CC BY
47
Эта неустойчивость вызвана разрушением элементов системы, что эквивалентно уменьшению площади эффективного, т.е. несущего фактически нагрузку, сечения.
2. На падающих ветвях диаграммы инкрементальные модули материала отрицательны.
3. Мгновенные коэффициенты поперечной деформации тоже могут принимать отрицательные значения. Это обусловлено тем, что при деформировании имеют место два конкурирующих процесса. Растяжение сопровождается уменьшением поперечного сечения элементов, но при их разрушении, когда целые части разгружаются, происходит расширение. На падающей ветви из-за многочисленных разрушений процесс расширения превалирует.
4. Модуль разгрузки из-за разрушения части элементов уменьшается (выполаживается). При разгрузке с падающей ветви и последующим сжатии этот модуль по мере уменьшения деформации начинает возрастать из-за включения в работу разрушенных элементов. Таким образом, нарушается пропорциональность напряжений и деформаций, и линия разгрузки представляет собой некоторую кривую (в рассмотренном частном случае - ломанную линию).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Гохфельд Д. А., Садаков О. С. Пластичность и ползучесть элементов конструкций при повторных нагружениях. М.: Машиностроение, 1984. 256 с.
2. Ромалис Н. Б., ТамужВ. П. Разрушение структурно-неоднородных тел. Рига: Зинатне, 1989. 224 с.
3. Келлер И. Э., Кузнецова В. Г., Новокшанов Р. С. Сравнениедвух моделей упругопластичности, обобщающих модель Мазинга на случай сложного нагружения // Математическое моделирование систем и процессов. Сб. науч. тр. Пермь: ПГТУ, 1996. № 4. С. 73-78.
4. Радченко В. П., Еремин Ю. А. Реологическое деформирование и разрушение материалов и элементов конструкций. М.: Машиностроение - 1, 2004. 265 с.
5. Радченко В. П., Небогина Е. В., Басов М. В. Структурно-феноменологический подход к описанию полной диаграммы упругопластического деформирования // Известия вузов. Машиностроение, 2000. № 5-6. С. 3-13.
6. Миронов В. И., Стружанов В. В., Миронов П. В., Седов Ю. Н. Особенности деформирования структурнонеоднородного материала на стадии предразрушения // Динамика, прочность и износостойкость машин. Международный журнал на электронных носителях. 1998, вып. 4. С. 73-78.
Поступила 26.09.2006г.
УДК 539.374
Б. Ф. Иванов, Ю. И. Кадашевич, С. П. Помыткин
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ НЕУПРУГОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ МАТЕРИАЛОВ
Решается задача о возможности появления немонотонного поведения кривых «напряжения - деформации» в эндохронной теории неупругости и возможности расширения понятия меры деформации.
Уже достаточно давно экспериментально были обнаружены факты немонотонного поведения кривых связи напряжений и деформаций при простом (монотонном) деформировании и нагружении. Отметим здесь работы Портевена-ЛеШателье [1], Савара [2], Массона [3], своеобразные кривые деформирования в экспериментах Монтелье [4]. Теоретически в рамках феноменологического подхода указанные явления до сих пор не находят единого удовлетворительного описания. Все упомянутые явления и аналогичные им, начиная с эффекта Пойнтинга [5] и осцилляции напряжений Рубина [6], и заканчивая явлением ретчета [7] и эффектом Малышева [8, 9], могут быть названы, следуя работе [10], эффектами второго порядка. Предложенная авторами в работе [11] эндохронная теория неупругости, учитывающая конечные деформации, качественно описывает ряд перечисленных эффектов [12-14].
1. Используется простейший вариант эндохронной теории неупругости для больших деформаций в виде [12]:
то+ о | = 2G (т ( + к е| Б|), в = Б , Q, = QQT ,
в + вП -Пв = в , |Б| = ^Б :Б . (1)
В соотношения (1) в безындексной форме входят: т — аналог деформационного предела текучести; с, в — девиаторы тензоров напряжений и деформаций; О — модуль сдвига; к — аналог коэффициента упрочнения; Q — ортогональный тензор поворота; О — тензор спина; О — девиатор тензора скоростей деформаций. Кроме того, здесь используются следующие связи:
вп = сп/К, О = (Ь + Ьт)/2, Ь = ЕЕ-1, Q = Еи где К — объемный модуль; Е — тензор градиента деформаций; Ь — скорость градиента деформаций; и — правый тензор удлинения в полярном разложении тензора Е = Qu .
Рассмотрим случай, когда градиент деформаций имеет достаточно простой вид
F =
Гa1 mb 0 )
b a2 О
v0 0 a3 у
В этом случае
F-1= і
Л
Гa2 -mb 0 )
-b a1 О
О
О Л/с
, Л = a1 a2 -mb2.
3 у
Тогда ортогональный тензор поворота Q имеет следующую структуру:
^ cos Р sin р 0Л
Q =
- sin Р cos Р О О 0 1
Легко проверить, что в этом случае
a1 a2-mbb = Л^П, a2a1 -mbb = Л-D22, b(a2 + ma1 )-b| a2+ ma1 |= 2-Л-D1
Кроме того,
tg P =
b (m__________1) = d D = D = 0
, , J-Ул -i l-S'y-i •
(2)
(3)
Изучается задача, когда О11 Ф 0 , О22 Ф 0 , О22 = -О11, О12 Ф 0, О13 = О23 = 0 . Тогда система
определяющих уравнений (1) примет вид:
вії + д В12 = Оп, ві2 - д вп = О12, (4)
аи+0гіD1+q а12=2G ГDn + 7єпіD і"), а12 +0^D I-qап=2G I D12+~є12І Dl I,
2P=-q.
Введем новые обозначения:
а = а11 + i а12, є = є11 + i є12, D = D11 + iD12.
(5)
(6)
Эти величины назовем комплексным напряжением, комплексной деформацией и комплексной скоростью деформации, соответственно. Уравнения (4) и (5) в соответствии с обозначениями (6) принимают вид:
є - i q є = D, а
/1
а = 2G | D+— I D\ є |.
(7)
При начальных условиях сг(0) = 0 , 8(0) = 0 и задании тензора D нетрудно получить решение 8 = 1 D ф-{cos [B(t) - Вф\ - i-sin [B(t)-Вф]} ,
а
2G
I
DG) + -I D(^) |є
exp(С(;)-C(t))•{ cos[B(t)-B(^)] - i■ sin[B(t)-B©] }
Здесь
t і t B(t) = -| q(^) dl;, C (t) = -j| D(^) |d; .
a
3
Отделяя вещественные и мнимые части решения, получим:
t
8ц(0=j{ Dn(^) - cos [B(t) - B©] + D12(^) - sin [B(t) - B(;)] }
i
8i2(t) = |{ D12 (^) - cos[B(t) - B(;)] - Dn(£) - sin [B(t) -B(;)] }
Pii(t)
2G
^12(t) 2G
jexp[C(^) - C(t)] - \ Dn(^) + - |D(^)|
cos [B(t) - B(;)]
D^) + - |D(^)|.
- sin [B(t) -B(;)]
j exp [CO;) - C(t)] D12G) + - |D(;)|
A I T
-cos[B(t) -b(;)] -
Dn(;)+-|d(;)| 811
T
- sin [B(t) -b(;)]
(8)
2. Рассмотрим важный частный случай, когда
D11 = 0, D12 = D102 = const, k = 0.
Предположим, что q(t) локально интегрируема на [0, + да), тогда можно показать, что lim c11(t) = 0 и lim c12(t) = D102. Кроме того, если q(t) монотонно убывает, lim q (t) = 0 и су-
да п •
ществует P = j q(t) dt < —, то С12 (t) > 0 .
2
п
Монотонное возрастание с12 возможно и при Р > — . Приведем характерный пример:
2
m = k02, q =
1 - -0
1
(1 + ko ) 2 k
v ’ - sh-------------------— t
2 k0
1 + k0
1 да
Если т = 0, то д =------------ и I qdt = п . На рис. 1 для этого случая приведено изменение
1 +1 *
о
сдвигового и осевого напряжения от времени (т = 1, 20 = 1, к = 0, т = 0).
2
0
Р и с. 1. Изменение осевого (а) и сдвигового (б) напряжений от времени: т = 1, 2G = 1, к = 0, m = 0
3. Рассмотрим случай, когда помимо (8) выполняется условие q = qM = const. Тогда, если q = 0, то система (4)-(5) имеет единственную точку покоя Q(0,1), являющуюся центром, и решение c(t), начинающееся в точке (0, 0), идет в эту точку по мнимой оси. Если же qM Ф 0 ,
то у системы будет единственная точка покоя Qoo =
1-
1
у
являющаяся фокусом и ре-
шение, начинающееся в точке (0, 0) при > 0, располагается в левой полуплоскости комплексной переменной, наматываясь на точку Qoo против часовой стрелки. При дм Ф 0 решение целиком располагается выше оси с11 и ниже прямой с12 = В12. Отметим, что скорость изменения напряжений при этом условии не остается знакопостоянной, то есть процесс решения оказывается осциллирующим по скорости напряжений.
4. Рассмотренные авторами другие примеры также показали, что и при переменном q, не удовлетворяющем условиям пункта 3, возникают осциллирующие изменения скоростей напряжений.
Пример.
12 +1
Пусть т = -I2
1
тогда
1
21
Б1П-
21 1 -12
При т ^-1 значение q велико и практически его величина постоянная, а кривые с12(^) и ап(0 имеют колебательный характер. На рис. 2 приведен типичный пример поведения с12(^) при условии,
что т = —, к = 1, I = 0,8, 20 = 2q(1 + А),
q
ё А = ^ё в: ё в .
Таким образом, видно, что в зависимости от значения т величина параметра эндохронной неупругости q может иметь различный характер изменения и, как следствие, могут возникать как монотонные, так и колебательные изменения напряжений.
5. Как известно, например, согласно [12] , мера деформации может определяться формулой
*
в = В . Анализ экспериментальных данных показал, что столь простая форма связи в и В мо-
жет сужать возможности теории. Поэтому в работе [15] было предложено использовать более общее определение меры деформации
в=К ( Б |, А,)-) , ё А = ^ё в :ё в .
Такое расширение позволило, в частности, описать эффект Рони [16].
Однако существует и другой способ расширения понятия меры деформации, если ввести нелинейность в левую часть уравнения (4). Рассмотрим, например, соотношения (7) в форме
в- / дв + (а + у /) в3 = В .
Для простейшего случая допустим, что Б11 = 0, а = 0, В Ф 0, тогда получим
(10)
Є11 = 3 УЄ12 Є11 УЄ12 ‘
є = Б
12 11
12 11 12 12 Авторами данной работы решены следующие задачи.
а. Простой монотонный сдвиг: Б12 = 1 и q = 1
3 УЄ11 Є12 УЄ11
. Оказалось, что при у = 0 деформации
в11 и в12 изменяются монотонно, а при у Ф 0 все деформационные кривые асимптотически выходят на предельные значения, что и проиллюстрировано на рис. 3.
б. Простой циклический сдвиг, когда Б12 = ±1. В этом случая, как видно на рис. 4, при у = 0 деформации в11 и в12 имеют периодический симметричный характер развития. Если же у Ф 0, то развитие деформаций носит неустановившийся характер и без четких предельных значений (см. рис. 5).
2
11
Р и с. 3. Деформационные кривые для в11 и в12 для задачи а
Р и с. 4. Деформационные кривые для задачи б (у = 0)
Р и с. 5. Деформационные кривые для задачи б (у Ф 0)
Таким образом, введение кубического члена в соотношения для меры деформации резко меняет вид решения (в зависимости от значения параметра у), что открывает новые возможности описания реального поведения деформаций.
1. Porteven A., LeChatelier F. Sur un phenomene observe lors de l’essal de traction d’alllages en cours de transformation// Comp. Rend. Acad. Scl. Paris, 1923. Vol. 17б. P^^W.
2. SavartF. Recherches sur les vibration longitudinales // Annales de Chimie et de Physique. Deuxleme serie, 1837. Vol. бЗ. P. 337-402.
3. Masson A. Sur elasticite des corps solldes // Annales de Chimie et de Physique. Troisieme serie, 1841. Vol. 3. P. 4З1-4б2.
4. Montheillet F., Cohen M., Jonas J. J. Axial stresses and texture development during the torsion testing of Al, Cu, a-Fe // Acta Metallurgica, 1984. Vol. 32. P. 2077-2089.
З. Poynting J. H. On pressure perpendicular to the shear planes in finite pure shears, and on the lengthening of loaded wires when twisted // Proccedlngs of Royal Society. London. A, 1909. Vol. 82. P. З4б-ЗЗ9.
6. Rubin M. B. Plasticity theory formulated in terms of physically based micro structural variables. Part II. Examples // International Journal of Solids and Structures, 1994. Vol. 31, № 19. P. 2б3З-2бЗ2.
7. Delobelle P., Robinet P., Bocher L. Experimental study and phenomenological modelization of ratchet under uniaxial and biaxial loading on an austenitic steel // International Journal of Plasticity, 199З. Vol. 11. № 4. P. 397-421.
8. Малышев Б. М. Пластическое течение при совместном непрерывном растяжении и кручении под действием малых крутящих моментов // Вестн. Моск. ун-та. Математика, механика, астрономия, физика, химия, 19З8. № 1. С. ЗЗ-б8.
9. Малышев Б. М. Пластическое течение при совместном непрерывном растяжении и кручении под действием малых крутящих моментов // Вестн. Моск. ун-та. Математика, механика, астрономия, физика, химия, 19З8. № 2. С. 33-4б.
10. Георгиевский Д. В. Тензорно-нелинейные эффекты нри изотермическом деформировании сплошных сред // Успехи механики, 2002. Т. 1, № 2. С. 1З0-17б.
11. Кадашевич Ю. И., Помыткин С. П. Новые принципы составления определяющих уравнений эндохронной теории пластичности при конечных деформациях // Машины и аппараты целлюлозно-бумажного производства: межвузовский сборник научных трудов. СПб: Издательство Санкт-Петербургского государственного технологического университета растительных полимеров, 199б. С. 124-127.
12. Кадашевич Ю. И., Помыткин С. П. Анализ сложного нагружения нри конечных деформациях но эндохронной теории неунругости // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Москва: КМК, 1998. Вып. З9. С. 72-7б.
13. Кадашевич Ю. И., Помыткин С. П. Новый взгляд на построение эндохронной теории пластичности нри учете конечных деформаций // Научно-технические ведомости СПбГТУ. СПб:СПбГТУ, 2003. № 3. С. 9б-103.
14. Кадашевич Ю. И., Помыткин С. П. О расширении возможностей эндохронной теории неунругости, учитывающей конечные деформации // Проблемы прочности и пластичности, 2004. Вып. бб. С. 31-34.
1З. Кадашевич Ю. И., Помыткин С. П. Исследование поведения циклически нестабильных материалов нри учете конечных деформаций // Современные проблемы пластичности и устойчивости в механике деформируемого твердого тела. Тез. докл. VI международ. научн. симп. Тверь, 1-3 марта 200б. Тверь: Изд-во Твер. гос. техн. унта. С. 27-28.
1б. Ronay M. On second-order strain accumulation in aluminum in reversed cyclic torsion at elevated temperatures // International Journal of Solids and Structures, 19б7. Vol. 3. P. 1б7-17б.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 05-01-00169).
Поступила 14.10.2006 г.
УДК 539.374
А. Н. Анисимов, А. И. Хромов
ВНЕДРЕНИЕ КЛИНА В ПОЛУПРОСТРАНСТВО ПРИ УСЛОВИИ ТЕКУЧЕСТИ КУЛОНА-МОРА
Задача о внедрении клина в полупространство рассматривались Р. Хиллом, Е. Ли и С. Таппером при условиях текучести Мизеса и Треска-Сен-Венана. В этом случае идеальное жесткопластическое тело является несжимаемым. При условии текучести Кулона - Мора происходит изменение объема материала в пластической области. Целью работы являлось исследование полей деформаций в различных точках пластической области: на поверхностях разрыва скоростей перемещений и в центре веера характеристик в условиях плоской деформации.
1. Основные соотношения. Основными соотношениями в теории пластических течений являются [1]:
а) ассоциированный закон пластических течений
в, =Ад^, А > 0, /, , = 1,2,3, (1)
да«
