CC BY
23
Краткие сообщения
Механика деформируемого твердого тела
УДК 539.374
Ю. И. Кадашевич, С. П. Помыткин
ПОВЕДЕНИЕ НЕСТАБИЛЬНЫХ МАТЕРИАЛОВ ПРИ ЦИКЛИЧЕСКОМ СДВИГЕ
Изучается нестабильность поведения материалов при простом циклическом сдвиге, описываемая в
рамках эндохронной теории неупругости для конечных деформаций.
Авторы представленной публикации в работе [1] предложили новый подход к построению эндохронной теории неупругости, учитывающей конечные деформации. В [2] был представлен обзор результатов, полученных авторами в рамках данного подхода. В настоящей работе изучается нестабильность поведения материалов при циклическом симметричном нагружении.
Вопросы циклических нагружений, как известно, играют важную роль при оценке прочностных свойств материалов. Подробный анализ эффектов циклического нагружения при малых деформациях был проведен, например, В. В. Москвитиным [3], А. П. Гусенковым [4], Р. А. Васиным [5]. При конечных же деформациях этот вопрос поднимается значительно реже. Среди прочих отметим лишь работу [6], в которой была изучена нестабильность ряда материалов при циклических нагружениях. Однако кинетика развития напряжений в этом исследовании была освещена поверхностно.
В представляемой работе основной вариант эндохронной теории неупругости, учитывающий конечные деформации [1, 2], предлагается взять в виде:
атс+с|г | = 20
( о 1 •Л
ТГ +-1 г| г
% + а
в = в, п = ддт,
8 = в + гП-П£ , о = о+оО-По, (1)
г = в-(1 -а)-^-, в.. = —, т = т|| г I,|г
20 К ^ 11
Здесь в безындексной форме записи тензоров принято, что т — аналог деформационного предела текучести; % — аналог коэффициента упрочнения; О — модуль сдвига; К — объемный
модуль; | а | = а : а — норма тензора а ; в — тензор деформаций; с — тензор напряжений; О — спин; Q — ортогональный тензор поворота; В — тензор скоростей деформации. При
этом дополнительно полагается, что В = (Ь +Ьт)/2, Ь = ЕЕ—, Q = Ей, то есть справедливо полярное разложение ортогонального тензора поворота; Е — градиент деформации; Ь — градиент скоростей деформации; и — правый тензор удлинения.
Наиболее простым тестом, позволяющим выявить эффекты, возникающие при учете конечных деформаций, является задача о простом сдвиге при заданных скоростях деформаций, когда реализуется жесткое симметричное нагружение. По уравнениям (1) были проведены расчеты при а = 1, 20 = 1, % = 9 , В12 = 1, В11 = В22 = В33 = 0 . Исследовалось как монотонное, так и
циклическое деформирование при трех различных амплитудах деформации: |в 12| < 0,5;
|в 12| < 2,0 и |в 12| < 5,0. На рис. 1 приведен характер развития напряжений при монотонном деформировании сдвигом.
На рис. 2 изображены установившиеся петли гистерезиса напряжений при циклическом деформировании.
Амплитуда сдвиговых деформаций для случая, изображенного на рис. 2, а, соответствует участку роста осевых напряжений на кривой монотонного деформирования; на рис.
2, б — участку начала снижения с11; на рис.
2, в — моменту резкого спада осевого напряжения.
Полученные результаты, на первый взгляд, необычны. Однако, обратившись к работе Асаро [7], в которой он анализирует реальное поведение образцов нимоника, можно увидеть, что существует, по мнению Асаро, три типа циклических предельных кривых «напряжение-деформация». Асаро назвал этот эффект упрочнением I, II и III типов (на рис. 5 схематически приведены графики поведения гипотетического материала Асаро).
Очевидно несомненное сходство с расчетными кривыми на рис. 2. Отметим, что попытки теоретического описания поведения материала Асаро были сделаны ранее другими исследователями: Р. А. Арутюнян [8] на основе анализа опытов на образцах меди, пришел к выводу о том, что новые эффекты возникают из-за влияния микронапряжений на циклическое поведение нестабильных материалов; один из материалов Асаро был описан в работе [9] на основе двухповерхностной теории пластичности с перекрестными связями. Таким образом, предлагаемая теория способна описать трудно фиксируемые теоретически эффекты циклического сдвигового деформирования без привлечения дополнительных феноменологических соображений.
Р и с. 1. Кинетика напряжений при деформировании сдвигом: 1 - с12; 2 - с11
а
б
в
Р и с. 2. Кинетика напряжений при циклическом деформировании:
а - |в12| < 0,5 ; б - |в12| < 2,0 ; в - |в12| < 5,0
Приведем еще одну иллюстрацию возможностей теории. В работе [10] было обнаружено, что при циклическом сдвиге возникают осевые деформации, которые непрерывно возрастают в зависимости от роста числа циклов деформирования. Простейший вариант предложенной выше эндохронной теории (1) обеспечивает возникновение осевых деформаций при циклическом нагружении, причем, что интересно, осевые деформации сохраняют знак, однако предельные значения деформации остаются постоянными. В связи с этим предложим небольшое уточнение меры деформации, которое описывает указанные в [10] эффекты и количественно.
Пусть
в=к(,|Б\) . (2)
В частности, можно (для простоты) предложить
в=(а0 + а11 в |) ) .
Отметим, что в работе [11] была предложена аппроксимационная формула в11 = С Nв, где N — число циклов, а С и р — параметры материала. Аналогичный результат следует и из (2). На рис. 4 приведен характер возрастания максимальных осевых деформаций в^ от числа циклов N при жестком циклическом сдвиговом нагружении: Д2 = ±1, а0 = 1;
а1 = 0,01.
Выводы. Решения приведенных простейших задач циклического деформирования показывают, что предлагаемая теория способна описывать ряд тонких эффектов второго порядка.
Замечание. При постановке и решении задач сложного нагружения необходимо четко сформулировать характер задания градиента деформаций ^, его начальных значений и соответствующего ему ортогонального тензора поворота Q. Все вышеприведенные примеры находятся в классе, когда
к11 0 0 ' ' СОЄ в ЄІП в 0'
^ = к 21 к22 0 , Q = - ЄІП в СОЄ в 0
1 0 0 т к , 0 0 1,
*11(0) = к22(0) = &33 (0) = 1.
Авторами изучены и более общие формы задания тензора градиента деформаций и ортогонального тензора поворота.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Р и с. 4. Кинетика максимальных осевых деформаций при циклическом нагружении
Р и с. 3. Схематические диаграммы гипотетического материала Асаро
следующий вариант:
1. Кадашевич Ю. И., Помыткин С. П. Анализ сложного нагружения при конечных деформациях по эндохронной теории неупругости // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Методы решения. М.: КМК ЛТД, 1998. Вып. 59. С. 72-76.
2. Кадашевич Ю.И., Помыткин С.П. Новый взгляд на построение эндохронной теории пластичности при учете конечных деформаций // Научно-технические ведомости СПбГТУ, 2003. Т. 33. № 3. С. 96-103.
3. Москвитин В. В. Пластичность при переменных нагружениях. М.: Изд-во МГУ,1965. 262 с.
4. Гусенков А. П. Свойства диаграмм циклического деформирования при нормальных температурах // Сопротивление деформированию и разрушению при малом числе циклов нагружения: Сб. статей / Отв. ред. С. В. Серен-сен. М.: Наука, 1967. С.34-36.
5. Васин Р. А. Определяющие соотношения теории пластичности. Итоги науки и техн. Сер. Механика деформируемого твердого тела. М.: ВИНИТИ, 1990. Т. 21. С. 3-75.
6. Семенов А. С., Мельников Б. Е., Горохов М. Ю. Циклическая нестабильность нри расчетах больших упругопластических деформациях // Научно-технические ведомости СПбГТУ, 2003. Т. 33. № 3. С. 129-138.
7. Asaro R. Elastic-plastic memory and kinematic type hardening // Acta metallurgica, 1975. Vol. 23. No. 10. P. 1255-1265.
8. Арутюнян Р. А. Проблемы деформационного старения и длительного разрушения в механике материалов. СПб: Изд-во С.-Пб. ун-та, 2004. 252 с.
9. Кадашевич И. Ю. Описание сложных эффектов кинематического упрочнения на основе теории микронапряжений с перекрестными связями // Машины и аппараты целлюлозно-бумажного производства, 1997. C. 117-119.
10. RonayM. On second-order strain accumulation in aluminum in reversed cyclic torsion at elevated temperatures // International journal of solids and structures, 1967. Vol. 3. P. 167-176.
Работа выполнена при поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (грант 05-01-00169).
Поступила 14.09.2006 г.
УДК 539.4
Я. Ю. Григорьев, О. В. Патлина, А. Н. Шацкий
О РАСЧЕТЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ В ЗОНЕ УГЛОВОГО ВЫРЕЗА
На примере задач об одноосном растяжении цилиндрических и плоских образцов с угловыми вырезами рассматривается подход к определению пластических деформаций в окрестности вершины углового выреза. При расчете тело образца предполагается составным: материал в целом упругопластический, но в малой области, в окрестности особой точки - вершины выреза, материал считается жесткопластическим, что позволяет реализовать численно-аналитический подход к определению полей деформаций.
При пластическом течении в окрестности угловой точки деформации и напряжения распределены крайне неоднородно. Для поля напряжений и деформаций угловая точка является особой, то есть предельные значения тензоров по различным направлениям не совпадают.
Определение поля деформаций численными методами приводит к значительным математическим трудностям, так как операция определения тензора деформаций включает в себя операцию дифференцирования перемещений по пространственным переменным.
Рассмотрим окрестность вершины углового выреза, где материал является идеальным жесткопластическим. Эту область будем представлять как суперэлемент (рис. 1). Жесткопластическая область состоит из прямоугольных треугольников ЛВС, ЛВ С' и ЕЛЕ' в которых реализуется однородное напряженное состояние, и двух вееров линий скольжения ВЛЕ и В ЛЕ. Границы выреза АС и АС 'предполагаются прямолинейными и свободными от напряжений, поэтому в ЛВС и ЛВ С' первое главное напряжение ст1 равно 2к и направлено вдоль свободных поверхностей.
Граничные условия на СВЕЕ В С' определяются согласно [1]. Обозначим за в угол наклона касательной к а -линии скольжения, отсчитываемый в кратчайшем направлении от оси х.
Р и с. 1. Схема напряженного состояния в окрестности выреза
