CC BY
35
Влияние параметров геометрически нелинейной эндохронной теории неупругости на описание процесса релаксации напряжений
д.ф.-м.н. проф. Кадашевич Ю.И., д.ф.-м-н. доц. Помыткин С.П., Помыткина Т.Б.
Санкт-Петербургский государственный технологический университет растительных полимеров, Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения,
Санкт-Петербургский государственный университет 8(812) 7868660, math.spbgturp@yandex.ru, 8(812) 7084372, kaf54@guap.ru,
8(812) 4287109, t.pomytkina@spbu. ru
Аннотация. Рассматривается тензорно-параметрический вариант эндохронной теории неупругости для больших деформаций и поворотов, учитывающий временные эффекты. Численно моделируется процесс релаксации напряжений в материале. Изучается влияние параметра, входящего в градиент деформации, и параметра упрочнения материала на форму кривых «напряжение-время» и их количественные характеристики. Приведены результаты соответствующих численных экспериментов.
Ключевые слова: неупругость, эндохронная теория, большие деформации, определяющие соотношения, релаксация напряжений, градиент деформации.
В работе [1] были сформулированы принципы построения геометрически нелинейной теории неупругости эндохронного типа и предложены определяющие соотношения пластичности, учитывающие большие деформации и повороты. Впоследствии эта теория была обобщена для учета временных процессов, протекающих в неупругих материалах [2]. В работе [3] с использованием определяющих соотношений геометрически нелинейной эндохронной теории были представлены результаты решения ряда задач ползучести и релаксации. В предлагаемой вниманию читателя статье исследуется влияние параметра, входящего в тензор градиента деформаций, и коэффициента упрочнения на релаксацию напряжений в материале.
Рассматривается один из тензорно-параметрических вариантов эндохронной теории неупругости для больших деформаций и поворотов, учитывающих временные эффекты [ 2]. В безындексной форме записи тензоров определяющие соотношения имеют вид [3]: ат ° а , •, ° г On
а + 2G 2G
г = тг +
g + a
e 0 =
'0 K
t = t(| r |,| r |), g = g(| r |,| r |), G = G(| r |,| r |),
(1)
(2)
r = e - (1 - a) , r = e- (1 - a) S
2G
2G
(3)
a
r = £>-(l-a)— , s = D, Q = RR\ 2 G
о • о •
g = G+GQ-QG, S = S+SQ-QS,
dr dr | | r 7 \ I i i J
dt dt
(4)
(5)
(6)
Здесь e и e0 - девиатор и шаровая часть тензора деформаций, s и s0 - девиатор и
r
r
шаровая составляющая тензора напряжений, r - девиатор параметрического тензора, t -аналог деформационного предела текучести, g - аналог коэффициента упрочнения (разупрочнения), a - параметр эндохронности (0 £ a £ 1), G - модуль сдвига, K - модуль объёмного сжатия, верхний индекс T - знак транспонирования, t - время. Кроме того, W -тензор спина, R - ортогональный тензор поворота, F - тензор градиента деформаций, U -правый тензор удлинения в полярном разложении тензора градиента F = RU, L - скорость градиента деформаций, D - тензор скоростей деформаций.
R = F U_1, L = FF-1, D = (L + LT)/2, (7)
Частный вариант теории (1) - (7) для девиаторов при a = 1, 2G = 1 и g = const имеет
8
(8)
та +а в = Т8 +
я+1
s
e = Z),
Т = Т(| 8 |,| 8 |). (9)
Для исследования процесса релаксации напряжений был выбран градиент деформации
в форме:
( к к11 т • к12 01
F = к12 к22 0
1 0 0 к33 0
(10)
У такого типа градиента деформации ортогональный тензор поворота R и тензор спина W имеют следующую структуру:
r cos b sin b 0^
R =
sin b cos b 0 0 0 1
Го 1
, п=Р -i 0 0
, 0 0 0,
, tg b
k12 • (m -1)
кц + к
(11)
22
( D11 D12 0! (s11 s12 0 1 (S11 S12 0 ^
D = Dd 0 , s = s12 s22 0 , s = s12 s22 0
1 0 0 D33 0 1 0 0 s33 0 1 0 0 s33.0
В работе [3] авторы данной публикации анализировали вариант эндохронной теории ползучести для больших деформаций и поворотов с градиентом деформации типа (10) при т = 0.
Предположим, что тензор скоростей деформации В, девиаторы тензоров деформации 8 и напряжений а имеют вид:
(12)
Используя (7) и (10), компоненты тензора скоростей деформации В можно связать с компонентами тензора градиента деформации ¥ следующими дифференциальными уравнениями:
К\ ' к-22 ~т% к\2 А1 > ^22 ' ~ ^ ' ^22 > О^а)
к12 •(к22 + тк11) — к12-(к22 +т-кп) = 2-Д-1)12, (136)
къъ — къъ-Аз, А =кп •к22 —т-к12. (13в)
Подставляя (11) в выражения для объективных производных (5), используя затем соотношения (1), (2), (4) и вводя обозначения к = + и 72 = |е|/т? получим замкнутую систему дифференциальных определяющих соотношений:
ап -2(3-а12 +п-ои =Оп + к-п-8П, 8П -2р-812 = (14)
а22 + 2р • а12 + п • а22 = £)22 + к ■ п-е22, ё22 + 2р • е12 = £>22,
О о о I * О о о Х^лл I ^ * * 811 , ,
а12 +р(ап — ст22) +и-а12 = £>12 +к-п-812, в12 + 2р-(еп -е22) = В12. К\"кц —т'к12-к12=А-Пп, &22 •кп—т• £12 -ки=А-П22, =Лзз-Аз, к12-(к22+ткп)-к12-(к22+т-кп) = 2-А-В12,
(ш -1)
, Л — к^ ^ * ^22 ^^ * ^12 ' I ^ I— | ¿22 ^33 *
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
22
гом, когда £>п = 0, В22 = 0, £>33 = 0, В12 Ф 0. Нагружение продолжается до некоторого значения 8/ = 8° > т, где 8. - интенсивность деформаций. После чего деформации фиксируются и наблюдается процесс релаксации напряжений. В численных экспериментах в соотноше-
ниях (14) - (20) было принято, что Т = к0 - | 8 | и = 1, то есть = 1. Изменялся «аналог»
коэффициента упрочнения (разупрочнения) к и параметр ш , определяющий форму тензора градиента деформации Р.
Рисунок 1. Релаксация осевого и сдвигового напряжения при к = 0
Рисунок 2. Изменение напряжений в процессе релаксации при к = 0.5
Рисунок3. Зависимость напряжений ап и ст12 от времени при к = 0.7 и к = 1.0
Рисунок 4. Изменение напряжений ап и ст12 во времени при к = -0.5
Расчётами установлено, что параметр ш обладает несколькими достаточно узкими интервалами, внутри которых решение системы определяющих соотношений устойчиво, причём кривые «напряжение-время» абсолютно не зависят от величины параметра ш во всей области устойчивости решения.
Приведённые примеры демонстрируют чёткую зависимость изменения напряжений во
Серия «Естественные науки»
времени от коэффициента к, позволяя получать широкий спектр форм кривых s ~ t. Физически неясен рост напряжений во времени при постоянных деформациях (рисунок 3) и смена знака напряжений у «разупрочняющегося» материала (рисунок 4).
Физически не реализуемая в экспериментах релаксация напряжений до нуля (рисунок 1) связана с особым случаем нулевого значения параметра упрочнения. Это вытекает из соотношений (14) - (20), которые в геометрически линейном варианте, когда b = 0, в одноосном случае с Т = • | Б | и к{) = 1 в отсутствии упрочнения, то есть при к = 0 преобразуются в уравнение:
а+а= S. (21)
Очевидно, что при 8 = const = 80 и 8 = 0 происходит процесс «идеальной» релаксации напряжений по закону s = s0 • exp(-1) от s(0) = s0 до нуля при t ® +да. И лишь когда к -ф- 0, уравнение:
a+a=s + £s, (22)
при 8 = const = 80, 8 = 0 и начальных условиях ст(0) = G0 даёт решение:
s = (s0 - к• 80) • exp(-t) + к• s0, (23)
описывающее процесс релаксации напряжения от «начального» s0 при t = 0 до «остаточного» s = к ^80 при t ® +¥ .
Замечание 1. В рамках геометрически нелинейной эндохронной теории неупругости (1) - (7), (10), (11) со значениями параметров к = 0 и m = 0 процесс релаксации напряжений в материале был рассмотрен в работе [3].
Замечание 2. Обратим внимание на то, что для градиента деформаций (10) значение m = 1 - особый случай. При нём ортогональный тензор поворота (11) вырождается в единичную матрицу, тензор спина W нулевой, тензор скоростей деформаций D совпадает с производными деформаций 8 . То есть, таким образом реализуется один из геометрически линейных вариантов определяющих соотношений теории неупругости, учитывающей временные эффекты. В этой ситуации градиент (10) должен быть выбран в иной форме. Результаты такого анализа авторы намерены представить в отдельной публикации.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 14-01-00202).
Литература
1. Кадашевич Ю.И., Помыткин С.П. Новый взгляд на построение эндохронной теории пластичности при учете конечных деформаций // Научно-технические ведомости СПбГТУ. 2003. № 3. С. 96-103.
2. Кадашевич Ю.И., Помыткин С.П. Учет конечных деформаций в эндохронной теории вязкопластичности // Вестник гражданских инженеров. 2005. № 1. С. 28-32.
3. Кадашевич Ю.И., Помыткин С.П. Описание процессов ползучести и релаксации материалов в рамках эндохронной теории неупругости для больших деформаций // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2009. № 1(18). С. 61-65.
