CC BY
27
Вести. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. — 2008. № 1 (16). — С. 53-58. — ISSN 1991-8615
.V
УДК 539.3
А. И. Хромов, А. А. Буханько, О. В. Патлина, Е. П. Кочеров
РАСТЯЖЕНИЕ ПОЛОСЫ С СИММЕТРИЧНЫМИ УГЛОВЫМИ ВЫРЕЗАМИ
Рассматривается пластическое течение идеальной жёсткопластической полосы с симметричными У-образны-
ми вырезами, приводящее к затуплению выреза при одноосном растяжении.
Задача о растяжении полосы с угловыми вырезами без закругления рассматривалась авторами в работах [1, 2], где предполагалось, что вершина углового выреза остаётся острой. Ниже рассматриваются пластические течения полосы с вырезами общего вида, которые приводят к возможности описания процесса затупления углового выреза.
1. Рассмотрим задачу о растяжении идеальной жёсткопластической полосы с симметричным угловым вырезом и со скруглением некоторой поверхностью £ на участке ЛЕВ (рис. 1) и прямолинейными границами на участках АС и ВВ.
Пусть верхний и нижний жёсткие концы полосы движутся поступательно со скоростями V = 1 соответственно вверх и вниз. Предполагая симметричность пластического течения относительно осей Ох и Оу, будем рассматривать только правую часть полосы. Предположим так же, что структура поля линий скольжения в пластической области остаётся неизменной: во внутренней области ЛЕВ оба семейства линий скольжения криволинейны и определяются поверхностью £ на участке АВ; во внешней пластической области одно или два семейства линий скольжения прямолинейны и определяются прямолинейными участками углового выреза (АС и ВВ).
Введём, следуя [3], криволинейную систему координат а, в, связанную с полем линий скольжения:
кУ
О
У1 К М 7 С
L/ yV IF У, l х,Х
/О 1/\ /н" /V
К' \D \s
Рис. 1. Поле линий скольжения
<р = а + ß,
Р а , Р° m
—г = р — СИ--г> 1
2к И 2к' у J
где ф — угол между касательной к а-линии и осью Ох; р, ро — гидростатическое давление, соответственно, в любой точке пластической области и в начале координат. В плоскости а, в пластическая область изображается треугольником ЛЕВ (рис. 2). Начало координат выбрано таким образом, что значение координаты в в точке Е:
ßE = 0,
п
(2)
Участки пластической области, содержащие криволинейные линии скольжения, отображаются на отрезки осей координат АЕ и ВЕ. Поля ли-
Рис. 2. Изображение пластической области в плоскости характеристик
ний скольжения и скоростей перемещений определяются следующими системами уравнений [3]:
— и-0 í — S-0
da ' I д/З ' /о\
dv n \ dS (3)
где u, v — проекции скоростей перемещений на линии а, в, соответственно; R, S — радиусы кривизны линий а, в-
Граничные условия для скоростей на жёсткопластической границе имеют следующий вид:
на С К LO : v = V eos ip, +
на DK'L'O : u = -V sin ¡p, f < ¡p < ^ - 5. ^ ^
В силу симметричности пластического течения относительно оси Ox на ней выполняется условие (рис. 1):
п
на FEO: u + v = 0, <р = -, yF (t) = 0. (5)
Если рассматривать верхнюю четверть области пластического течения, то второе граничное условие (4) может быть заменено на (5).
В процессе пластического течения свободная поверхность £ (t) будет изменять своё положение: прямолинейные участки AC и BD будут двигаться вместе с треугольниками ACK и BK'D как жёсткое целое вдоль линий CK и K'D. Заметим, что уравнения (3) для компонент скоростей перемещений u, v имеют место только для областей, где оба семейства линий скольжения криволинейны [3]. В областях, где одно или оба семейства линий скольжения прямолинейны, выполняются соотношения Гейрингер:
на линии а : du — vdp = 0, (6)
на линии в : dv + udp = 0. ( )
Так как вдоль прямолинейных линий скольжения dp = 0, то компоненты скоростей u и v вдоль соответствующих линий скольжения будут постоянны.
Из (6) следует, что в выбранной неподвижной системе координат xOy граничные условия (4) останутся неизменными, т. е.
= [sin (a- f) + cos (а - f)] = на BE: и = -&V (cos ß - sin/3) = -&V £ h?, 0 < ß < § - S.
на AE: v = Yv [sin (« - f) + cos (« - f)] = 2V £ ai (« ~ I )*> ¿-f^a^f;
i=0
oo
(7)
i=0
Заметим, что в физической плоскости хОу (рис. 1) с течением времени линии АЕ и ВЕ изменяют своё положение, но в плоскости характеристик а, в (рис. 2) граничные условия (7) ставятся на одних и тех же линиях АЕ и ВЕ. Связь между образами пластической области в этих плоскостях устанавливается с помощью второй группы уравнений (3) для радиусов кривизны К, Б и заданием образа оси симметрии пластического течения (оси Ох) в виде линии ЕЕ в плоскости а, в. В данной постановке задачи граничное условие (5) не зависит от времени Ь.
Решение краевой задачи (3), (7) для скоростей перемещений может быть представлено в виде двойных степенных рядов [4]:
«<«. я = ^ Е = («- тГ »с-« = ^ Е ш - тГ >г- <8>
mini V 4/ ' ' л/2 ' mini V 4,
m,n=0 m,n=0
Коэффициенты Umn, Vmn можно записать в виде
тт I i\m bn—m ^ n / -,\n am—n .. n
umn = {-1) ——Г, m-n^ 0; Vmn = {-1) ——, m - n ^ 0;
mini mini
тт f 1 \n am—n—1 ^ n лг / 1\m+l bn—m—1 , n
umn = {-1) -——, m-n> 0; Vmn = {-1) ^ -——, m - n < 0;
mini mini
TT _ bn T r _ am
U On = —7, VmO = -Г-
ni mi
и свести в табл. 1 и табл. 2 соответственно.
Таблица 1
Значения коэффициентов С/г,
Таблица 2
Значения коэффициентов У^
п 171 0 1 2 3 4 5 ^^ п Ш 0 1 2 3 4 5
0 Ьо Ъх ь2 Ъз Ъъ 0 а0 —Ьо -ь2 —Ьз -ЬА
1 а0 -Ьо -Ь1 -Ь2 -Ьз -Ь4 1 а1 -ао Ьо Ь1 Ь2 Ьз
2 а\ -ао Ьо Ь1 Ь2 Ьз 2 а2 - а1 ао -Ьо -Ь1 -Ь2
3 (12 -а1 ао -Ьо -Ь1 -Ь2 3 а3 -а2 а1 -ао Ьо Ь1
4 аз -а2 а1 -ао Ьо Ь1 4 а4 -аз а2 -а1 ао -Ьо
5 -аз а2 —а1 а0 -Ь0 5 а5 —а4 аз -а2 а\ -ао
Выражения (8) определяют поле скоростей перемещений в области ЛЕВ, в частности, нормальную скорость Уп движения свободной поверхности £ (£) на участке ЛЕВ:
1
Уп (7) = Уп(а,(3) = - и), 7 = <р +
п 7 £ п
4' а=2+2"4'
м 2 2'
(9)
где 7 — угол наклона касательной к £ (£) с осью Ох; £ — угол выреза (рис. 1).
2. Будем представлять свободную от напряжений поверхность выреза полосы на участке ЛЕВ в виде параметрически заданной функции:
х = х (7, £) , У = У (7, >
(10)
где £ — параметр времени, 7 — угол наклона касательной к £ (£) с осью Ох.
Рассмотрим ¿-производные по времени в направлении нормали щ = к поверхности £ (¿)
(см. рис. 3):
£х £у
^ = [7 (*)] йп 7 (¿), ^ = ^ [7 (*)] С08 7 (*).
(11)
Пусть дана линия, касательная к которой совпадает с нормалью щ к поверхности £ (£). Вдоль этой линии известна зависимость 7 = 7 (£), тогда рассматривая (10) как сложную функцию времени £ в направлении нормали, имеем
5х дх ¿7 дх ¥ ~ 97^ + Ж'
5у ду ¿7 <9у ¥ ~ 97^ +
(12)
Объединяя (11) и (12), получим
= (I)
Из (10) следует
ду дх
(III)
(13)
В результате преобразования (II) — (I)tg7 исключим из уравнений множитель и, добавляя преобразованное равенство (13), получим следующую систему уравнений:
дУ дх дУ дх
— сое 7 - — вт 7 = Уп (7), — сое 7 - — вт 7 = 0. д£ д£ д7 д7
(14)
Будем предполагать, что Уп не зависит от времени
Дифференцируя в (14) первое уравнение по y, второе по t:
dy d2y dx
-¥Sin7 + ^COS7"^COS7 djdt
d2x dV
sin 7
dY
d2y
■ cos y
d2x
dYdt dYdt
и вычитая друг из друга полученные соотношения, имеем
sin y = 0,
dy
dx
dVn
— sin y —eos y = —r~
dt 1 dt ' dt
ду dx dVn 1
dt ®7 dt dt cosy"
Вычитая последнее соотношение из первого уравнения в (14) вида
ду dx 1
j^ctgj- — = Vn—, dt dt sin y
получим
откуда
dy . , 1 dVn 1
— (ctg y + tg y) = Ki-------,
dt sin y dY cos y
dy dt
Vn—--
n sin y
dV„ 1
ctg Y + tg Y
dY cos y T , dVn .
Vn eos y--3— sin Y-
dY
Подставляя равенство (15) в первое уравнение (14), находим
дx . dVn
- = sm7- —00S7.
Интегрируя (15) и (16) по времени, имеем
У (yj t) = x (Yj t) = -
т/ t \ dVn .
Vn (y) eos y - Sin y
dVn
Vn (y) sin y + —j^ eos y
t + Уо (Y) j
t + xo (y)
(15)
(16)
(17)
При дифференцировании уравнений (14) в предположении, что Vn является только функцией от Y и не зависит от t, в уравнениях (17) приобретаются дополнительные решения, содержащие функции xo (y) и yo (y), при которых уравнения (14) не выполняются. Уравнения (17) удовлетворяют (14) при xo (y) = xo = const и yo (y) = 0.
Перенесём начало координат в точку M (xo, 0) и положим X = x — xo, Y = y, тогда
Y (Y, t) = X (Y, t) = -
dVn
Vn (y) eos y - —j^- Sin y
t,
dVn
\/ra (y) sin y + eos y
(18)
Из уравнений (18) получим равенства
dX ( d2Vn
dY Л d2Vn
(19)
подставляя которые вместе с уравнениями (15), (16) в уравнения (11), (12), найдём
¿Y ¥
dVn dj
sin Y
dVn dj
dY
dj
cos Y
~ax •
dj
t
t
t
Кроме того, из уравнений (18) следует
У X
Уп-^Ч 7
(21)
Уравнение (21) определяет прямые У — X tg п, вдоль которых угол наклона касательной к £ (Ь) остаётся постоянным. В частности, при 7 = 1 Уг°л г] = тт. При выбранном параметрическом представлении (10) свободной поверхности выреза £ (Ь) на участке ЛЕВ радиус кривизны р может быть определён как функция угла 7 следующим образом:
Р2 (7) = П уп +
с12Уп
3. Рассмотрим процесс накопления работы внутренних сил в частицах, примыкающих к части свободной поверхности ЛЕ. Для идеального жёсткопластического тела эта работа совпадает с диссипацией механической энергии. Пусть частица занимает в момент времени Ь положение точки М (рис. 3), а в момент времени Ь + АЬ она займёт положение точки М'. Найдём скорость изменения угла наклона касательной к £ (Ь) в точке, связанной с положением материальной частицы М (хо, 0), т. е. вдоль траектории движения материальной частицы:
(22)
£(г + Дг)
с?7 <97 (1п <97 йт йЬ дп йЬ дт йЬ
12Уп + р-Ут, (23) дп дт
где Уп, Ут —компоненты скорости перемещений в направлении нормали и касательной к £(Ь). Согласно (20) получим
д7 йп ¿7 дп йЬ 5Ь
дУ
£>7
(24)
Рис. 3. Изменение положения свободной поверхности
В результате имеем
¿7
£>7
р
Находя из уравнений (18) ^ и учитывая, что = получаем
_ 1 / _
(М Р \ Т ¿7
а
р' £
2'
в = 1 + 5--ж-
' 2 2 4
(25)
(26)
Удельная мощность диссипации энергии ^^ в пластической области определяется выражени-
ем [1]:
(Ш (М
— 2£тахк,
1 ( ду
£тах = Т ТГ+И -т; Ь; -V
К \ да
1 (ди
Б \д/3
где £тах — максимальная скорость сдвига.
На поверхности £ (£) выполняются следующие соотношения:
К = -Б, Б = у/2 р,
1
у — и —
ду да
ди др
(27)
(28)
при а, в из (27).
Накопление удельной работы внутренних сил при движении частицы вдоль свободной поверхности ЛЕ определяется интегралом, который может быть вычислен, используя уравнение (26):
К 2к
п/2
дь
ди
хй —
У 11 да д/3 и д/З да
^7
(29)
2
£
г
£
Интеграл (29) описывает полную возможную работу внутренних сил для частицы, начавшей свое движение по криволинейному участку АЕ от точки А ( 7 = 6) до точки Е (7 = и, в частности, её мгновенное приращение при Ь = 0. Нижний предел интегрирования (7 = 5) будет оставаться постоянным до тех пор, пока к пластической области будут примыкать прямолинейные участки свободной поверхности АС и БВ.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 08-08-99042).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Хромов, А. И. Концентраторы деформаций [Текст] / А. И. Хромов, А. А. Буханько, С. Л. Степанов // ДАН.— 2006. - Т. 407, № 6. — С. 777-781.
2. Буханько, А. А. Растяжение полосы с У-образными вырезами и разрушение пластических тел [Текст] / А. А. Буханько, С. Л. Степанов, А. И. Хромов // Извест. РАН. МТТ. — 2007. — № 3. — С. 177-186.
3. Хилл, Р. Математическая теория пластичности [Текст] / Р. Хилл. — М.: Гос. изд-во техн.-теорет. лит-ры, 1956. — 408 с.
4. Хромов, А. И. Деформация и разрушение жёсткопластических тел [Текст] / А. И. Хромов. — Владивосток: Даль-наука, 1996. —181 с.
Самарский государственный аэрокосмический университет им. академика С.П. Королева, г. Самара khromov@ ssau.ru
Поступила 29.10.2007
A. I. Khromov, A. A. Bukhanko, O. V. Patlina, E. P. Kocherov EXTENSION OF THE STRIP WITH SYMMETRIC ANGULAR NOTCHES
The plastic flow of ideal rigid-plastic strip with symmetric V-notches is considered which results in a blunting of the notch under uniaxial tension.
Samara State Aerospace University, Samara, Russia Received 29.10.2007
khromov@ssau.ru
