О расчете предельных пластических деформаций в зоне углового выреза Текст научной статьи по специальности «Физика»

5. Васин Р. А. Определяющие соотношения теории пластичности. Итоги науки и техн. Сер. Механика деформируемого твердого тела. М.: ВИНИТИ, 199Q. Т. 21. С. З-75.

6. Семенов А. С., Мельников Б. Е., Горохов М. Ю. Циклическая нестабильность при расчетах больших упругопластических деформациях // Научно-технические ведомости СПбГТУ, 2003. Т. ЗЗ. № З. С. 129-1З8.

7. Asaro R. Elastic-plastic memory and kinematic type hardening // Acta metallurgica, 1975. Vol. 2З. No. 1Q. P. 1255-1265.

S. Арутюнян Р. А. Проблемы деформационного старения и длительного разрушения в механике материалов. СПб:

Изд-во С.-Пб. ун-та, 2QQ4. 252 с.

9. Кадашевич И. Ю. Описание сложных эффектов кинематического упрочнения на основе теории микронапря-

жений с перекрестными связями // Машины и аппараты целлюлозно-бумажного производства, 1997. C. 117-119.

1Q. RonayM. On second-order strain accumulation in aluminum in reversed cyclic torsion at elevated temperatures // Inter-

national journal of solids and structures, 1967. Vol. З. P. 167-176.

Работа выполнена при поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (грант 05-01-00169).

Поступила 14.09.2006 г.

УДК 539.4

Я. Ю. Григорьев, О. В. Патлина, А. Н. Шацкий

О РАСЧЕТЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ В ЗОНЕ УГЛОВОГО ВЫРЕЗА

На примере задач об одноосном растяжении цилиндрических и плоских образцов с угловыми вырезами рассматривается подход к определению пластических деформаций в окрестности вершины углового выреза. При расчете тело образца предполагается составным: материал в целом упругопластический, но в малой области, в окрестности особой точки - вершины выреза, материал считается жесткопластическим, что позволяет реализовать численно-аналитический подход к определению полей деформаций.

При пластическом течении в окрестности угловой точки деформации и напряжения распределены крайне неоднородно. Для поля напряжений и деформаций угловая точка является особой, то есть предельные значения тензоров по различным направлениям не совпадают.

Определение поля деформаций численными методами приводит к значительным математическим трудностям, так как операция определения тензора деформаций включает в себя операцию дифференцирования перемещений по пространственным переменным.

Рассмотрим окрестность вершины углового выреза, где материал является идеальным жесткопластическим. Эту область будем представлять как суперэлемент (рис. 1). Жесткопластическая область состоит из прямоугольных треугольников АВС, АВ С' и ЕАЕ' в которых реализуется однородное напряженное состояние, и двух вееров линий скольжения ВАЕ и В АЕ. Границы выреза АС и АС 'предполагаются прямолинейными и свободными от напряжений, поэтому в АВС и АВ С первое главное напряжение и1 равно 2к и направлено вдоль свободных поверхностей.

Граничные условия на СВЕЕ В С' определяются согласно [1]. Обозначим за в угол наклона касательной к а -линии скольжения, отсчитываемый в кратчайшем направлении от оси х.

Р и с. 1. Схема напряженного состояния в окрестности выреза

Гидростатическое давление р = --1 (ахх +с + <^гг) и тензор напряжений ап определяются

3

в виде:

р - к 8Іп(29) к 008(29) 0

к 008(29) р + к 8Іп(29) 0

0 0 0

р = к + 2к | 9 + —

на ВС: 9 = -—; на ВЕ: -—<9<-;

9 9 4

на ЕО:

п

9= 7’ Р = к(п +1),

(і)

СТхх = кП СТуу = к(п + 2).

Пластическое течение предполагается симметричным относительно оси Ох, поэтому напряжения на противоположной границе совпадают с (1).

Жесткопластический анализ позволяет рассчитать предельные поля тензоров деформаций в окрестности точки А.

В качестве меры деформации выберем тензор Альманси: Е. = 1р.. - х°гх°;-). Определение деформаций связано с интегрированием системы уравнений, связывающих тензор деформаций Е. и тензор скоростей деформаций е. :

ВЕ. Е

— = — + ЕгкУК] + Е}кУк,=еч,

Ві

&

(2)

где ец = ■

; У^ — скорость перемещений; х0, хг- — лагранжевы и эйлеровы координа-

Л ^ д

ты, — = — + У,-------.

Л дt дхк

Данная система уравнений при предельном переходе в поле линий скольжения жесткопластического суперэлемента (при плоской деформации) сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений [2]:

4^ • / + £ • 0О8((в - / = О,

&8

f +е - т] 008(2(0 - ^)) = 0,

28іаf -(е - 2} 8іпЕЕ-^))- 8=0’

(3)

f=

(и - (а'008а + Ъ'8Іп а))

ду

да

• + и

где е =

(Е11 + Е22 )

2

У(Е„ - Е22 )2 + 4Еі22 2

; в, / — углы наклона первого (алгебраически

наибольшего) главного направления тензоров Е ., е.; а — угол наклона а -линии к оси х1;

и, V — проекции скоростей перемещений на а, в -направления; т = а' г + Vу — вектор скорости возможных изменений положения вершины углового выреза.

Поле скоростей внутри жесткопластической области определяется соотношениями Гей-рингер [1]:

Ли - vdв = О (а - линия); ^ + иёв = О (в - линия).

Задача о растяжении полосы с угловым вырезом. Решение задачи состоит из четырех этапов.

2

На первом этапе применяется численный комплекс М8С.Магс 2005.

Полоса с У-образным вырезом находится в условиях плоской деформации. На верхней и нижней гранях полосы заданы растягивающие перемещения U вдоль оси Y, соответственно вверх и вниз (рис. 2). Материал полосы предполагается упрочняющимся упругопластическим. Пластическое состояние определяется по критерию Мизеса.

При расчетах использовались следующие параметры. Геометрические параметры полосы: длина /=300 мм, ширина 6=150 мм, угол выреза 23=10°, глубина выреза к=30 мм. Материал полосы: упрочняющийся упругопластический алюминий (£=10000 Н/мм2, v=0,33, упругопластические свойства задавались дискретным заданием точек на кривой и - е, предел текучести ат=18,225 Н/мм ,

постоянная те-

Р и с. 2. Разбиение и результаты расчетов

кучести к = —;=.). Прикладываемые нагрузки: пере-ч/3

мещения по оси ОY: и = 6 мм .

При прямом применении пакета М8С.Магс 2005 к решению задачи при вышеуказанных условиях возникает проблема сходимости вычислительных процессов. Для преодоления этой трудности в окрестности вершины выреза вводится рассмотренный суперэлемент.

Изложим алгоритм расчета. В начале определяется размер жесткопластической области. За характеризующий размер жесткопластической области принимается радиус веера характеристик Я. Размер области выбирается из соображений минимальности Я при непревышении предела текучести; радиус Я зависит от величины растягивающей нагрузки, а также от материала, из которого сделана полоса.

Для реализации в М8С.Магс 2005 жесткопластическая область исключается. Действие отброшенной области на полосу заменяется напряжениями, приложенными вдоль всей жесткопластической границы. Граничные условия определяются соотношениями (1).

Результатом первого этапа является распределение нормальных скоростей (рис. 3), полученное на границе жесткопластической области.

В ходе исследования рассматривались различные материалы, нагрузки и радиусы жесткопластической области. Было установлено, что при больших нагрузках граничные условия, приложенные к суперэлементу, не влияют на распределение напряжений и перемещений в окрестности жесткопластической области. Напряжения отличаются на десятые доли процента, а перемещения — на процент.

Также было замечено, что во избежание

больших погрешностей, радиус Я жесткопластической области должен быть соизмерим с растягивающими перемещениями и.

На втором этапе по распределению скоростей на границе суперэлемента определяется поле скоростей внутри жесткопластической области.

При определении поля скоростей в области ЛЕЕ 'предполагается линейное распределение скоростей и , V, соответственно, на линиях ЛЕ, ЛЕ ' (рис. 4). В этом случае это распределение полностью определяется скоростями перемещений в точках Е, ЕИз симметрии пластического

я

течения относительно оси Ох при в = — следует, что в точке Е их = иу . В этом случае предельные компоненты скорости движения частиц материала в точке А со стороны области ЛЕЕ'

Р и с. 3. Распределение нормальных скоростей на границе жесткопластической области

определяются в виде и = V = —=■, распределение скоростей V на линии а определяет величи-

\2

и

dv тт „ dv

ну----. Найденные величины и и --------

да да

заданном векторе m = a'i+ b'j .

определяют коэффициент f системы уравнений (З) при

На третьем этапе определяются возможные поля распределений тензора деформаций в окрестности точки А, путем интегрирования системы (3) при возможных скоростях т. Действительное движение точки А находится из условия: inf sup E1,

m SA

где sup E1 — наибольшее значение первого

SA

алгебраически наибольшего главного значения тензора Etj в окрестности точки А.

Возможна другая эквивалентная формулировка этого условия [3]: inf sup W, где

m SA

W — удельная диссипация энергии.

Р и с 4 На четвертом этапе по найденному

значению т определяется новое положение точки А на заданном шаге времени.

На этом этапе возможны два варианта пластического течения [4]: 1) при максимально возможных деформациях материала; 2) при допустимых деформациях материала, определяемых характеристикой E*.

Данный подход реализует алгоритм, предложенный в работе [4].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1. Быковцев Г. И., Ивлев Д. Д. Теория пластичности. Владивосток: Дальнаука, 1998. 529 с.

2. Хромов А. И. Деформации и разрушения жесткопластических тел. Владивосток: Дальнаука, 1996. 160 с.

3. Хромов А. И., Козлова О. В. Разрушение жесткопластических тел. Константы разрушения. Владивосток: Дальнаука, 2005. 158 с.

4. Хромов А. И., Буханько А. А., Степанов С. Л. Концентраторы деформаций // ДАН, 2006. Т. 407. № 6.

С. 777-781.

Поступила 5.07.2006 г.

УДК 539.3

А. В. Зайцев, А. В. Кислицын

ОБ ОДНОМ РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ ЛАМЕ ДЛЯ СОСТАВНОГО ПРОТЯЖЕННОГО ЭЛЕМЕНТА КОНСТРУКЦИИ, СОСТОЯЩЕГО ИЗ ПОСАЖЕННЫХ С НАТЯГОМ ТОЛСТОСТЕННОГО ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНОГО ВНЕШНЕГО ЦИЛИНДРА НА СООСНЫЙ ИЗОТРОПНЫЙ ВНУТРЕННИЙ

Получено новое точное аналитическое решение задачи Ламе о равновесии толстостенного составного элемента конструкции, состоящего из посаженных с натягом трансверсально-изотропного внешнего цилиндра на соосный изотропный внутренний.

Рассмотрим находящийся под действием внутреннего ра и внешнего рь равномерных давлений в условиях плоско-деформированного состояния бесконечно длинный полый составной элемент конструкции, состоящий из двух соосных однородных и линейно упругих толстостенных цилиндрических тел. Будем считать, что до запрессовки поперечное сечение внутреннего изотропного цилиндра ограничено двумя концентрическими окружностями радиусами а и с ( а < с), а трансверсально-изотропного наружного цилиндра — радиусами с — 5 и Ь (с — 5<Ь). В результате соосной посадки точки, принадлежащие внешней поверхности внут-