CC BY
11
УДК 539.372 Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2019. Т. 6 (64). Вып. 2 МБС 74С15, 74Б10
Особенности решения задачи тройного сдвига по эндохронной теории неупругости, учитывающей большие деформации*
Т. А. Забавникова1, С. П. Помыткин2
1 Военная академия связи имени Маршала Советского Союза С. М. Буденного, Российская Федерация, 194064, Санкт-Петербург, Тихорецкий пр., 3
2 Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения, Российская Федерация, 190000, Санкт-Петербург, ул. Большая Морская, 67
Для цитирования: Забавникова Т. А., Помыткин С. П. Особенности решения задачи тройного сдвига по эндохронной теории неупругости, учитывающей большие деформации // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2019. Т. 6(64). Вып. 2. С. 329-337. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2019.215
В рамках эндохронной теории неупругости, учитывающей большие деформации, решена задача жесткого тройного сдвига. Предложена численная реализация алгоритма для нахождения ортогонального тензора поворота и тензора вихря, на основе которых строится тензор деформаций. Одновременно тензор деформации вычисляется прямым численным методом. Сравниваются и анализируются соответствующие компоненты деформаций, полученные с помощью обоих методов.
Ключевые слова: неупругость, большие деформации, эндохронная теория, определяющие соотношения, тройной жесткий сдвиг.
Введение. Эндохронный подход к построению определяющих соотношений теории неупругости, начиная с работ [1, 2], активно используется как в фундаментальных исследованиях [3], так и в инженерных расчетах [4, 5].
Установленные связи [6, 7] ранних вариантов эндохронной теории [1, 2, 8] с теориями пластического течения и упруго-пластических процессов взаимно обогатили и расширили возможности всех подходов к исследованию проявлений неупругости материалов.
Естественным эволюционным развитием эндохронных вариантов теории неупругости явилось их обобщение на область больших деформаций и поворотов. Некоторые геометрически нелинейные математические модели эндохронного типа и результаты исследований на их основе неупругого поведения материалов и конструкций можно найти в работах [9-12].
В предлагаемой статье представлены результаты вычисления деформаций в задаче жесткого тройного сдвига в рамках геометрически нелинейных определяющих соотношений эндохронной теории неупругости тензорно-параметрического типа, опубликованных ранее в [13].
Определяющие соотношения и постановка задачи. В работе [13] была сформулирована эндохронная теория неупругости, учитывающая большие деформации и повороты. Определяющие соотношения связи [13] между компонентами
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 19-08-01241А). (¡5 Санкт-Петербургский государственный университет, 2019
тензора напряжений Коши а и деформаций £ имеют следующий вид:
ат о а,., о г |*| /-1\
оп а+ оп г = т г+ —Г~ г ' 1
2О 2О д + а
£ = -0, Г = ' Т = Т(ИЬ £о = Ш■
Здесь г — девиатор параметрического тензора, т — аналог деформационного предела текучести, д — аналог коэффициента упрочнения материала, а — параметр эн-дохронности (0 < а < 1), О — модуль сдвига, К — объемный модуль. Кроме того, £о = £ц и а о = а ц —первые инварианты тензора деформаций и напряжений,
= а/А : А — норма тензора А, А = А + АО, — О,А — его объективная производная, И = ((т — тензор вихря, Q — ортогональный тензор поворота, В = (Ь + Ьт)/2 — тензор скоростей деформаций, Ь = ГГ-1 —скорость градиента деформаций, Г — градиент деформаций (точка над объектами определяет производную по «временному» параметру 4). Имеет место полярное разложение градиента деформаций Г = (и, где и — симметричный правый тензор удлинения. Во всех соотношениях принята безындексная форма записи тензоров.
Вычисляется тензор деформаций £ в тройном сдвиге, когда жесткое нагружение задается тензором скоростей деформации
/0 1 Л
в = (10 1) . (2)
V1 1 0
Отметим, что дифференциальное соотношение для деформаций о = В при задании тензора В определяет неголономную меру деформации, отличную от классических мер деформации из семейства Хилла [14].
Восстановление градиента деформации. Предположим, что градиент деформаций имеет «минимальную» структуру
(1 к 12 &1з\
0 1 к12 ) , (3а)
0 0 1
которая способна порождать тензор скоростей деформаций типа (2). Тогда находим при кз = к22 - к1з
(1 -к12 кз 0 1 -к12 0 0 1
Последовательно вычисляем Ь = Г Г-1 и В = (Ь + Ьт )/2, приравниваем найденные компоненты В к компонентам (2) и решаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка относительно к12 и к1з при естественных начальных условиях к^(0) = 0. Получаем, что к12 = 24, к1з = 24(4 + 1), кз = 24(4 — 1). Таким образом, по заданному жесткому нагружению типа (2) восстановлен градиент деформаций
/1 24 24(4 + 1^ Г = (01 24 | . (36)
0 0 1
Построение ортогонального тензора поворота. Для использования определяющих соотношений теории (1) необходимо вычислить тензор вихря П, который определяется ортогональным тензором поворота Q. Построение тензора Q — основная техническая задача.
Предлагается, составив из общих геометрических соображений структуру тензора Q, установить на основе изучаемого нагружения (2) и типа градиента деформации (3) число независимо изменяющихся параметров тензора Q. Затем найти из определения полярного разложения градиента деформации Г = QU правый тензор удлинения и и обратный ему и-1. Учитывая симметричность тензоров и и и-1, а также найденный тензор градиента деформации Г в виде (36), указать связи между параметрами Q, то есть определить зависимости компонент ортогонального тензора поворота Q от параметра нагружения £ — времени. (Отметим, что для задач простого и двойного сдвига эти компоненты находятся относительно просто [15, 16].)
По методу, предложенному в [17, 18], запишем геометрическое соотношение, связывающее ортогональный тензор поворота Q с кососимметрическим тензором М:
Q = I +
sin ш , , 1 — cos Ш , ,9
- М +--- М2,
(4)
ш ш9
где ш (изi, и>2, шз) —вектор поворота с модулем из = \] из\ + из\ + I — единичный тензор,
I 0 ш3 -ш9
M= I -Ш3 0 ш1
ш9 - ш1 0
M9
99
-ш9 - ш3
Ш1Ш9 Ш1Ш3
Ш1Ш2 99
-ш9 - ш9
Ш9Ш3
Ш1Ш3
Ш9Ш3
99 -ш9 - ш9
Исходя из найденного градиента деформаций (36), заметим, что имеются лишь две различные функции ¿1 и ¿2, определяющие тензор М, то есть структура М такова, что
0 к1 М = | -¿1 0 ¿1
-k9 -k1 0
Введем обозначения
а/2 к\ = из sin ip , = из cos ip , из = уJ2к\ + Щ
тогда тензор M можно записать как
/ n sin Р _ \
M=
0
sin <р
\
cos р
0
sin р
V2
cos р sin р
0
Используя схему (4), получим равенства
'Q11 Q19 Q^ Q = I Q91 Q99 Q19
Q31 Q91 Q11
(5)
ш
A
Qu = 1 + — • (1 + cos2 92), g22 = 1 + A • sin2 90,
1 A
Q12 = —j= (B • sin 99 + A • cos 99 sin 99), Q13 = В ■ cos 99--- sin2 99,
1A
Q21 = —¡= (-B ■ sin 99 + A ■ cos 99sin 99), Q31 = — В ■ cos 99 — — • sin2 99,
2
2
A = cos w — 1, B = sin y.
Найдем зависимость параметров w и у от времени t. Исходя из (3b) и (5), запишем правый тензор удлинения U = Q-1 F = QT F и обратный ему U-1 = F-1 Q. Учитывая симметрию U и U-1, получим следующие соотношения:
Q21 = Q12 — ^12 Q11, Q31 = — ^12 Q12 + ^3 Q11 + Q13,
q22 =q12+q11+Q13. (6)
k12
Подчеркнем, что из шести условий симметрии для компонент тензоров U и U-1 независимыми являются только три. Подставим в третье уравнение группы (6) выражения для Qij из (5) и получим
k13 sin w
л cosV-Z---лГ
¿ = _kl2 ^__(7)
В 0 • 2 -, ^13 1 ' ( J
2 sin 99 — 1 + -— • —¡= ■ sin 99 cos 99 k12 V2
Подставляя в первое и во второе соотношения (6) их выражения из (5), аналогично находим, что
""^Цз-(8)
B k22
• sin у cos у
Приравнивая правые части (7) и (8), составляем уравнение для нахождения связи между 4 и у:
^ + 1
tgV-^|-tg2^-2tg^ + v/2 = 0. (9)
Из соотношений (7)—(9) окончательно получаем выражения
w _ а/2 cos 99 - (t + 1) sin 99 2 л/2 cos 299 — (t + 1) sin 99 cos 99'
t = Y V2 tg у - 1 - 2 V2 ctg 95 + 2 ctgV (11)
Нахождение тензора деформаций. После нахождения ортогонального тензора поворота для записи объективных производных физических величин, входящих в определяющие соотношения (1), необходимо вычислить тензор вихря ! = QQT. Прямые вычисления для тензора i приводят к следующему выражению:
! = 95 • S + w • T, (12)
О Р + А -л/2 N\
S= I -Р -А О Р - А
л/2 N -Р + А О
О sin if* л/2 cosc^
Т = | — sin if* 0 sin if*
у—л/2 cos if* — sin (f> О
в котором обозначено
Р = sin ш cos ср, N = sin ш sin ср, Н = л/2 cos 2ср — (t + 1) sin ср cos ср,
а также
ф= 9 -, (13)
3 tgV - V2(t2 + 1) tg<p - 2
2 cos2 Ц- sin <р
- = -Jp-X
х л/2 sin2 ip + ф • (6 - Зл/2 • (t + 1) sin <p cos <p + (t2 + 2í - 3) sin2 90
. (14)
Для вычисления деформаций при тройном сдвиге решается замкнутая система обыкновенных дифференциальных уравнений
'0 1 V
£ + еО - Qe
(15)
если девиатор тензора деформаций е имеет вид
£11 £12 £13
£12 £22 £23
£13 £23 £33
а начальные условия — е^ (0) = 0.
На рис. 1 приведены графики развития сдвиговых е12, ехз, е2з и осевых компонент (ец, е22, езз) тензора деформаций во времени для задачи жесткого тройного сдвига (2), полученные в процессе численно-аналитического решения по соотношениям (3)-(15).
Независимо от численно-аналитического решения эта же задача (2) была решена и прямым численным методом в среде МЛТЬЛБ. Результаты в форме графиков изменения деформаций от £ представлены на рис. 2.
Естественно, что вычисленные деформации при активном нагружении монотонно возрастают по абсолютной величине, соответствующие компоненты совпадают по знаку и порядку, хотя во втором случае сдвиговые деформации несколько больше полученных по численно-аналитической схеме. Отметим также, что осевые деформации на три порядка меньше сдвиговых, но их абсолютные значения ненулевые, то есть проявляется эффект Свифта [19], причем ец = 0, как и должно быть у девиаторов.
£
01234560123456
Рис. 1. Развитие деформаций во времени (численно-аналитический метод).
Рис. 2. Изменение компонент деформаций от времени (численный метод).
Заключение. Таким образом, поставлена и для тензора деформаций решена задача жесткого тройного сдвига. Предложен и в технически сложном случае реализован численно-аналитический метод построения ортогонального тензора поворота и тензора вихря, необходимых для определения объективных производных, входящих в определяющие соотношения теории напряжений и деформаций. Отмечается, что прямой численный метод, протестированный здесь на задаче жесткого тройного сдвига численно-аналитической процедурой, имеет более общее приложение, так как при определении ортогонального тензора поворота позволяет исходить не только из нагружения типа (2), но и из произвольного задания тензора В. Вычисленные по геометрическим соотношениям нелинейной теории эндохронного типа деформации (15) не противоречат экспериментальным наблюдениям. Вычисление тензора напряжений по уравнениям теории (1) после этого не представляет затруднений (при этом, конечно же, необходимо знать константы и функции изучаемого материала).
Литература
1. Кадашевич Ю.И. О различных вариантах тензорно-линейных соотношений в теории пластичности // Исследования по упругости и пластичности. Л.: Изд-во ЛГУ, 1967. №6. С. 39—45.
2. Valanis K. C. A theory of viscoplasticity without a yield surface // Archives of Mechanics. 1971. Vol. 23, N4. P. 517-551.
3. Lu J.-B., Zhao S.-X. A thermal-viscoplastic endochronic constitutive model for PC/ABS alloys // Shanghai Jiaotong University. 2011. Vol. 45. Issue 10. P. 1465-1468.
4. Lee C. F. Recent finite element applications of the incremental endochronic plasticity // International Journal of Plasticity. 1995. Vol. 30, N 7. P. 843-864.
5. Klet.schkow.ski T., Schomburg U., Bertram A. Endochronic viscoplastic material models for filled PTFE // Mechanics of Materials. 2002. Vol. 34, N 12. P. 795-808.
6. Мосолов А. Б. Эндохронная теория пластичности. Препринт N 353 / Ин-т проблем механики АН СССР. 1988. 44 c.
7.Кадашевич Ю.И., Помыткин С. П. О взаимосвязи теории пластичности, учитывающей микронапряжения, с эндохронной теорией пластичности // Известия РАН. Механика твердого тела. 1997. N 4. С. 99-105.
8. Valanis K. C. Fundamental consequence of a new intrinsic time measure-plasticity as a limit of the endochronic theory // Archives of Mechanics. 1980. Vol. 32, N 2. P. 171-191.
9. Pan W.F., Lee T.H., Yeh W. C. Endochronic analysis for finite elasto-plastic deformation and application to metal tube under torsion and metal rectangular block under biaxial compression // International Journal of Plasticity. 1996. Vol. 12, N 10. P. 1287-1316.
10. Khoei A.R., Bakhshiani A., Modif M. An implicit algorithm for hypoelastic-plastic and hypoelastic-viscoplastic endochronic theory in finite strain isotropic-kinematic hardening model // International Journal of Solids and Structures. 2003. Vol. 40. Issues 13-14. P. 3393-3423.
11. Быков Д. Л., Коновалов Д. Н. Эндохронная модель механического поведения стареющих вязкоупругих материалов при конечных деформациях // Известия РАН. Механика твердого тела. 2006. N 6. С. 136-148.
12. Suchocki C., Skoczylas P. Finite strain formulation of elasto-plasticity without yield surface: theory, parameter identification and applications // Journal of Theoretical and Applied Mechanics. 2016. Vol. 54, N 3. P. 731-742.
13. Кадашевич Ю. И., Помыткин С. П. Анализ сложного нагружения при конечных деформациях по эндохронной теории неупругости // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Москва: КМК, 1998. Вып. 59. С. 72-76.
14. Nemat-Nasser S. Plasticity. A treatise on finite deformation of heterogeneous inelastic materials. Cambridge; New York; Melbourne; Madrid; CapeTown: Cambridge University Press, 2004. 730 p.
15. Кадашевич Ю. И., Помыткин С. П. Вычисление ортогонального тензора поворота в задачах теории пластичности для конечных деформаций // Вестник Нижегородского университета им. Н.И.Лобачевского. Серия «Механика». 2004. Вып. 1(6). С. 73-80.
16. Кадашевич Ю.И., Помыткин С. П., Юдовин М.Э. Вычисление меры деформации при двойном сдвиге // Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии: сб. материалов III междунар. науч.-технич. конф. (Тула, 25-27 июня 2002). Тула: Изд-во Тульс. гос. ун-та, 2002. С. 35-36.
17. Черных К. Ф. Введение в физически и геометрически нелинейную теорию трещин. М.: Наука, 1996. 288 с.
18. Иванов Б. Ф., Кадашевич Ю. И., Помыткин С. П. О построении ортогонального тензора поворота для эндохронной теории неупругости, учитывающей большие деформации // Машины и аппараты целлюлозно-бумажного производства. СПб: Редакц.-издат. отдел СПбГТУРП, 2010. С. 53-61.
19. Swift H. W. Length changes in metals under torsional overstrain // Engineering. 1947. Vol. 163. P. 253-257.
Статья поступила в редакцию 25 сентября 2018 г.;
после доработки 10 октября 2018 г.; рекомендована в печать 20 декабря 2018 г.
Контактная информация:
Забавникова Татьяна Алексеевна — преподаватель; [email protected]
Помыткин Сергей Павлович — д-р физ.-мат. наук, проф.; [email protected]
The features of solving the problem of triple shear in endochronic theory of inelasticity taking account large deformations
T. A. Zabavnikova1, S. P. Pomytkin2
1 Military Telecommunication Academy, Tikhoretskij pr., 3, St. Petersburg, 194064, Russian Federation
2 University of Aerospace Instrumentation, ul. Bolshaya Morskaya, 67, St. Petersburg, 190000, Russian Federation
For citation: Zabavnikova T. A., Pomytkin S.P. The features of solving the problem of triple shear in endochronic theory of inelasticity taking account large deformations. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2019, vol. 6(64), issue 2, pp. 329337. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2019.215 (In Russian)
The problem of rigid triple shear is solved in the framework of the endochronic theory of inelasticity taking into account the finite deformations. The numerical realization of the algorithm for finding of orthogonal rotation tensor and vortex tensor is proposed. On their basis the strain tensor is formed. Simultaneously, the strain tensor is calculated by direct numerical method. The corresponding components of deformation obtained by both methods are compared and analyzed.
Keywords: inelasticity, large deformations, endochronic theory, constitutive equations, rigid triple shear.
References
1. Kadashevich Yu. I., "On different versions of tensor-linear relations in plasticity", Issledovanija po uprugosti i plastichnosti, issue 6, 39—45 (1967). (In Russian)
2. Valanis K. C., "A theory of viscoplasticity without a yield surface", Archives of Mechanics 23 (4), 517-551 (1971).
3. Lu J.-B., Zhao S.-X., "A thermal-viscoplastic endochronic constitutive model for PC/ABS alloys", Shanghai Jiaotong University 45 (10), 1465-1468 (2011).
4. Lee C. F. "Recent finite element applications of the incremental endochronic plasticity", International Journal of Plasticity 30 (7), 843-864 (1995).
5. Kletschkowski T., Schomburg U., Bertram A., "Endochronic viscoplastic material models for filled PTFE", Mechanics of Materials 34 (12), 795-808 (2002).
6. Mosolov A. B., Endochronic theory of plasticity, Preprint N353 (IPM AN SSSR, Moscow, 1988, 44 p.). (In Russian)
7. Kadashevich Yu. I., Pomytkin S. P., "On the interconnection of plasticity theory taking into account the microstresses and endochronic theory of plasticity", Izvestiya Rossiyskoy Akademii Nauk. Mekhanika Tverdogo Tela 32 (4), 99-105 (1997). (In Russian)
8. Valanis K. C., "Fundamental consequence of a new intrinsic time measure-plasticity as a limit of the endochronic theory", Archives of Mechanics 32 (2), 171-191 (1980).
9. Pan W. F., Lee T.H., Yeh W. C., "Endochronic analysis for finite elasto-plastic deformation and application to metal tube under torsion and metal rectangular block under biaxial compression", International Journal of Plasticity 12 (11), 1287-1316 (1996).
10. Khoei A. R., Bakhshiani A., Modif M., "An implicit algorithm for hypoelastic- plastic and hypoelastic-viscoplastic endochronic theory in finite strain isotropic-kinematic hardening model", International Journal of Solids and Structures 40, issues 13-14, 3393-3423 (2003).
11. Bykov D. L., Konovalov D. N., "Endochronic model of mechanical behavior of ageing viscoelastic materials at finite strains", Izvestiya Rossiyskoy Akademii Nauk. Mekhanika Tverdogo Tela 41 (6), 136148 (2006). (In Russian)
12. Suchocki C., Skoczylas P., "Finite strain formulation of elasto-plasticity without yield surface: theory, parameter identification and applications", Journal of Theoretical and Applied Mechanics 54 (3), 731-742 (2016).
13. Kadashevich Yu.I., Pomytkin S. P., "Analysis of complex loading at finite deformations for endochronic theory of plasticity", Prikladnyye problemy prochnosti i plastichnosti, issue 59, 72-76 (1998). (In Russian)
14. Nemat-Nasser S., Plasticity. A treatise on finite deformation of heterogeneous inelastic materials (Cambridge University Press, Cambridge; New York; Melbourne; Madrid; CapeTown, 2004, 730 p.).
15. Kadashevich Yu. I., Pomytkin S. P., "Calculation of the orthogonal rotation tensor for the problems of plasticity at finite deformations", Vestnik Nizhegorodskogo Universiteta, Seriya Mekhanika, issue 6, 73-80 (2004). (In Russian)
16. Kadashevich Yu. I., Pomytkin S. P., Yudovin M. E., "Calculation of the deformation measure for double shear", Aktual'nye problemy stroitel'stva i stroitel'noi industrii. Materials of the 3rd International Conference (June 25-27, 2002, Tula,, Russia), 35-36 (2002). (In Russian)
17. Chernykh K. F., Introduction to physically and geometrically nonlinear theory of cracks (Nauka Publ., Moscow, 1996, 288 p.). (In Russian)
18. Ivanov B. F., Kadashevich Yu. I., Pomytkin S. P., "On construction of orthogonal rotation tensor for endochronic theory of inelasticity at large deformations", Machines and apparatuses of pulp and paper industry, 53-61 (2010). (In Russian)
19. Swift H. W. "Length changes in metals under torsional overstrain", Engineering 163, 253-257 (1947).
Received: September 25, 2018 Revised: October 10, 2018 Accepted: December 20, 2018
Author's information:
Tatiana A. Zabanikova — [email protected] Sergey P. Pomytkin — [email protected]
ХРОНИКА
12 декабря 2018 г. состоялось заседание секции теоретической механики им. проф. Н. Н. Поляхова в Санкт-Петербургском Доме ученых РАН. Первым пунктом повестки заседания была презентация новой книги заслуженного деятеля науки, доктора физ.-мат. наук, профессора Г. Т. Алдошина: Аналитическая динамика и теория колебаний: учеб. пособие. — СПб.: Изд-во «Лань», 2018. —256 с. ISBN 978-5-8114-3432-9. Книга рекомендована научно-методическим советом по теоретической механике в качестве учебного пособия для студентов и аспирантов машиностроительных и физико-технических вузов. Вторым пунктом повестки заседания был доклад доктора физ.-мат. наук, профессора М. П. Юшкова и магистра В. Э. Кондренкиной (математико-механический факультет СПбГУ) на тему «Неголономная модель скольжения фигуриста по льду».
Краткое содержание доклада:
Составлена упрощенная математическая модель скольжения фигуриста по льду. Неголономность задачи определяется отсутствием движения ноги фигуриста в перпендикулярном к коньку направлении. Упрощенность задачи состоит в том, что рассматриваются вращения рук и ног спортсмена только в плоскости его туловища. Составлены уравнения Маджи и приведены численные результаты его интегрирования для последовательности нескольких этапов движения фигуриста.
