Описание эффекта Портевена-ЛеШателье в рамках эндохронной теории неупругости при конечных деформациях Текст научной статьи по специальности «Физика»

Механика деформируемого твердого тела

УДК 539.374

Ю. И. Кадашевич, А. М. Пейсахов, С. П. Помыткин

ОПИСАНИЕ ЭФФЕКТА ПОРТЕВЕНА-ЛЕШАТЕЛЬЕ В РАМКАХ ЭНДОХРОННОЙ

ТЕОРИИ НЕУПРУГОСТИ ПРИ КОНЕЧНЫХ ДЕФОРМАЦИЯХ

С помощью уравнений эндохронной теории неупругости, учитывающей конечные деформации, предлагается подход к описанию одного из эффектов неупругого поведения материалов.

В работе [1] авторами был предложен новый подход к описанию конечных деформаций в рамках эндохронной теории неупругости. В предлагаемой работе рассматривается один из неуп -ругих эффектов второго порядка, носящий имя Портевена и ЛеШателье [2].

Напомним, что суть эффекта Портевена-ЛеШателье состоит в том, что появляются скачки нагрузки в условиях деформирования материала в жестких испытательных машинах. Описание этого явления неустойчивости пластического течения может быть реализовано в рамках эндохронной теории неупругости, предложенной в [1].

Рассматривается один из вариантов теории [1] в форме [3]:

t r +-

ata + a | r |= 2G

g + a є = D , W = QQT, є +є^-^є = є, a +aW-Wa=a

(1)

.a., idr dr r = є-( -a)2G |r!=^dt '~dt '

В простейшем случае, когда параметр эндохронности a = 1, уравнения (1) преобразуются в

/ , л

t<a + D a = 2G

t D + -

1

g +1

D є

|D| = yjD :D .

(2)

В соотношения (2) в безындексной форме записи входят: т — аналог деформационного предела текучести; о, £ — девиаторы тензоров напряжений и деформаций; О — модуль сдвига; g — аналог коэффициента упрочнения; Q — ортогональный тензор поворота; О — тензор спина;

О — тензор скоростей деформаций. Кроме того, здесь используется, что

є„ =0» , D = ^ " K 2

L = FF-1, Q = Fu

-1

где К — объемный модуль, Г — градиент деформаций, Ь — скорость градиента деформаций; и — правый тензор удлинения в полярном разложении градиента деформаций Г = Qu .

Предположим, что градиент деформаций имеет следующую структуру (в работе [3] т = 0):

/ \

^ a1 b mb 0 л a2 -mb 0

F = a2 0 2 -1 1 , А = a> a2 - mb , F = — 1 2 А -b a1 0

0 V 0 a3 0 V 0 А a3 0

Тогда ортогональный тензор поворота имеет вид

( cos b sin b 0л

Q = - sin b cos b 0

0 0 1

V ,

Легко проверить, что в этом случае

a1a2 - mbB = А^П, a2a1 - mbS = А•D22, b (a2 + ma1 )-b (a2 + ma1 )= 2 •А•D12.

Кроме того, tgb = b(m-1) .

1 «1 +^2

Можно показать тогда, что

Q = P

0 1 0

-10 0 0 0 0

а уравнение £ = D имеет вид

£11 - 2Р £12 = D11, £12 + 2Р £11 = D12 •

Рассмотрим жесткое нагружение, когда Dn = 0, D12 = 1. Определяющие соотношения (2) рассмотрим в виде (2G = 1):

sii =

S11 2Р s12 + I D |^1 = D11 + 7" l£11,

t g + 1 t

s 12 - 2 b О11 + ID I ^ = D12 + -i-D £12.

t g +1 t

(3)

Тогда

l2 +1

l2 -1

1+

1-l2 . 2l

------sin-------21

2l 1-l2

где m = -l2 , х = .

2р

Решение уравнений (3) для случая, когда g = ¥ и l = 0,8, приведено на рисунке. Четко видно, что при m »— 1 реализуется эффект Портевена-ЛеШателье.

J12

Э.6

D.3

3.2

: :

! ;

I I ! ; 1 ■

I I

1 *■ ^ t

^ i j s t1

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Кадашевич Ю. И., Помыткин С. П. Анализ сложного нагружения при конечных деформациях по эндохронной теории неупругости // В сб.: Прикладные проблемы прочности и пластичности. — Москва: КМК, 1998. — Вып. 59. — С. 72-76.

2. Porteven A., LeChatelier F. Sur un phenomene observe lors de l’essai de traction d’alliages en cours de transformation // Comp. Rend. Acad. Sci. Paris, 1923. — Vol. 176. — P. 507-510.

3. КадашевичЮ. И., Помыткин С. П. Об эндохронной теории пластичности при учете конечных деформаций // В сб.: Машины и аппараты целлюлозно-бумажного производства. — СПб., 2004. — С. 135-138.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 05-01-00169).

Поступила 29.03.2006 г.