CC BY
29
УДК 539.374
Ю.И.Кадашевич, С.П.Помыткин, А.М.Пейсахов
ВЛИЯНИЕ ФОРМЫ ЗАДАНИЯ ГРАДИЕНТА ДЕФОРМАЦИЙ НА РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЭНДОХРОННОЙ ТЕОРИИ НЕПРУГОСТИ ПРИ КОНЕЧНЫХ ДЕФОРМАЦИЯХ
В рамках эндохронной теории неупругости, учитывающей конечные деформации, анализируется влияние формы градиента деформаций и начальных условий для его компонент на тип решения задач жесткого нагружения.
В работе [1] авторы предложили новый подход к построению теории ползучести эндо-хронного типа, учитывающей конечные деформации. В предлагаемой работе дается расширение теории, которое позволяет описать ряд экспериментальных данных, опубликованных в литературе.
Исследуется основной вариант эндохронной теории неупругости для конечных деформаций в виде:
/ л
г I •
ата+аг =20
т г +-
g + а'
е = б , о=ддт
е + еО -Ое = е, а + аО-Оа = а,
г = е - (1 - а)—, 20
(1)
т = т (г , г ) .
г =
шг ёг А &
В соотношения (1) в безындексной форме записи входят: а - параметр эндохронности, т -аналог деформационного предела текучести, а, е , г - девиаторы тензоров напряжений, деформаций и вспомогательного параметрического тензора, О - модуль сдвига, g - аналог коэффициента упрочнения, 0 - ортогональный тензор поворота, О - спин, Б - тензор скоростей деформаций. Кроме того, здесь используется, что еи = аи/К, Б = (Ь + Ь)/2, Ь = FF-, 0 = Еи- - полярное разложение ортогонального тензора поворота, F - градиент деформаций; Ь - скорость градиента деформаций, и - правый тензор удлинения, К - объемный модуль.
При постановке и решении задач сложного нагружения необходимо четко сформулировать вид градиента деформаций F, его начальные значения и форму ортогонального тензора поворота 0. В работе [1] был рассмотрен вариант теории, в котором градиент деформации имел вид:
' ¿11 0 0 "
F = ¿21 ¿22 0
ч ¿31 ¿32 0 3 3 ¿
¿„(0) = ¿22 (0) = ¿33 (0) = 1, ¿21 (0) = ¿31 (0) = ¿32 (0) = 0 . Предположим теперь, что форма градиента деформаций имеет структуру
' ¿11 ш1 ¿21 Ш2 ¿31 "
F = ¿21 ¿22 Ш3 ¿32
31 ¿ 32 ¿ 3 3 ¿
где ш.
ш.
т3 - постоянные параметры, характеризующие исходные свойства материала, и
рассмотрим два примера, которые позволяют оценить новые возможности теории. Предположим, что градиент деформаций таков, что
^ a1 mb 0л ^ a2 -mb 0 "
F = b a~ 0 2 1 1 , A = — a2 - mb, F = — -b —1 0
2 ’ 1 2 A 1 A/ a3 0
0 V 0 a3 3 0 V 0
тогда ортогональный тензор поворота будет иметь структуру:
r cos b sin b 0Л
Q =
- sin b cos b 0
0 0 1
Легко проверить, что в этом случае
a1 a2 - mbb =A-D11, a2 a1 - mbb = AD22.
D23 = D13 =
—3 = D33, b (2 + ma1)-b
= 2 AD
„ Ь (т -1)
Кроме того, tg Ь =----------• В этом классе градиентов решим две задачи (по заданным компо-
а1 + а2
нентам тензора скоростей деформации восстанавливаются значения компонент градиента деформаций и компонент ортогонального тензора поворота).
Задача 1. Предположим, что
£>п = В22 = £>33 = Д3 = £>23 = 0, Д2 = 1, т Ф 0, а1(0) = 1, а2(0) = 1, а3(0) = 1, Ь(0) = 0.
Тогда а1 = а2, а^ = тЬ2 +1, а3 = 1. Нетрудно проверить, что при т = к2, задача имеет решение:
1
к
2к к2 -1
A Bi
— = ch(Ai t), b = -sh(Ai í), tg b = Bi • th(Ai í), b = — a
ch2 (A t) + B12 sh2 (A t)
A =
1 + k2
Bi =-
2k
Если же m = —l2, тогда
a1 = cos (A t), b = - sin (A t), tg b = B2 • tg (A21), b =
A2 B2
l
cos (A21) + B2 sin (A t)
A2 =
2l
B2 =
-(1 +12)
1 - Г z 2/
Отметим, что аналогичная задача (определение угла b) исследовалась и в работе [2]. В отличие от авторов данной публикации, в этой работе задавалась не форма градиента деформаций, а связь спина со скоростью тензора деформаций. Качественное поведение угла b в условиях сдвиговых деформаций оказалось сходным (при этом тождественными результаты были лишь в одном случае, когда параметр m = 3 , а параметр h , рассматриваемый в работе [2], равен 2).
После нахождения величин a1, a2, а3 и b по соотношениям (1) определяются тензор деформаций e и тензор напряжений s. На рис. 1 а, 1 б и 1 в приведены результаты расчетов для значений параметра: m = 2, m = 0,5 и m = —0,6. С качественной точки зрения результаты отвечают работам [2-4]. Для простоты при расчетах принято, что a = 1, t = 1, 2G = 1, g = ¥.
Задача 2. Пусть теперь D12 = 0, D23 = 0, D13 = 0 , Dn = 1, D22 = D33 = -0,5. В этом случае можно установить, что b = (a2 + ma1) • С„, где С„ = const.
Для простоты примем, что С0 = 1, at(0) = 1, a2(0) = 1, тогда b(0) = 1 + m и b = a2 + mal. Значения a1 и a2 определяются решениями уравнения
a— (Djj + D22) a +(D32m2 + DnD22)a = 0,
где D3 = D22 — D11 .
Кроме того, справедливы следующие соотношения:
a1 = D11 a1 + mbD3, a2 = D22 a2 -m2 bD3.
3
ГГ и
Пг П ^ / и- /" , 5
/ X и л -•■■■■/■ 1 / 1 ;
; /
! а.3
Ш- 9,*
'.............................................1.............................................................
................................\............|.........
/ А п..
в
Р и с. 1.
Можно установить, что при т < 0,5, решение носит монотонный характер, а при т > 0,5- колебательный. В частности, для изохорического растяжения (случай, когда Б11 = 1 и
П22 = £>33 =—0,5), определяющее уравнение для а принимает вид: а — 0,5 а +
'9 2 1Л
—т--------
4 2
V
а = 0 с
• з • 13
начальными условиями а1 (0) = 1, а1 (0) = 1 — ^т (т +1), а2 (0) = 1, а2 (0) = — ^ ^ т2 (т +1).
Пусть кх = 0,25 + со, к2 = 0,25 — со, со = 0,75дД — 4т2 , тогда при |т| < 0,5 решение выражается соотношениями
1Х = С1(ек1' — ек2') + ек2 ‘, С1 =
= С2 (ек' — ек2') + ек21, С2 =
а1 (0) — к2 2 о
а2 (0) — к2 2о
Если |т| > 0,5 то структура решения имеет вид (со = 0,7^4т2 — 1):
а1(0) — 0,25
а1 = е ' (со8 со/ + С181п со /), С1 = -
о
025^ ^ • ч ^ а2(0) — 0,25
а2 = е ’ (со8 со/ + С2 81п со/), С2 = - 2
о
Если обозначить отношение а1 к а2 через г, то
б
а
а
tg b = m =
(m -1)(1 + m z)
b = ¿=
2(m -1)2 (С, - C2)w e2 (1 + M2)(1 + z)2 (С2 e2wt +1 -С2)2
(m - 1)2(Q - С2)
если m < 0,5, если Iml > 0,5.
(1 + M )(1 + z) (coswt + C2sinwt)
Для выявления качественного поведения решения было принято, что a = 1, t = 1, 2G = 1, g = ¥ и рассмотрены рабочие уравнения для напряжений в задаче изохорического растяжения
в случае, когда Dn = 1, D22 = D33 - 0,5, <г22 = <733 =-0,5 сп, в форме
С11 + "\/тС11 - 2 b С12 = 1, С12 + л/гС12 + "2 bs11 = 0 .
На рис. 2 а и 2 б приведены графики напряжений Сц и С12, полученные при решении поставленной задачи для двух значений параметров m : m = 0,1 и m = -1,0.
Г 1 Г Í L-."
L.y
ГГ.. ■J ! «и
{ ш—fl.1
\
" ~~ “i: i t 1
\
Р и с. 2.
Подчеркнем, что внимание к двум поставленным задачам впервые привлекли теоретические работы [2] и [5]. Интересные опытные данные опубликованы в [3, 4, 6].
Таким образом, обобщение эндохронной теории неупругости позволяет существенно расширить описательные возможности теории при изучении простого и сложного нагружений, в соответствии с эффектами, обнаруженными в [3, 4, 6].
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Кадашевич Ю.И., Помыткин С.П. Эндохронная теория ползучести при конечных деформациях // Вестник Самарского государственного технического университета. Сер.: Физ.-матем. науки. Самара. 2004. № С.1-7.
2. Dafa/ias Y.F., RashidM.M. The effect of plastic spin on anisotropic material behavior // International Journal of Plas-tisity. 1989. Vol.5. P.227-246.
3. Monthei//etF., CohenM., Jonas J.J. Axial stresses and texture development during the torsion testing of Al, Cu, a-Fe // Acta Metallurgica. 1984. Vol. 32. P. 2077-2089.
4. Monthei//et F., Gi/ormini P., Jonas J.J. Relation between axial stresses and texture development during the torsion testing: A. Simplified theory. // Acta Metallurgica. 1985. Vol. 33. P. 705-714.
5. Rubin M.B. Plasticity theory formulated in terms of physically based microstructural variables - Part II. Examples // International Journal of Solids and Structures. 1994. Vol.31. N 19. P.2635-2652.
6. KurodaM., Tvergaard V. Plastic spin associated with a non-normality theory of plasticity // European Journal of Mechanics. A. 2001. Vol.20. N 6. P.893-905.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 05-01-00169).
б
а
Поступила 23.11.2005 г.
