CC BY
56
УДК 539.374, 535.422
ФОРМУЛИРОВКА КРИТЕРИЯ ПРОЧНОСТИ МАТЕРИАЛОВ ДЛЯ ЭНДОХРОННОЙ ТЕОРИИ НЕУПРУГОСТИ, УЧИТЫВАЮЩЕЙ МИКРОРАЗРУШЕНИЯ ПРИ БОЛЬШИХ ДЕФОРМАЦИЯХ
Ю. И. Кадашевич, С. П. Помыткин
Санкт-Петербургский государственный технологический университет растительных полимеров,
198095, Санкт-Петербург, ул. Ивана Черных, 4.
E-mail: sppom@yandex.ru
Рассматриваются определяющие соотношения теории вязкопластичности эн-дохронного типа, распространенные на область больших деформаций и поворотов. Предполагается, что в процессе деформирования микроразрушения возникают как в упругих, так и в неупругих элементах материала. Предложены два определяющих уравнения и два закона дилатации для упругой и неупругой областей. Параметры разрыхления введены в критерий прочности для хрупкого и вязкого разрушения материалов.
Ключевые слова: неупругость, эндохронная теория, большие деформации, определяющие соотношения, микроразрушения, критерий прочности.
Введение. Модель упруговязкопластичности, учитывающая микроразрушения в процессе неупругого деформирования материала, вводится в определяющие соотношения эндохронного типа, обобщённые на область больших деформаций и поворотов. Предполагается аддитивное представление тензора деформаций на упругую и неупругую составляющие. Причём считается, что микроразрушения в материале могут возникать как в упругой, так и в неупругой зонах деформирования, внося свой вклад в разрыхление и разрушение материала.
1. Критерий прочности Новожилова и его развитие. В работах [1,2] был предложен критерий разрушения материалов, охватывающий как хрупкую, так и вязкую формы разрушения. Ответственность за разрушение материала возлагалась на пластическое разрыхление, мера которого в и критерий определялись по формулам
где еР —тензор пластической деформации, Л — параметр Одквиста, в — константа материала, в* —разрыхление при разрушении.
В дальнейшем [3] выяснилось, что для лучшего согласования расчётов с опытными данными следует считать, что параметр в не постоянен, а зависит от инварианта р = Л/р^]~Щ], где — тензор остаточных микронапряже-
Юлий Исаакович Кадашевич (д.ф.-м.н., проф.), профессор, каф. высшей математики. Сергей Павлович Помыткин (к.-ф.м.н., доц.), доцент, каф. высшей математики.
(1)
(2)
в = в*.
ний [4]:
(3)
В работе [5] было предложено более общее определяющее уравнение для параметра в в форме
Кроме того, отметим статьи [6,7], в которых предложены уравнения для разрыхления в виде
соответственно. И, наконец, в работе [8] в рамках эндохронного подхода предложено определяющее уравнение для обобщённого параметра разрыхления в форме
Здесь вц, оц —тензоры деформаций и действующих напряжений, штрихами обозначены их девиаторы, К — объёмный модуль, О — модуль сдвига, а — параметр эндохронности, к\ —константа материала.
Соотношения (1)—(7) относятся к случаю, когда скорость деформирования не играет роли. Поэтому авторы работ [9-11] рассмотрели более общий случай сложного нагружения, справедливый как для пластичности, так и для ползучести, то есть для достаточно общей теории необратимых процессов. Критерий разрушения, обобщающий формулу (3), выглядел следующим образом:
2. Учёт микроразрушений в неупругих элементах. В работе [12] при построении критерия прочности был использован простейший вариант эндо-хронной теории неупругости, учитывающий микроразрушения, когда разрушения наступают в упругих элементах. В данной статье приводится формулировка критерия прочности материалов для общего варианта эндохронной теории неупругости, учитывающей микроразрушения, когда в процессе деформирования микроразрушения происходят как в упругих, так и в неупругих элементах материала в условиях вязкопластичности при больших деформациях.
(4)
(5)
и
— = /?(Т0), Т0 = (т0 - тв, (т0 = ап
(6)
(7)
где
Н-о — £о —77 ^0’ ао — ап, £о — £ц.
К
^ = р/3(Л), вкр = т2{\).
Для этого, согласно идеям работы [13], сформулируем эндохронные определяющие соотношения двух типов — для упругих и неупругих составляющих:
+ ар\
Сє'е
СК
= Рг
'(і)
і]
К
'(1)
і]
1 — а
є
°і]
2 См а*
dК1 (1К1 д1 + а
, dRl =
і]
(8)
Рі = Рі(Кі,к і )•
Уравнения (8) можно записать и в следующем виде:
20і
є'е Єі]
І-ді + а
+ р1
сЩ 1
dК1.
п <4 . 9і + 1 , рі-гтг- Н-------:—
СК1 д1 + а
є
(9)
Здесь обозначены через є] — девиатор тензора упругих деформаций, а] — де-
виатор тензора действующих (внешних) напряжений, к]1 —девиатор вспомогательного параметрического тензора, С1 —модуль сдвига, а — параметр эндохронности, р1 —аналог предела упругого разрушения, д1 —постоянный параметр материала.
Поступим аналогичным образом и для неупругих элементов модели:
Се?
г'р а_ я п 13 £гз + рр2Ж2
ск
1(2)
= р2'
і]
92 + 1 „/(2) dR2 92 +13 13 ’
(10)
Р'(2) = £'Р _ 1_А'
і]
і]
202
і]
ск2 =
ск'(2) сК(2)
і]
і]
Р2 = р2(К2, К2)
или
202
- 'Р єі]
[д2 + в
+ р2
щ
dR2
Р2^к + 92±
‘ СК2 д2 + в
і]
(11)
Здесь уже єіР — девиатор тензора неупругих деформаций, а] — девиатор тен-
(2)
зора микронапряжений, Кі] — девиатор вспомогательного параметрического тензора, 02 — модуль упрочнения, в — параметр эндохронности, р2 — аналог предела неупругого разрушения, д2 — постоянный параметр материала.
При полностью активном нагружении выполняется равенство
єі] + є Р = єі] , і] і] і]
где вЦ —девиатор тензора полных деформаций. Частный случай этих соот-
ношений при р1 = р1(Я1) и р2 = р2^2) приведён в [14].
Если реализуется не полностью активное нагружение, то рекомендуем следующее дополнительное условие:
— аіі ~ т(-^ъ -^і)"
ск
(1)
і]
ск1
(12)
Если а = 1 и в = 1, то, сохраняя эндохронность уравнений, легко получить более простые для анализа и восприятия определяющие соотношения в следующей форме:
201
202 СК1 = Сє\
є' е єі]
д1 + 1
Р
+ р1
є
і]
+ р2
йе\ )
р1
р2
і]
Сє\
§2 + 1 ' г“ (іє^;
^ (Ш2 = сієі =
3. Определяющие соотношения и критерий прочности для больших деформаций. Указанные в п. 2 соотношения и уравнения записаны для области малых деформаций. При переходе к большим деформациям и большим поворотам поступим согласно рекомендациям, представленным, например, в работе [15]. Введём приведённые деформации и приведённые напряжения по формулам
Ее = ЯтєеЯ; ЕР = дтєрд; Т = дт ад;
N(1) = ЯтК(1)Я; N(2) = ЯтК(2)Я;
Ёе = дтоед; Ёр = дтврд; т = дтад; да = дтк^д] да) = дтв^д.
(13)
(14)
Здесь и далее в безындексной форме записи тензоров будут использоваться следующие определения и соотношения: д — ортогональный тензор поворота, Бе —тензор скоростей упругих деформаций, определяемый как Бе = (Ье + + ЬеТ)/2, где Ье = РеРе-1, а Ее = дие — полярное разложение градиента упругой деформации Ее и ие — правый тензор упругого удлинения. Кроме того, введём упругий спин Ше = (Ье — ЬеТ)/2 и соотношение и2 = Е^Ее.
Аналогично и для неупругих составляющих: Ор — тензор скоростей неупругих деформаций, Бр = (Ьр+ЬрТ)/2, Ьр = РрРр-1, Ер = дир — полярное разложение градиента неупругой деформации Ер, ир — правый тензор неупругого удлинения, Ше = (Ье — ЬеТ)/2 — неупругий спин и и2 = Ер Ер.
Фактически соотношения (13) и (14) определяют две меры деформаций — упругой и неупругой соответственно:
єе = д[ І(дтпедуи)д', -Р = д
(дтпрд)м^ д
т
С использованием определений (13), (14) соотношения (9), (11) примут вид
(15)
\Кг\Ее + аР1Ёе = Р1Йг +
д1 + а
ШЕр + /Зр2Ёр = р2Й2 + ^-^\К2\К2.
92 + в
Проведём над уравнениями (15) операцию обратного преобразования вида д ( • ) дТ, тогда получим, что
\Кг\ее + ар гёе = р^ + \^\К^ +
■ ді + а (16)
\Я2\єР + /Зр2ЄР = р2К2 + |Д2|Д2^2 + 1),
д2 + а
где кружок над тензором обозначает объективные производные типа Грина— Нахгди:
Єе = Єе + єеП — Пєе, ЄР = ЄР + єРП — ПєР,
Ні = К і + Кі&, — &,Кі, К2 = К2 + К2^ — &,К2
и
^ = д дт, рі = р1(К1,К р2 = р2(К2,ІЇ2).
Если воспользоваться соотношениями (8), (10), то уравнения (15) и (16) можно записать так:
и*® + Р2Е") = >>2І + ^+їта
2С1(1-Щ^+р1ёе)=р1а + ^-^\К1\а,
\gl + а / gl + а
сп ( \ ЇІ2\єР op\ _ о g2 + 1 I n I
2+ р*є)- p*s +
(17)
Эти соотношения — аналог уравнений (9) и (11), но уже для области больших деформаций и поворотов.
Если а = 1, в = 1, р1 = const, р2 = const, то в одноосном случае из уравнений (17) реализуются следующие решения:
o-i = И + 9iPi (! - exp(-ef/pi))],
9i + 1
Sl = --Г [єРі +92р2{1 -ехр(-єр1/р2))],
92 + 1
йЯ1 = (1в\, (Ш2 = (1вРр,
а связь (г1 с «1 определяется формулой (13), а именно «1 = а1 — г1(Е1, К2). Как было указано в п. 1, один из основных законов дилатации имеет вид
— _/3(До), К0_£0--а0.
В настоящей работе авторами рекомендуются, следуя идеям работ [9,10], следующие законы дилатации и критерий:
(1Еп^ „ / „(1)
= А (r(0) ,<t*,rі), а* = л/aijaij
dRl ^lv 0 ’ v ij ij
и
лр(2) ------
-^-=132(ц£\8*,К2), 8* = ф^3,
Ко = Е{о1) + В02) = К*(К 1,К 2).
4. Оценка критерия. В качестве примера рассмотрим ступенчатое нагружение при ползучести. Многочисленные экспериментальные наблюдения (см., например, [16-18]) показали, что принцип линейного суммирования не выполняется. Наиболее интересный закон остаточной долговечности был предложен Вудфордом [17]:
П
£ф^/*П = 1,
г=1
где Ьг — время действия нагружения на г-той ступени, Ь* —время до разрушения при нагружении на г-той ступени, а функции Фг находились экспериментально, причём при низких напряжениях эти функции выпуклы, а при больших напряжениях — вогнуты. Общий вывод из анализа экспериментальных данных таков: понижение напряжений увеличивает долговечность, а повышение напряжений ведёт к уменьшению долговечности. Критерий разрушения, предложенный в [9,10], хорошо описывал отклонение от принципа линейного суммирования. Расчёты, проведённые по предлагаемому в данной работе варианту теории, оказались близкими к результатам работ [9,10].
Авторами подробно была рассмотрена и задача простого сдвига. Эта задача представляет особый интерес, так как по классическим линейным теориям неупругости и по предложениям работы [9] осевые деформации не возникают, и использование критерия прочности, связанного с разрыхлением, бессмысленно. А по предлагаемой в данной работе теории при сдвиговых нагружениях возникают осевые деформации (небольшие по величине), а следовательно, имеет место и разрыхление материала. Результаты оказались вполне приемлемыми для практики.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (код проекта 08-01-00036-а).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Новожилов В. В. О пластическом разрыхлении // ПММ, 1965. — Т. 29, №4. — С. 681689.
2. Новожилов В. В., Рыбакина О. Г. Перспективы построения критерия прочности при сложном нагружении// Инженерный журнал. МТТ, 1966. — №5. — С. 103-111.
3. Рыбакина О. Г. Феноменологическое описание разрушения металлов при некоторых видах асимметричного деформирования// Извест. АН СССР. МТТ, 1969. — №6. — С. 61-66.
4. Кадашевич Ю. И., Новожилов В. В. Теория пластичности, учитывающая эффект Ба-ушингера// ДАН СССР, 1957. — Т.117, №4. — С. 586-588.
5. Бахвалова Н. А. Об учёте влияния накопления повреждённости на процесс разрушения в области малоцикловой усталости // Извест. АН СССР. МТТ, 1973. — №2. — С. 143147.
6. Арутюнян Р. А. Об учёте эффекта Баушингера и объёмной пластической деформации в теории пластичности // Исследования по упругости и пластичности, 1968. — №7. — С. 53-61.
7. Кадашевич Ю. И. Теория пластичности, учитывающая эффект Баушингера и влияние среднего нормального напряжения на границу текучести // Тр. Ленинград. техноло-гич. ин-та целлюлозно-бумажной пром-ти, 1965. — № 18. — С. 234-235.
8. Кадашевич Ю. И., Помыткин С. П. Описание трёхосного простого нагружения в рамках эндохронной теории неупругости, учитывающей дилатацию материалов / В сб.: Машины и аппараты целлюлозно-бумажной промышленности, 2008. — С. 68-74.
9. Новожилов В. В., Кадашевич Ю.И., Рыбакина О. Г. Разрыхление и критерий разрушения в условиях ползучести // ДАН СССР, 1983. — Т. 270, №4. — C. 831-836.
10. Новожилов В. В., Кадашевич Ю.И., Рыбакина О. Г. Разрыхление и перспективы построения критерия прочности при сложном нагружении с учетом ползучести // Из-вест. АН СССР. МТТ, 1988. — №5. — C. 108-114.
11. Кадашевич Ю. И., Новожилов В. В. Теория пластичности и ползучести металлов, учитывающая микронапряжения// Извест. АН СССР. МТТ, 1981. — №5. — C. 100-110.
12. Кадашевич Ю.И., Помыткин С. П. О построении критерия прочности при сложном нагружении / В сб.: Материалы 46-й международн. конф-ции. Ч. I. (Витебск, 1517 октября, 2007) / Актуальные проблемы прочности, 2007. — C. 68-74.
13. Кадашевич Ю. И., Помыткин С. П. О взаимосвязи теории пластичности, учитывающей микронапряжения, с эндохронной теорией пластичности // Извест. РАН. МТТ, 1997. — №4. — C. 99-105.
14. Кадашевич Ю. И., Помыткин С. П. Эндохронная теория неупругости, учитывающая микроразрушения (общий случай) / В сб.: Тр. 47-й международн. конф-ции. Ч. I. (Нижний Новгород, 1-5 июля, 2008) / Актуальные проблемы прочности, 2008. — C. 323324.
15. Кадашевич Ю.И., Помыткин С. П. Анализ сложного нагружения при конечных деформациях по эндохронной теории неупругости // Прикладные проблемы прочности и пластичности, 1998. — №59. — C. 72-76.
16. Greenwood G. W. Fracture under creep conditions // Materials Science and Engineering, 1976. — Vol. 25. — P. 241-243.
17. Woodford D. A. Creep Damage and the Remaining Life Concept // ASME J. Eng. Mat. Technol., 1979. — Vol. 101, No. 4. — P. 311-316; русск. пер.: Вудфорд Д. А. Повреждение при ползучести и концепция остаточной долговечности // Теоретические основы инженерных расчётов, 1979. — Т. 101, №4. — C. 1-8.
18. Dyson B. F., McLean D. A New Method of Predicting Creep Life // Metal Science, 1972. — Vol. 6, No. 1. — P. 220-223(4).
Поступила в редакцию 30/XII/2009; в окончательном варианте — 15/III/2010.
MSC: 74C20
FORMULATION OF MATERIAL STRENGTH CONDITION FOR ENDOCHRONIC THEORY OF NON-ELASTICITY ALLOWING FOR MICRO-FRACTURES UNDER LARGE STRAINS
Yu. I. Kadashevich, S. P. Pomytkin
Saint-Petersburg State Technological University of Plant Polymers,
4, Ivan Chernykh str., Saint-Petersburg, 198095.
E-mail: sppom@yandex.ru
Endochronic constitutive relations in viscoplastic theory for large strain domain are studied. It is assumed that micro-fractures are initiated both in elastic and in nonelastic elements of deformed material. Two constitutive equations and two dilatation ones for elastic and non-elastic ranges are proposed. Dilatation parameters are introduced into strength condition for brittle and ductile fracture of materials.
Key words: non-elasticity, endochronic theory, large strains, constitutive equations, micro-fractures, strength condition.
Original article submitted 30/XII/2009; revision submitted 15/III/2010.
Yuliy I. Kadashevich (Dr. Sci. (Phys. & Math.)), Professor, Dept. of Higher Mathematics. Sergey P. Pomytkin (Ph.D. (Phys. & Math.)), Associate Professor, Dept. of Higher Mathematics.
