О влиянии формы тензора градиента в геометрически нелинейной эндохронной теории ползучести Текст научной статьи по специальности «Физика»

О влиянии формы тензора градиента в геометрически нелинейной эндохронной теории ползучести

д.ф.-м.н. проф. Кадашевич Ю.И., д.ф.-м-н. доц. Помыткин С.П. Санкт-Петербургский государственный технологический университет растительных

полимеров

8(812) 7868660, math.spbgturp@yandex.ru Аннотация. Рассматривается тензорно-параметрический вариант эндохронной теории неупругости для больших деформаций и поворотов, учитывающий временные эффекты. Изучается влияние параметра, входящего в градиент деформации, и параметра упрочнения на форму и величину кривых «деформация ползуче-сти~время». Приведены соответствующие примеры.

Ключевые слова: эндохронная теория, большие деформации, определяющие соотношения, ползучесть, градиент деформации.

В работе [1] были сформулированы принципы построения геометрически нелинейной теории пластичности эндохронного типа и предложены определяющие соотношения неупругости, учитывающие большие деформации. Впоследствии эта теория была обобщена с целью учета временных процессов, протекающих в неупругих материалах [2]. В работе [3] с использованием определяющих соотношений геометрически нелинейной эндохронной теории были представлены результаты решения некоторых задач ползучести. В предлагаемой вниманию читателя статье исследуется влияние формы градиента деформаций на зависимости деформаций ползучести от времени.

Рассматривается один из тензорно-параметрических вариантов эндохронной теории неупругости для больших деформаций и поворотов, учитывающих временные эффекты [2]. В безындексной форме записи определяющие соотношения имеют вид [3]:

ат а — а +— 20 20

г = тг + ■

g + а

е0 =

О

К

т = т(|г|,|г|), g = g(|г|,|г|), О = О(|г|г|)

(1)

(2)

г = е-(1 -а) , г = е-(1 -а)

20 20

(3)

а

г = П - 0-а)-

е = П, 0 = К К1

а = а+ аО-Оа, е = е + еО-Ое.

ЩГ йг | | с ,

= л— : — , г =1 dr . V dt dt 11

(4)

(5)

(6)

Здесь е и е0 - девиатор и шаровая часть тензора деформаций, а и а0 - девиатор и

шаровая составляющая тензора напряжений, г - девиатор параметрического тензора, т -аналог деформационных предела текучести, g - аналог коэффициента упрочнения (разупрочнения), а - параметр эндохронности (0 <а< 1), О - модуль сдвига, К - модуль объёмного сжатия, верхний индекс Т - знак транспонирования, t - время. Кроме того, О -тензор спина, К - ортогональный тензор поворота,

К = Еи-1, Ь = ЕЕ"1, П = (Ь + ЬТ )/2, (7)

Е - тензор градиента деформаций, и - правый тензор удлинения в полярном разложении тензора градиента Е = Ки, Ь - скорость градиента деформаций,П - тензор скоро-

г

г

г

стей деформаций.

Частный вариант теории (1) - (7) для девиаторов при а = 1 и Ю = 1 имеет вид:

8 , '

та + а 8 = т8 + ■

я+1

£ = £>,

т = т (| г |,| г |), я = я (| г |,| г |), Для исследования выбирается градиент деформации в форме:

^ =

ки кп 0

т ■ к

12

к

22 0

0 0

к

(8)

(9)

(10)

33 0

У такого типа градиента деформации ортогональный тензор поворота Я и тензор спина О имеют следующую структуру:

Я =

'соб р бш р 0Л - бШ р СОБ р 0

V

0

0

1

/0 1 0Л

, о=р

, tg Р =

к12 (т -1)

к 1 + к

(11)

22

-10 0 ООО

V У

В работе [3] авторы данной публикации анализировали вариант эндохронной теории ползучести для больших деформаций и поворотов с градиентом деформации типа (10) при т = 0.

Полагаем далее, что тензор скоростей деформации В, девиаторы тензоров деформации е и напряжений а имеют вид:

В =

Вп Ц В12 В

12

'22

0 0

0 0 В

е =

33 0

12 0

12

е 22 0

0 0

е33 0

а =

а1

а

12

а

12

а

22

0 0

0 0 а

(12)

33 0

Используя (7), компоненты тензора скоростей деформации В можно связать с компонентами тензора градиента деформации Т7 следующими дифференциальными уравнениями:

кпк22-ткпки = Л-£)п, к22кп-ткикп= А-В22, (13а)

кхЛк22 +ткп)-кп (к22 +ткп) = 2-А-Вп , (136)

^зз ~~ ^33^33 ' А ~ 1^22 т к]

12,

(13в)

Подставляя (11) в выражения для объективных производных (5), используя затем соотношения (1), (2), (4) и вводя обозначения к - 1/(^ + 1) и п = | £|/т , получим замкнутую систему дифференциальных определяющих соотношений:

ап -2фст12 +поп +кпгп, ёп -2фе12 =Вп , (14)

а22 + 2фа12 + па22 = В22 +кпг22, ¿22 + 2фе12 = П22, (15)

а33 + па33 = В33 + к ш33 , 833 = В33, (16)

а12 +ф((7п -а22) + жт12 -ВХ2 +кпг12, ё12 +2ф(вп -822) = £>12, (17) кХ\к22 ткпкп — к22кхх

к33 — к33 -В33, к]2(к22 +тки) — кп(к22 + тки) = 2-А-Вп , (19)

Г 2

А = кпк22-Мк?2, 181=^+6^+833 +28

^11 22

(20)

Исследование влияния параметра т на протекание деформаций во времени в процессе ползучести материала начинается с «быстрого» активного монотонного нагружения жестким сдвигом, когда В11 = 0, В22 = 0, В33 = 0, В12 Ф 0. Нагружение продолжается до некоторого

е

е

11

значения = ст° < 20г. После чего напряжения фиксируются, и наблюдается процесс ползучести. При вычислениях в соотношениях (14) - (20) было принято, что т = к0-|81 и к0 = 1, то есть п = 1. Варьировался «аналог» коэффициента упрочнения (разупрочнения) к и параметр т , определяющий форму тензора градиента деформации /•'.

4.5

3.5

2.5

-12

1.5

Й11

0.5

Еч к=0 ^т=1 -

т=0

т=1

-

1

3.5

1.5

2.5

35

2.5

612

1.5

>11

0 5

н к=( ). 15 т=1

т=0

^ т=0 -

1

05

1 5

2.5

3.5

Рисунок1. Осевая и сдвиговая деформации ползучести при к = О

Рисунок2. Зависимость деформаций е11 и

е12 от времени при к = О.15

°12

1.6

14

1.2

£■11

0.6 0 4

н II 15

т=1

т=0

т=0 ~т=Г — 1

0.5

1.5

2 2.5 3 3.5 4

Рисунок 3. Изменение деформаций в процессе ползучести при к = О.5

5.5 5 4 5

4 3.5 3 2.5

£12

15

1

6ц

0.5

еч к=-0.3 П1=1 /

т=0 ,

——— ^т=1

г

0.5 1 1.5 2

Рисунок 4. Накопление деформаций £11 и £"12 во времени при к = —О.3

Приведённые примеры демонстрируют чёткую зависимость результатов от формы градиента деформаций, а варьирование коэффициента к позволяет получать полный спектр форм кривых «деформация ползучести ~ время»: линейные (рисунок 1), возрастающие с разными выпуклостями (рисунок 2, рисунок 4) и убывающие (рисунок 3). Изучение влияния отрицательных и нецелых значений параметра т в планах дальнейших исследований.

Замечание

Обратим внимание на то, что значение т = —1 - особый случай, когда знаменатель в двух уравнениях системы обращается в ноль. Для этого значения т система определяющих соотношений должна быть составлена отдельно.

Работа выполнена при частичной поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 14-О1-ОО2О2).

Литература

1. Кадашевич Ю.И., Помыткин С.П. Новый взгляд на построение эндохронной теории пла-

стичности при учете конечных деформаций // Научно-технические ведомости СПбГТУ. 2ОО3. № 3. С. 96-1О3.

2. Кадашевич Ю.И., Помыткин С.П. Учет конечных деформаций в эндохронной теории вяз-копластичности // Вестник гражданских инженеров. 2ОО5. № 1. С. 28-32.

3. Кадашевич Ю.И., Помыткин С.П. Эндохронная теория ползучести, учитывающая конечные деформации // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия "Физико-математические науки". 2004. № 26. С. 83-85.