Об одном решении задачи Ламе для составного протяженного элемента конструкции, состоящего из посаженных с натягом толстостенного трансверсально-изотропного внешнего цилиндра на соосный изотропный внутренний Текст научной статьи по специальности «Физика»

dv dv

ну-. Найденные величины u и - определяют коэффициент f системы уравнений (3) при

да да

заданном векторе m = a'i+ b'j .

На третьем этапе определяются возможные поля распределений тензора деформаций в окрестности точки А, путем интегрирования системы (3) при возможных скоростях m. Действительное движение точки А находится из условия: inf sup E1,

m SA

где sup E1 — наибольшее значение первого

SA

алгебраически наибольшего главного значения тензора Eij в окрестности точки А.

Возможна другая эквивалентная формулировка этого условия [3]: inf sup W, где

m SA

W — удельная диссипация энергии. Р и с 4 На четвертом этапе по найденному

значению m определяется новое положение точки А на заданном шаге времени. На этом этапе возможны два варианта пластического течения [4]: 1) при максимально возможных деформациях материала; 2) при допустимых деформациях материала, определяемых характеристикой E*.

Данный подход реализует алгоритм, предложенный в работе [4].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Быковцев Г. И., Ивлев Д. Д. Теория пластичности. Владивосток: Дальнаука, 1998. 529 с.

2. Хромов А. И. Деформации и разрушения жесткопластических тел. Владивосток: Дальнаука, 1996. 160 с.

3. Хромов А. И., Козлова О. В. Разрушение жесткопластических тел. Константы разрушения. Владивосток: Дальнаука, 2005. 158 с.

4. Хромов А. И., Буханько А. А., Степанов С. Л. Концентраторы деформаций // ДАН, 2006. Т. 407. № 6. С. 777-781.

Поступила 5.07.2006 г.

УДК 539.3

А. В. Зайцев, А. В. Кислицын

ОБ ОДНОМ РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ ЛАМЕ ДЛЯ СОСТАВНОГО ПРОТЯЖЕННОГО ЭЛЕМЕНТА КОНСТРУКЦИИ, СОСТОЯЩЕГО ИЗ ПОСАЖЕННЫХ С НАТЯГОМ ТОЛСТОСТЕННОГО ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНОГО ВНЕШНЕГО ЦИЛИНДРА НА СООСНЫЙ ИЗОТРОПНЫЙ ВНУТРЕННИЙ

Получено новое точное аналитическое решение задачи Ламе о равновесии толстостенного составного элемента конструкции, состоящего из посаженных с натягом трансверсально-изотропного внешнего цилиндра на соосный изотропный внутренний.

Рассмотрим находящийся под действием внутреннего ра и внешнего рь равномерных давлений в условиях плоско-деформированного состояния бесконечно длинный полый составной элемент конструкции, состоящий из двух соосных однородных и линейно упругих толстостенных цилиндрических тел. Будем считать, что до запрессовки поперечное сечение внутреннего изотропного цилиндра ограничено двумя концентрическими окружностями радиусами а и с ( а < с), а трансверсально-изотропного наружного цилиндра — радиусами с — 5 и Ь (с — 5<Ь). В результате соосной посадки точки, принадлежащие внешней поверхности внут-

реннего цилиндра и внутренней поверхности внешнего цилиндра, получают радиальные перемещения, алгебраическая сумма которых составляет величину натяга 5 > 0. При построении решения будем предполагать, что граница раздела двух тел, составляющих элемент конструкции, известна и располагается на расстоянии с от оси вращения.

Определяющие соотношения в цилиндрических ортогональных координатах г, 9 и г (ось г совпадает с образующими цилиндрических тел) представим следующим образом:

ТМ _ КМоМ + КМоМ сМ _ КМоМ + КМРМ

> „„ — ¿VI 1 О ™ ~ /VI о О АА , V-) АЛ --о С„ ~ ОЛЛ .

с!г)_ к«8Г1)+к2з)е9у9), (1)

42 °99 ' и99 ~ 1 12 °гг ^ 1v2^99 ' ^ гг "^13 °гг по у — не суммировать. Все константы и функции, которые относятся к внутреннему и внешнему цилиндрам, в дальнейшем будем обозначать стоящими в верхней позиции в круглых скобках индексами 1 и 2 соответственно.

(у)

Коэффициенты Щ , которые содержатся в уравнениях (1), запишем с использованием деформационных характеристик материалов:

К (1)_ К (1)_ Е (1) Л11 " 22 " ^

К(2) _ К(2) _ Е(2) Л11 "Л22

в

в«' (2) 1

-1

1

1 -

К1(32)_ к23)_ Е(2)

В

(2)"

-v(1)"

К1(2)_ К«_ к23)_ Е(%«

43

23

В

(1)'

-1

2 Л

,,(2)'

~,(2)

К(2)_ Е(2)

К332)_ Е(2)

- в(2)" Г - v (2)" 2 ^

[ ^ 1 [ ^ /

(2) (3)

в(2 )

В« _[ 1 + v(1)] [ 1 -2у(1)^, В(2) _( 1 + ^2)) ^ 1 -v(2) -2 [у(2).

Здесь Е(у) и Е(у) — модули Юнга в плоскости изотропии г9 и направлении г (для внешнего трансверсально-изотропного цилиндра), а v(y) и V(у) — коэффициенты Пуассона. Очевидно, что коэффициенты (2) могут быть получены из (3) при подстановке (Е(2)_ Е(2)_ Е(1) и

V (2)_v( 2)_v(1)).

Напряжения с^, деформации и перемещения и^ точек составного цилиндрического тела являются функциями только радиальной координаты г, удовлетворяют уравнениям равновесия в отсутствии массовых сил и геометрическим соотношениям Коши

-1^

1 -

,,(2)'

2

Ыс^^г + с^ - с(у) _ 0 , $> _ йи[^^г, в« _ иг^/г,

(4)

а также условиям непрерывности перемещений и радиальных напряжений на поверхности контакта:

и

(2)

- и(1)

_5/ 2,

Л1)

_с(2)

(5)

Интегрируя обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка относительно

й (у) й

перемещений иу', которые получаются в результате последовательной подстановки определяющих (1) и геометрических соотношений (второе и третье равенства (4)) в уравнения равновесия (первое равенство (4)), и учитывая условия на границе контакта (5), можно записать их общие решения. Граничные условия

Л1)

_- Ра

с

.(2)

г_Ъ

_- РЪ,

заданные на внутренней и внешней поверхности составного цилиндрического тела, позволяют определить постоянные интегрирования общих решений и получить аналитические зависимости компонент тензора напряжений в направлении радиальной координаты г .

Напряжения в точках поперечного сечения бесконечно длинного составного линейно упругого цилиндрического тела, отстоящих от оси вращения на расстояние г , будут определяться соотношениями:

гг 2

1

г 2 А

РсС2 ( г2 - а 2]

-Раа2 (

2 21 С - г ,

с(1)_.

99 ~

1

г 2 А1

РсС2 ( г2 + а2)-Раа2 ( с2 + г2)"

г _с

г_с

4'= V

РСС2 - Раа2)

£ )= Е (2)Н

)(2)'

Л2)

н 2 н

иее

а(2)- Е

Ода —

.(2)

Е (2)"

Н]Н 4 + Н 2 Е

(2)

)(2)'

,(2)

с(2) = V) (2)Н,

Е(2)+ Е (2)v(2V

v(2)н 2

Е (2)+ Е(2 У2)'

которые содержат следующие коэффициенты:

А = а2 - с2, Н1 = А

1 1 Аз

г»-1 Щ + ¿»с» В

V

Рз

г»+Р

2

Н2=«А2

2 Аз

г«-1 - Ь»с» В1

V

Рз

г»+Р

2

Н3 = Е(2)Е(2) ( с2» - Ь2» ) , Н4 = Е(2) - Е(2) Г V(2) 1, Н5 = Е(2) - Е(2)

)(2)'

(6)

(7)

А2 = Е(2)-

К2)'

:Д2)

(2 )Е (2)

-Е^Е

Я'

-11 + Е

(2)

В = Ьс (Рьс»-1 - РсЬ»-1), В2 = РсС1+» - РьЬ1+» , Аз = 1 -

:Д2)

:Д2)

Е(2)+ 2 Е(2 )V(2

(8)

£(2) Е(2) Е^У-Е2)'

- 2^2)-1

(2)

Р = Н зЕ

Р = Н з Е(2)

( Вз + " Е(2)" 2 ^

V /

( В4 + Г е(2)" 2 X

V - 1 /

Вз = Е(2)

В4 = Е(2)

~,(2)'

:Д2)

» + Е'

2

(2)

!~,(2)'

2

- п

- Е (2)

)(2)

Здесь п =

Е (2)Н 4

ЕЕ (2)Н 5

показатель анизотропии.

Радиальное давление на поверхности контакта

Рс =

2с

Н з

()(а2 - с2 )

А4 {Jl + J2 ) I а 2 + с 2

1 - 2v

1)

1 + V

полностью определяется деформационными постоянными материалов

А4 =

Е (2)? +Г Е (2)

)(2)

- Е(2) Е(2^ v(2)

)(2)

,(2)1-

„2»

г 2»

J1 =

1_ E(2)v(2)+ В4

J2 =

2" E(2)v(2)- Вз

(9)

и не зависит от величин внутреннего и внешнего давлении.

Проанализировав полученные соотношения (6) и (7), можно сделать вывод о том, что компонента с^ не зависит от радиальной координаты и сохраняет постоянное значение вдоль образующей внутреннего цилиндра. Обратим также внимание на то, что при известном из (9) радиальном давлении на поверхности контакта Рс распределение напряжений в поперечных сечениях составных элементов конструкций (6) и (7) может быть также получено из решения одной из задач Ламе по определению напряженного состояния: первая — внутреннего изотропного цилиндра, находящегося под действием равномерных внешнего Рс и внутреннего Ра давлений, вторая — наружного трансверсально-изотропного цилиндра, нагруженного равномерным внешним Рь и внутренним Рс давлениями. Кроме того, в частном случае, когда внешнее цилиндрическое тело изотропно (Е(2) =Е(2) и V(2) = V'2-') и изготовлено из того же материала, что и внутренний цилиндр (Е(1) = Е(2) и v(1) = v(2)), составной протяженный элемент конструкции можно рассматривать как однородный толстостенный цилиндр с дополнительными напряжениями Рс, заданными на расстоянии с от оси вращения. Если еще и 5 = 0, то на

поверхности контакта при г = c будут выполняться условия непрерывности для всех компонент тензора напряжений (вместе со своими производными до k -го порядка включительно), а, следовательно, соотношения (6) и (7) будут соответствовать решению задачи Ламе для однородного толстостенного изотропного цилиндра, находящегося под действием распределенных внешнего Pb и внутреннего pa давления [2]. Необходимо отметить, что при 5 = 0 подстановки c = Ь и c = a в уравнения (6)-(7) и коэффициенты (8) позволяют получить точные аналитические решения задач Ламе для толстостенных изотропного [2] и трансверсально-изотропного цилиндров [1, 3] соответственно с заданными в первом случае — на внешней, во втором — на внутренней боковых поверхностях равномерных давлениях pc .

На рисунке показано сравнение распределений компонент тензора напряжений в поперечных сечениях составных протяженных элементах конструкций (а = 0,230 м, c = 0,256 м и Ь = 0,288 м), которые находятся под действием

внутреннего ра = 4,5 МПа и внешнего Pь = 1,0 МПа равномерных давлений при

5 = 1,05 -10-5 м, для различных значений показателя анизотропии материала внешнего цилиндра. Во всех рассматриваемых примерах предполагалось, что внутренний цилиндр го-

ст, !0~ МПа

готовлен

,(1) = ,

из стали (E (1)= 2,8 -105 МПа и vy~' = 0,3), а внешний — из стеклопластика

и

(E (2)= 5,68 -105 и v(2) = 0,06, Е(2 ) = 1,57 -105

. ■ — _

С:: /

- п = 0,38

\ ---п= 1,30 ----/1 = 1,50 -----п = 1,70

п „ _

- 1 г 11111

0,75

0,50

0.25

0,0

V(2) = 0,38).

Результаты, представленные на рисунке, свидетельствуют о существенном влиянии показателя анизотропии материала внешнего цилиндра п на напряженное состояние составных элементов конструкций. Как видим, с уве- 0 личением п наблюдается качественное и количественное изменение характера распределения напряжений: более однородное распределение радиальных компонент; значительное

снижение величины скачка на границе контакта цилиндров для окружных и увеличение — для осевых компонент.

г-а

0,2 0,4 0,6 0,8 Влияние степени анизотропии на характер распределения напряжений в точках поперечных сечений составного цилиндра

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1. Термопрочность деталей машин / И.А. Биргер, Б.Ф. Шорр, И.В. Демьянушко и др. М.: Машиностроение, 1975. 455 с.

2. КолтуновМ.А., ВасильевЮ.Н., ЧерныхВ.А. Упругость и прочность цилиндрических тел. М.: Высш. школа, 1975. 526 с.

3. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, 1977. 416 с.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант РФФИ-Урал № 07-01-96056) и по гранту Президента РФ (МК-3903.2005.8) для государственной поддержки молодых российских ученых — кандидатов наук.

Поступила 30.08.2006 г.