенным после запятой.
Инкрементальные определяющие соотношения, связывающие приращения напряжений и деформаций, записанные в векторно-матричной форме, имеют вид [5]
dp = H (n)de. (1)
Здесь p — вектор напряжений с компонентами (а,т), а e — вектор деформаций с компонентами (е, 7),
H (П)
П;
£1 П,7Т
c11 ci2
c21 c22
— матрица Гессе потенциальной функции П. Обозначим матрицу Н(П) символом Ср, отражая тот факт, что это матрица инкрементальных (мгновенных) модулей материала. Отметим, что матрица Ср является симметричной, т. е. с12 = С21.
Материал образца считаем упругопластическим. В этом случае справедливы представление полных деформаций суммой е = ее + ер и определяющее соотношение р = Сее = С (е — ер). Здесь ее, ер —соответственно векторы упругих и пластических составляющих полной деформации, матрица Е 0
C =
0 G
где Е — модуль Юнга, О — модуль сдвига материала образца
в состоянии упругости. Тогда выполняется равенство
dp = С (йе — йер).
Приравнивая правые части выражений (1) и (2), находим, что
йер = (I — БСР) йе,
(2)
(3)
где I — единичная матрица второго порядка, а Б = С-1. Уравнение (3) определяет так называемый инкрементальный закон пластичности [6], поскольку в его выражение входят инкрементальные модули материала.
В силу сделанных выше предположений величины составляющих полной деформации не зависят от вида пути деформирования. Отсюда, интегрируя равенство (3), получаем значения компонент вектора ер в виде
є 7
0 0
є 7
7" = / (“Ю * + / - ?)Лі’
00
следовательно, приращения пластических деформаций на участке [є* + Дє,
7* + Д7]
є*+Дє 7*+Д7
А^= / / Щлъ
є* 7*
є*+Дє 7*+Д7
А',р = I (-^)*+ / О -Ж)11-"
є* 7*
Разлагая интегралы в этих выражениях в ряды в окрестности точки (є* ,7*) и оставляя только первый (линейный) член, находим
Де„ Л спОЛУЛ Дг _ щ^пАъ
\ Е ) Е
,/Р _ І С2і(є*,~/*)\ л„ , Л с22 (£*) 7*)
ду;Д£+(і - ;д-'-
или в векторно-матричном виде:
Дер = (/ - £СР (є*,7*))Де, (4)
2. Потенциальная функция и уравнения равновесия системы. Рассматриваемая механическая система (конструктивный элемент) при квазистати-ческом активном нагружении является градиентной. Поэтому её поведение описывается потенциальной функцией, которая имеет вид
ф
И- = + П(Е, 7) -1 Міф,
0
где первые два слагаемых — потенциальная энергия упругих деформаций стержней 1 и 2 соответственно; третье слагаемое — энергия деформаций детали; последние слагаемое — работа крутящего момента, взятая с противоположным знаком. Величины Аі, А2, и, М играют роль параметров управления системой, а величины є, 7, ф — параметров состояния системы, которые
принимают свои значения в положениях равновесия, отвечающих заданным параметрам управления.
Положения равновесия конструктивного элемента определяют критические точки функции Ш [5], которые являются решениями системы уравнений:
Упростим задачу, введя модельную потенциальную функцию, зависящую только от существенных переменных состояния и управляющих параметров [7]. Представим функцию Ш в виде
функцией механической системы, в которой отсутствует стержень 2. Таким образом, исключены параметры состояния ф и параметр управления Л2. Критические точки функции V определяются из решения следующей системы уравнений:
Отметим, что уравнения (6) — это два первых уравнения системы (5), в которых выражение Л2(ф — 7) заменено, на основании третьего уравнения из системы (5), величиной М.
Сравнивая системы уравнений (5) и (6), находим, что число решений у них одинаково и зависит только от значений управляющих параметров и и М. Кроме того, в положениях равновесия основной и упрощённой механических систем они определяют одни и те же параметры состояния е и 7. После решения системы (6) параметр ф независимо находится из третьего уравнения системы (5) при заданном параметре Л2. Следовательно, параметры ф, Л2 являются несущественными для расчёта параметров равновесия конструктивного элемента.
Запишем уравнения (6) в векторно-матричной форме:
Используя равенство р = Сее = С (е — ер), перепишем это уравнение в виде
Решение уравнения (8) можно представить как сумму решений двух задач, а именно основной и корректирующей. Основная задача определяется равенством
Ш,є = а(є, 7) — А1(и — є) = 0, Ш)7 = т(є, 7) — А2(ф — 7) = 0, Ш,ф = А2(ф — 7) — М = 0.
(5)
Ф-7
0
где V = Лі(-ад2 ^ + П(е, 7)
0
0
'7
М ^. Заметим, что V является потенциальной
Vє = а (є, 7) — А1(и — є) = 0, VY = т (є, 7) — М = 0.
(6)
р — Лі£ + Л2е = 0,
(7)
где вектор £ имеет компоненты (и, М), а Л і = , Л2
С (е — ер) — Л1£ + Л2е = 0.
(8)
С в — Л1£ + Л2в = 0
и является задачей о вычислении параметров равновесия конструктивного элемента в предположении упругости материала образца, которая сохраняется при любых величинах внешних воздействий М и и. Её решение задаёт выражение
в = Р]_Л]_£,
где матрица Р\ = (С + Л2)-1 = ( Л1+е ^ ). Корректирующая задача име-
V 0 с /
ет вид
С (£ — ер) + Л2^ = 0
и является задачей об определении параметров равновесия также полностью упругого конструктивного элемента, у которого сечение В—В закреплено (и = 0), сечение С—С свободно от нагрузки (М = 0), образец обладает начальной деформацией, равной по величине компонентам вектора ер. Решение корректирующей задачи есть вектор
£ = Р1С ер.
Очевидно, что решение исходной задачи (8) при заданных векторах £ и ер определяет сумма решений основной и корректирующей задач (е = в + £).
3. Итерационный метод решения уравнений равновесия. Пусть теперь конструктивный элемент находится в положении равновесия при М = Мо, и = ио (вектор управляющих параметров равен £о). В этом положении в образце имеют место полные и пластические деформации — компоненты векторов ео и е0, напряжения — компоненты вектора Ро, а свойства материала характеризуют инкрементальные модули — компоненты матрицы Ср.
Возмутим данное положение равновесия, увеличив вектор управляющих параметров на малую величину £д. Параметры нового положения равновесия для £ = £о + £д определяются выражениями:
Р = Ро + Рд, е = ео + ед, ер = ер + еД. (9)
Векторы рд, ед, еД являются решениями так называемой возмущённой исходной задачи, т.е. удовлетворяют уравнению
Рд — Л1£д + Л2ед = 0.
Для их определения воспользуемся следующей итерационной процедурой. Сначала для £д находим решение основной задачи: вд = Р^Л^д. Так как здесь не выделена пластическая составляющая деформаций, то вектор вд можно рассматривать только как первое приближение к искомому решению. Следовательно, необходима корректировка данного приближения. По формуле (4) находим приращение пластических деформаций ед1 = (I — $СР) $д и решение корректирующей задачи £д1 = Р1Седг Тогда второе приближение равно ед1 = вд + £др Так как полные деформации изменились (увеличились), то происходит и увеличение и их пластических составляющих. Вычисление вновь возникших приращений пластических деформаций начинаем с определения значений инкрементальных модулей, которые они принимают при полных деформациях, заданных компонентами вектора ео + вд. Эти
модули есть компоненты матрицы Ср, которые вычисляются после подстановки компонент вектора полной деформации в выражения для компонент матрицы Ср. Теперь находим вд, = (I — 5Ср) £д1, определяем решение корректирующей задачи £д, = Р1Свд, и третье приближение — вд2 = вд1 + ^д,. Затем для полных деформаций во + 0д + £д! вычисляем матрицу Ср и осуществляем корректировку и т.д. Данный итерационный процесс представим в виде матричного ряда
П
вдп = ^] Вга-1^д- (10)
к=1
п / \
Здесь В0 = I, Вк = П Ак-г (к € М), где А, = Р1С Г / — £СП (; = {0} иМ) — это матрицы, получающиеся из матрицы
/ Е — СЦ -с 12 \
А = ЛС(/-5С>')=( ЛД+? ¿!+£ )
V с с /
после вычисления инкрементальных модулей сц, С22, С12 для соответствующих значений деформаций. Если ряд (10) сходится, то в результате получаем
компонеты векторов вд и вд и, следовательно, вектора рд = С (вд — вд). Тогда формулы (9) дают параметры равновесия системы для £ = £о + ¿д. Затем производим следующее догружение и т. д.
Исследование сходимости ряда (10) требует оценки спектрального радиуса р(А) матрицы А, который определяется её собственными значениями. Запишем характеристическое уравнение матрицы А:
к2 — ак + Ь = 0, (11)
где а = Яр А = + с~^г22, Ь = с!е1 А = (Е~С1(^)((^~^)~С12 _ след и определи-
тель матрицы А соответственно. Отметим, что матрица А не имеет комплексных собственных значений. Действительно, вычисляя дискриминант квадратного (характеристического) уравнения (11), находим, что он всегда неотрицателен. Причём равенство нулю дискриминанта возможно только тогда, когда сц = Е, С22 = С, С12 = С21 = 0 (состояние упругости материала образца). В этом случае собственные числа матрицы А равны нулю.
Найдём теперь ограничения, накладываемые на коэффициенты уравнения (11), такие, чтобы все собственные значения матрицы А по модулю были меньше единицы. В этом случае спектр р(А) < 1. Сделаем замену переменной к = Подставляя эту величину в уравнение (11), получаем
(а + Ь + 1)£2 + (2 — 2Ь)£ + (1 — а + Ь) = 0. (12)
Если корни уравнения (11) расположены в интервале (—1,1), то корни уравнения (12) находятся в интервале (—то, 0). Согласно теореме Стодолы [8] кор-
ни уравнения (12) лежат на числовой оси слева от нуля тогда и только тогда, когда выполняются следующие неравенства:
{а + Ь +1 > 0,
1 — Ь > 0, (13)
1 — а + Ь > 0.
Нетрудно показать, что при выполнении первого и третьего неравенств из системы (13) с учётом положительности дискриминанта уравнения (11) неравенство 1 — Ь > 0 всегда справедливо. Теперь, используя неравенства сц < Е, С22 < С, которые следуют из выпуклости вверх поверхностей а = а(е, 7), т = т(е, 7) [1], находим, что (а + Ь + 1) — (1 — а + Ь) = 2а > 0. Таким образом, в данной задаче при выполнении третьего неравенства в системе (13) следует выполнение двух остальных неравенств, и неравенство 1 — а — Ь > 0 является определяющим.
альной функции V, причём Н(V) = Л2 + Н(П) = Л2 + Ср. Теперь, если ёе1;Н(V) > 0 (собственные значения матрицы Гессе одного знака), то р(А) < 1. Отметим, что собственные значения матрицы Н(V) в упругости оба положительны и сохраняют свой знак до тех пор, пока одно из них не станет равным нулю, когда ёе1Н(V) = 0. В этом случае 1 — а + Ь = 0 и р(А) = = 1. Если ёе1Н(V) < 0 (собственные значения разных знаков), то условия (13) нарушаются и р(А) > 1.
Известно [9], что матрица представляет сжимающий оператор, если её спектр меньше единицы. Поэтому в матричном ряде (10) каждый последующий член получается сжатием предыдущего до тех пор, пока р(А^-) < 1. Если же существует такой номер N, что при ] > N выполняется неравенство р(А^-) > 1, то сжатие сменяется растяжением и ряд начинает расходиться. Отсюда условием начала расходимости ряда (10) является выполнение равенства ёе1Н(V) = 0 (р(А) = 1).
4. Сходимость итераций и устойчивость процесса деформирования. Установим связь между устойчивостью процесса деформирования и сходимостью приведённой выше итерационной процедуры. Для исследования устойчивости применим методику, изложенную в работе [10]. Рассмотрим пространство
Тогда множество Ф = {А1 + сц(е, 7), С22(е,7), С12(е,7)}, которое определяется компонентами матрицы Гессе потенциальной функции V в положениях равновесия системы, является параметрическим представлением двумерного
бенная (ёе1Н(V) = 0), состоит из двух подмножеств ¿1 и ¿2. Подмножество ¿1 состоит из точек, где матрица Гессе имеет одно нулевое собственное значение. Его размерность равна двум. Подмножество ¿2 — это точки, где матрица Гессе имеет два нулевых собственных значения. Его размерность равна нулю. Точки из ¿1 образуют поверхность второго порядка в М^, которая является дискриминантным конусом матрицы Гессе [10]. Подмножество ¿2 состоит из одной точки, а именно вершины конуса, расположенной в начале координат. Внутри конуса матрица Гессе положительно определена (оба собственных значения положительны), вне конуса её собственные значения имеют разные знаки или оба отрицательны. Если образ отображения Ф (точка в пространстве М^) располагается внутри конуса, то положение равновесия системы устойчиво, если вне конуса — то неустойчиво. Следовательно, пере-
Далее
потенци-
МН = {X, У, 2}, где X = А1+Ср1, У = с22, 2 = с^2,и величины с^1, с22, с^2 € М.
многообразия в Множество точек из Ф, в которых матрица Гессе осо-
ход от устойчивости к неустойчивости определяется равенством ёе1Н(V) = 0. Сравнивая это условие с условием начала расходимости итерационного процесса, заключаем, что момент начала расходимости итераций соответствует моменту потери устойчивости процесса деформирования конструктивного элемента.
В заключение отметим, что смешанное нагружение можно осуществить и другим способом, а именно задавая в сечениях О—О и А—А (см. рис.) соответственно угол закручивания ф и растягивающую силу Р.Ив этом случае рассуждения, аналогичные приведённым выше, приводят к подобным результатам.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 07-08-00125).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Стружанов В. В., Просвиряков Е. Ю. Растяжение с кручением. Сообщение 1: Свойства материала// Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2008. — №1(16). — С. 36-44.
2. Стружанов В. В., Просвиряков Е. Ю. Растяжение с кручением. Сообщение 2: Устойчивость процесса деформирования образца в механической системе. Жёсткое и мягкое нагружения// Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2008. —№2(17). — С. 77-86.
3. Стружанов В. В., Жижерин С. В. Модель повреждающегося материала и итерационные методы расчёта напряжённого состояния при кручении // Вычислительные технологии, 2000. — Т. 5, №2. — С. 92-104.
4. Жижерин С. В., Стружанов В. В. Итерационные методы и устойчивость в задаче о равномерном деформировании шара с центральной зоной из повреждающегося материала// Изв. РАН. МТТ, 2004. — №2. — С. 114-125.
5. Стружанов В. В., Миронов В. И. Деформационное разупрочнение материала в элементах конструкций. — Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 1995. — 192 с.
6. Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и её приложения. — М.: Мир, 1980. — 608 с.
7. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф: В 2-х книгах. Кн. 1. — М.: Мир, 1984. — 350 с.
8. Постников М. М. Устойчивые многочлены. — М.: Наука, 1981. — 176 с.
9. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. — М.: Мир, 1984. — 655 с.
10. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф: В 2-х книгах. Кн. 2. — М.: Мир, 1984. — 285 с.
Поступила в редакцию 15/1/2009; в окончательном варианте — 10/11/2009.
MSC: 74H55
TENSION WITH TORSION. MESSAGE 3. ITERATIVE METHOD OF EQUILIBRIUM PARAMETERS CALCULATION AND STABILITY OF DEFORMATION PROCESS IN MECHANICAL SYSTEM AT MIXED LOADING CONDITIONS
V. V. Struzhanov1, E. Yu. Prosviryakov2
1 Institute of Engineering Science, Urals Branch, Russian Academy of Sciences,
91, Pervomajskaya st., Ekaterinburg, 620219.
2 Ural State University,
51, prosp. Lenina, Ekaterinburg, 620083.
E-mails: [email protected], [email protected]
Research of a mechanical system that was started in the previous articles is continued here; in order realize the tension of a sample with torsion under mixed loading conditions. Iteration procedure is proposed for solving of non-linear equilibrium equations proposing elastic-plastic sample behavior. Correlation between iteration procedure divergence start and loss of deformation process stability is established.
Key words: tension with torsion, iteration procedure, stability, stability loss.
Original article submitted 15/I/2009; revision submitted 10/II/2009.
Struzhanov Valeriy Vladimirovich, Dr. Sci. (Phys. & Math.), Prof., Division of Machines Mechanics and Technology.
Prosviryakov Eugeniy Yurievich, Graduate Student, Dept. of Theoretical Mechanics.
