Эндохронная теория пластичности, учитывающая перекрестные связи, начальные микронапряжения и начальные микродеформации Текст научной статьи по специальности «Математика»

Эндохронная теория пластичности, учитывающая перекрестные связи, начальные микронапряжения и начальные микродеформации

д.ф.-м.н. проф. Кадашевич Ю.И., к.ф.-м-н. доц. Помыткин С.П., д.ф.-м.н. доц. Крыжевич С.Г. Санкт-Петербургский государственный технологический университет растительных

полимеров, Санкт-Петербургский государственный университет 8(812) 7868660, [email protected], 8(812) 4284211, [email protected]

Аннотация. Предложен статистический вариант теории неупругости эндохрон-ного типа, учитывающий начальные микронапряжения и начальные микродеформации, содержащиеся в материале. Сформулированы определяющие соотношения теории. На примерах одноэлементой и двухэлементной модели представлены расчёты одноосного нагружения гипотетического материала, демонстрирующие возможности подхода в предположении о равномерном распределении начальных микродеформаций. Подчёркивается, что в процессе нагружения структурные элементы модели могут генерировать деформации разных знаков, что расширяет границы применимости теории.

Ключевые слова: эндохронная теория неупругости, определяющие соотношения, статистический вариант, начальные микродеформации, микронапряжения.

В 1995 году в работе [1] была предложена двухповерхностная теория пластичности, учитывающая микронапряжения. В 2004 году в статье [2] была сделана попытка расширить возможности теории, представленной в [1], с использованием идей, высказанных в работах [3,4]. Фактически в [2] был предложен новый вариант эндохронной теории пластичности. В данном исследовании развивается и уточняется подход к построению определяющих соотношений теории пластичности, опубликованный в статье [2]. Предложения работы [2] имели следующий вид:

de.. dym

sj = xk, (1)

d d

xk - Ckmym ,k, m-1,2,..., N, (2)

S-2G«(sj-a„ym), (3)

a

m

> 0, Jam = 1, d 1k dyk ||-Vdyk : dyk .

(4)

Здесь 8л - девиатор тензора деформаций, ац - девиатор тензора напряжений, ут -девиаторы тензоров неупругих деформаций, хк - аналоги деформационных пределов текучести, Скт - константы, имеющие смысл, аналогичный коэффициентам упрочнения (разупрочнения), Р - параметр эндохронности (0^Р]£ 1), ат - константы, имеющие смысл весовых коэффициентов. Выражение Хк в статье [2] названо средневзвешенным де-виатором неупругих деформаций.

Частный вариант теории (1) - (4) при к, т Ш 1,2 имеет вид:

^ 8;; йу1ц , 2

8Ц +РТ1 ^ Ш*1 ; С11У + С12У;2 , (5)

m

й 8 у

еу+Р*2—» й 1

и, +С21у\+С22 у2,

й 1

а;;

8;У ■ ^+ а2У

у а1 +а2'

II.

(6) (7)

у 2£ 1у Отметим два недостатка соотношений (5) - (7):

1) в [2] рекомендовалось расчёты проводить лишь в случае а1 =а2 — 0,5;

2) утверждалось, что О - реальный модуль сдвига, хотя в начальный момент нагруже-ния модуль сдвига по соотношениям (5) - (7) зависит от значения параметра Р .

Поэтому сейчас исходные соотношения теории (1) - (4) предлагается записать несколько в другом виде ( Рк - параметры эндохронности).

2в

1 ( й ау

V»+Р*

>

йу+

к л + Хк'

й Хк

X — Скту;, к, т —1,2,..., N,

8 ——+а Ут 2^

(8)

(9)

(10)

у 2С »

Для двухэлементной теории уравнения (8) - (10) выглядят следующим образом (здесь и далее в безиндексной форме записи):

йУ1

2в 1

1 {о** * % )=

2в

(

•I ° + Р2 Т2

й 11 й а

й ^2 а

>

+ С11У1 + С12У2 5

й Г1

Т2 ТТ* С21У1 * С22У2 й 1

8— + а1У1 +а2 У 2

(11)

(12) (13)

Примеры, приведенные в статье [2], продемонстрировали хорошее совпадение с опытными данными. Однако расчёты проводились лишь при малых значениях Р , что ограничивает возможности теории. Отметим также, что в [2] автор отошёл от рекомендаций работы [3], в которой мера деформации вводилась по формуле ( а - параметр эндохронности):

о

Ж

Поэтому для двухэлементной модели (8) - (10) с учетом (14) получаем, что:

- •Т

•I а + Р2 Т2

й а

^

й а

I йгг\

> >

йГ

'1\йг1\ '2 \ йГ2 \

+ С11Г1 + С1

12' 2 '

+ С21Г1 +

22 2

'(1-Р1)

а

Г

2в1

(в)—С181+С282, С1+С

(1-Р2)

а

2£0

11.

(14)

(15а)

(15б)

(16) (17)

где константы С1, С2 - весовые коэффициенты, а символ < е > обозначает среднее значение

8

8

деформации.

Рассмотрим соотношения (15) - (17) для одноосного нагружения в случае, когда к Ш1,

Р; = 1 и С11 = —1—. Тогда г = е, dr1 =\dsi | и g +1

/ 7 Л

1

2в

а+х-

d а

\ ^ \

= х-

d е

V I I 0

+--, \ dsI \=ЖЩ~, (18)

2 +1 ^ ' '

\ dе.. \ я + :

где: \ е.. \ - длина дуги траектории деформирования, я - аналог коэффициента упрочнения (разупрочнения) материала. Предположим, что в теле имеются начальные микродеформации е0, среднее значение которых равняется нулю. Предположим, что деформирование начинается в том случае, когда внешняя деформация е превосходит значение е0, тем самым локальная длина дуги 1 определяется формулой 1 = е — е0, где е и е0 одного знака. Но тогда локальные деформации е0 противоположного знака самостоятельно будут вызывать течение материала, при каждом е > 0 для среднего значения напряжения получаем:

<а>= е) / (е0) d е0

где: /(е0) - плотность распределения случайной величины е0, а(е0,е) - локальный закон развития напряжений, а < • > - знак среднего значения случайной величины.

Главной особенностью рассматриваемого подхода является то обстоятельство, что отрицательные начальные микродеформации е0 препятствуют развитию течения при растяжении, а положительные е0 способствуют развитию течения. Более того, еще в работе [5] было указано, что \ е0 \< Ь, где Ь - некоторая экспериментальная характеристика материала.

Отсюда можно сделать вывод, что течение материала начинается при условии е — е01} ^ 0 в первом случае (при растяжении), а во втором случае деформирования (сжатии) - при е + е02) ^ 0. Объединяя оба случая деформирования получаем:

е

<а>= е) /(е0) dе0- (19)

Второй особенностью подхода является то обстоятельство, что вне интервала \ е0 \< Ь внешняя деформация е не производит напряжение а. Этот факт играет решающую роль при использовании формулы (19).

Согласно работе [5] закон распределения е0 близок к нормальному закону распределения, но для выяснения качественной картины явления примем равномерный закон распределения е0 , тогда при каждом е > 0 среднее значение а(е0 ,е) на продеформированной части будет иметь следующий вид:

<а>= — [а(е0,е) dе0, (20а)

2^

—е

если \ е \< Ь. Если же \ е \> Ь, то:

<а>= 2Ь ^^е) dе0. (20б)

Предположим, что в теле присутствуют начальные микродеформации e0 и начальные микронапряжения s0, причем s0 = q • e0, q = const. Тогда при прямом одноосном нагру-жении растяжением решение уравнения (18) имеет вид:

s = n + pe + exp

Ч _ел

V t 0

2G t g n =-—, p

■ (qeo - n - p^X 2G

(21)

Я +1 Я +1

На рисунке 1 приведены типичные графики решения (21) для случая 2G = 1, т = 1, Я = 4, 80 = 1, 8 > 80, q = 1 (кривая - а) и q = 0,2 (кривая - б).

1.6

1.4

1.2

0.8

0.6

0.4

0.2

а a

"б

е

0.У <а>

0.7

09 8

1.5

2.5

3.5

Рисунок 1. Локальные кривые деформирования при монотонном одноосном растяжении

О 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.3 1

Рисунок 2. Осреднённый закон деформирования при прямом активном нагружении

Подчеркнем, что решение (21) определяет закон течения при неизменных значениях начальных микродеформаций 80. Так как материал принимается первоначально изотропным, то среднее значение начальных микродеформаций и начальных микронапряжений в теле, должно равняться нулю <8>= 0, <а> = 0.

Используя локальный закон (21), равномерный закон распределения начальных микродеформаций 80 и (20), получим:

<s>

=-i

2e J

n + pe + exp

Ч -ел

(qeo- n - peo)

• de0.

(22)

Для случая, когда 2G = 1, t = 1, g = 4, q = 1 решение (22) имеет вид:

0 8

<s>= 1,2 + 0,2e + 0,4• e"2s + 08• (e"2s -1),

e

а при любом q решение (22) принимает форму:

q

q

<s>=J- + 0,7 + 0,2 e + (^ - 0,1) • e

-2e

0,5 к + 0,2

(e"2E-1).

2 2 8 На рисунках 1 и 2 показан характер развития деформации при активном монотонном нагружении растяжением для локальных и осреднённых напряжений. Можно показать, что в

й <а>

данном примере при любом значении q -:- = 1.

d e

e=0

t

Рассмотрим как изменится локальный закон развития напряжений, если растяжение сменяется сжатием и, наоборот, если сжатие сменится растяжением. Предположим, что закон изменения напряжения при одноосном активном (без разгрузки) растяжении с фиксированными значениями начальных микродеформаций, обозначаемых 80, вытекающий из (21) при g = ¥, 2G = 1, т = 1 и д = 1 имеет вид:

а+ =1 + ехр(8о -8) • (8о - ГК (23а)

а при простом сжатии:

а_=_1 + ехр(80 + 8) • (1 -80). (23 б)

Предположим, что проведено нагружение растяжением. При значениях 8 = 8* растяжение заканчивается. После этого проводится обратное сжатие. Предполагается, что справедлива формула типа (23б), но для «склейки» решений по напряжениям вместо множителя (1 _ 80) сейчас вводится неизвестный множитель С, то есть:

а_ = _1 + С • ехр(80 + 8),

а С находится из условия а+ (8*) = а_ (8*) . Нетрудно проверить, что:

С = 2 • ехр(80 _ 8*) + (80 _ 1) • ехр(2 • (80 _ 8*))

и тогда окончательная формула для а_ после растяжения до 8* запишется в виде:

а_ = _1 + 2 • ехр(8 _ 8*) + (80 _ 1) • ехр(80 + 8 _ 28*). (24)

При этом было учтено, что после изменения нагружения с растяжения на сжатие длина дуги равна 1 = 28* 8 80, а 8* - деформация перед поворотом нагружения. Для вычисления среднего значения напряжения, осредняемого по 80 и равномерному закону распределения для 80, при обратном сжатии воспользуемся соотношением типа (22). Тогда:

28*_8

_1 + 2 • ехр(8 _ 8* ) • 80 + (80 _ 2) • ехр(80 + 8 _ 28* )

<а>

(25)

8-28*

2-1 28* _ 8 |

Приведённое решение (25) справедливо при 0 < 8 < 1.

При 8 < 0 исходным является решение задачи (18) при активном монотонном сжатии, полученному аналогично соотношению (21) и осреднённому по 80 :

е28_1

<а>_=_1,5 +--0,5 • е

28

(26)

Потребуем, чтобы при 8 = 0 решение (25) и решение (26) совпадали, то есть:

< а > = _1,5 + С •

е2Е_ 1

_ 0,5 • е

28

(27)

Если в конце предыдущего этапа (при 8 = 0) а = а0, то С = 1 + 2/3 • а0.

На рисунке 3 приведено решение (15) - (17) по двухэлементной модели для простейшего случая одноосного монотонного растяжения, когда:

1

2^ 1

2в„

а +

а +

й а

й 11

й а

й 1

й 81 й 11

й 82 й 1

, 81 > 0, а > 0,

82 <0, а>0.

(28а) (28б)

8

8

ЗДесь р! =р2 = 1, Сп = С12 = С21 = С22 = О, Т =Т2 = 1. ТогДа =8!, Г2 = 82 .

й11 = й 81, d12 = —d82, и следовательно:

1 й а

а +-

201 й 81

1 й а

а--

202 й 82

= 1.

= —1.

Тогда решение системы (29) запишется следующим образом:

8 = —т— • 1п(1 — а), 82 = • 1п(1 + а), < 8 >= (е1 + 82) / 2.

(29а) (29б)

2^

20„

В расчётах, представленных на рисунке 3, принято, что 201 = 1.2, а 2G2 = 1.

с ^ /<8>

Т\

7 > //

1 г/

. т

I / !

е2 1

Рисунок 3. Поведение деформаций по уравнениям двухэлементной эндохронной

теории при одноосном растяжении

Характерной особенностью решения системы (28) является то обстоятельство, что деформации 81 и 82 противоположного знака, что открывает новые возможности для эндохронной теории. (По теории работы [2] эти деформации одного знака).

Рассмотрим далее для уравнений теории (15) - (17) более общий пример одноосного монотонного растяжения, когда, в отличие от предыдущего, учитываются и начальные микродеформации 80. Тогда определяющие соотношения будут иметь вид (28а) и (28б), а локальные законы деформирования принимаем, следуя (21), в форме:

а 1 + (80 — 1) • ехр(80 —8), (30а)

при g = да, т = 1, а0

2С1 а 1в2" Я

-1 + (80 +1) • ехр(80 — 8) .

(30б)

Я = 1.

Решение системы (30) в отсутствии упрочнения материала (g = ¥ ) можно получить в

виде:

{а) = 1,5 + 0,5 • ехр(—281) + (ехр(—281) — 1) / ^

201

20

^ (а) = 0,5 • (ехр(—282) — 1),

(31а) (31б)

где: е1 > 0, е2 < 0 .

На рисунке 4 приведены графики развития деформаций двух элементов модели в зависимости от среднего напряжения, вычисленные по (31) при 201 = 1.2 и 2G2 = 1.

14

12

0.6

0.4

02

« у>

е2

2.5

0.5

<( т>

е2 / «м

-0.5

0.5

1.5

2.5

Рисунок 4. Влияние элементов эндохронной теории на кривую одноосного растяжения при отсутствии упрочнения материала

Рисунок 5. Влияние элементов эндохронной теории на кривую одноосного растяжения с учетом упрочнения материала

На рисунке 5 представлены результаты решения системы (28) для прямого активного нагружения растяжением с учетом и начальных микродеформаций и упрочнения материала (параметр g = 4). Локальные законы деформирования в этом случае выражаются следующим образом:

а

~201

0,2 • е + 0,8• [1 + (е0 -1)• ехр(е0 -е)],

(32а)

а

2а

= 0,2-е + 0,8• [-1 + (е0 +1)• ехр(е0 -е)],

(32б)

а осреднённые для равномерно распределённых начальных микродеформаций - в виде:

<а> = 0,2 • е1 +1,2 + 0,4 • ехр(-2е1) + — • (ехр(-2е1) -1), 2^ е1

<а>

2в„

0,2 ^е2 + 0,4 • (ехр(-2е2) -1):

(33 а)

(33б)

где, по-прежнему, е1 > 0, е2 < 0 , 2а1 = 1.2, 202 = 1.

Замечание

Обратим внимание на важную деталь, которая не была чётко выделена в [5]. Признавая возможность наличия в материале начальных микронеоднородностей, авторы [5] считали, что в упругой области связь между напряжениями и деформациями может быть произвольной, так как начальные микронеоднородности могут влиять на процесс деформирования лишь в пластической области. В эндохронной теории дело обстоит иначе. В эндохронном подходе отсутствует разделение деформаций на упругие и неупругие составляющие, поэтому связь между напряжениями и деформациями в исходном состоянии не может быть произвольной, она полностью определяется структурой соотношений теории. Более того, в начальный момент нагружения в изотропном материале средние значения деформаций и напряжений должны равняться нулю. С учётом этого и должны анализироваться соотношения (12) - (14)._

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований

(грант 14-01-00202).

Литература

1. Кадашевич И.Ю., Мельников Б.Е. О возможности использования двухповерхностной теории пластичности при циклическом нагружении // Научно-технические проблемы прогнозирования надёжности и долговечности металлоконструкций и методы их решения: Труды I Международной конференции. Санкт-Петербург. 1995. С. 157-158.

2. Kadachevitch I. Modellierung der zyklischen verfestigung unter verwendung lines Mehrflachenmodells der plastizitat mit kinematischen bindungen ein schlieblich der parameterbestimmung (dissertation). Bericht. 1/2004. 112s.

3. Valanis K.C. Fundamental consequence of a new intrinsic time measure-plasticity as a limit of the endochronic theory // Archives of mechanics. 1980. Vol.32. P.171-191.

4. Кадашевич Ю.И., Помыткин С.П. О взаимосвязи теории пластичности, учитывающей микронапряжения, с эндохронной теорией пластичности // Известия РАН. Механика твердого тела. 1997. № 4. С. 99-105.

5. Кадашевич Ю.И., Новожилов В.В. О влиянии начальных микронапряжений на макроскопическую деформацию поликристаллов // Прикладная математика и механика. 1968. т. 32. Вып. 5 С. 908-922.