Эндохронная теория ползучести, учитывающая конечные деформации Текст научной статьи по специальности «Физика»

Механика деформируемого твердого тела

УДК 539.374

Ю.И.Кадашевич, С.П.Помыткин

ЭНДОХРОННАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЗУЧЕСТИ, УЧИТЫВАЮЩАЯ КОНЕЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ

Анализируется один из важных вопросов построения эндохронной теории неупругости для конечных деформаций — учет временных эффектов.

Еще в работе [1] Шепери предложил рассматривать уравнение связи между напряжениями о и деформациями е в виде

X Ле •

о = |Ь (X - X') -тр ЛХ, ЛХ = g ( е, е ) Л .

0

В работах [2, 3] были предложены соотношения эндохронного типа в форме

о = [ь (7 - 7') -^7 Л г , е' = [Ь2 (7 - 7') Л г , = у (г, г),

0 Л г 0 Лг Лг

где Лг = иЛ— : Л— ; г = ; t - время; о', е', — - девиаторы тензоров напряжений, деформа-

ций и вспомогательного параметрического тензора, соответственно. В этот класс теорий входят большинство известных моделей вязкоупругости и вязкопластичности эндохронного типа,

включая классический вариант К.С.Валаниса [4], теория Д.Л.Быкова [5], предложения

Г. Д.Федоровского [6] и В.С.Клеева [7].

В работе [8] авторы данной публикации показали, как эндохронную теорию пластичности можно распространить на случай конечных деформаций. Поступим аналогичным образом в модели ползучести. Для этого рассмотрим один из простейших вариантов эндохронной теории, учитывающей временные эффекты для малых деформаций. Это будут, по нашему мнению, определяющие уравнения следующего вида:

°'у + ат Лгу + г'

—- +------------- = т—- + —-—; (1)

20 20 Лг Лг g + а

/

гУ = е у- (1 - а)20-; Лг = у[Щ~:Щ ; т = т (г, г); е0 = 0°.

Здесь т - аналог деформационного предела текучести; g - аналог коэффициента упрочнения; О - модуль сдвига; К - объемный модуль; а - параметр эндохронности; 0 < а < 1, е0 = еи,

В дальнейшем используется безындексная форма записи тензоров.

Введем приведенные деформации и приведенные напряжения по формулам

Е = &' е &, Т = аТ о а, N = а ^;

е = дтвдЕ, т = дет аде, N = детгде, (2)

где де - ортогональный тензор поворота; О - тензор скоростей деформации: Б = (Ь + Ь )/2,

Ь = Ее Ее-1, причем де = Ее и-1 - полярное разложение ортогонального тензора поворота; Ге -градиент деформации; и - правый тензор удлинения. Фактически здесь вводится мера деформации по формуле

e = Qe (J Qe TDQe dt) QeT .

В этих обозначениях основные определяющие уравнения (І) примут вид

г • І л

t N +-----N

g + a

at T+T |£| = 2G Определение (3) удобно записать следующим образом:

*

D = e, e +e We -We e = e We = Qe QT.

(3)

(4)

(5)

Проведем над уравнением (4) операцию обратной свертки Qe (•) Qe, аналогичную (2). В результате получим

at s + s r = 2G

t r +-

І

g + a

t=t (і, id ).

(б)

Для иллюстрации метода построения и решения определяющих уравнений теории ограничимся самым простым вариантом теории, когда а = 1, g = <™, 2G = 1, t = k0 |e|. Тогда предлагаемая теория для малых деформаций имеет вид

s + k0 s = k0 e .

Очевидно, что при s = s0 = const реализуется линейная ползучесть, а при e = e0 = const происходит классическая релаксация напряжений.

Для больших (конечных) деформаций система (5), (6) принимает вид

e = D.

(7)

(8)

Если принять, что t = k0 D , (7) переходит в

а + ^ а = k0 D.

Сразу отметим, что задачи жесткого нагружения, как и в теории пластичности, решаются достаточно просто (включая задачи релаксации, когда D = 0). Решение задач мягкого нагружения,

включая чистую ползучесть при а = 0, встречает технические трудности. Однако, применяя метод последовательных приближений, можно получить необходимые результаты. В частности, остановимся на плоском случае, когда градиент деформации Fe и тензор скоростей деформации D имеют следующую структуру:

г Du DU 0Л г b a 0Л

D = Dn - Dn 0 ; F = 0 b-І 0

0 V 0 0 у 0 V 0 І /

D =

Qe =

r cos P sin P 0Л

- sin P cos P 0

0

0

І

; tg p =

a ■ b І + b2

b a b - b' a \ 0

b 2

a b - b a b 0 ;

2 b

0 0 0

V )

г 0 І 0Л

e = e QTT = P -І 0 0

0 0 0

*

При этих условиях определяющие соотношения теории можно представить следующим образом:

Є11— 2 ЬЄ12 = Ар Є12 + 2 РЄ11 = -^12’

^11 + К0 (^11 — 2= К0Мр ^ 12 + К0 (^12 + 2 Р^11) _ К0 -^12-

Отметим, что параметры а и Ь могут быть выражены через ) и Д2(Г) по следующим формулам:

а = 2 у/щ ■ М2, Ь = М.

о 2MIM2 ' „(I + м,) + 2MIM2 „

Кроме того, tg P =-—и P = --1—^,—■ Здесь M. = exp

і + M,

(і + M.у + (Ш,м2)2

І

,j Dn(t )dt

M, = JD1,(t) ■ exp D11(t)dt

dt ■

При = const = D.0. и = const = —12 формулы существенно упрощаются:

— •

tgP = -G- • th(D» ■ t) и P =-D

DG

JS і -

v •

D1

£ ■ sh( -1G1 ■ t)

ch2(D“ •/) +

Еще раз подчеркнем, что при решении задач мягкого нагружения целесообразно в качестве первого приближения принять /5 = 0 , а затем в процессе решения уточнять значение / . Интересно, что при чистой ползучести, когда s12 = 0, кроме деформации возникает и развивает-

ся деформация £ц, а при чистой релаксации в условиях сдвига, когда D12 = 0, релаксирует не только напряжение s12, но и напряжение s11.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Schapery R.A. On a thermodynamic constitutive theory and its application to various nonlinear materials // Thermoinelasticity: Proceedings of the IUTAM Symposium. East Kilbride, 1968. Wien-New York: Springer Verlag,1970. P.259-285.

2. Кадашевич Ю.И., Мосолов А.Б. Эндохронные теории пластичности: основные положения, перспективы развития // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1989. N1. С. 161-168.

3. Кадашевич Ю.И., Мосолов А.Б. Эндохронная теории пластичности, учитывающая угол вида неупругой деформации // ДАН СССР. 1991. Т.317. N1. С. 53-57.

4. Valanis K.C.. A theory of viscoplasticity without a yield surface. Pt.I-II. // Archiwum Mechaniki Stosowanej. 1971. Vol.23. N4. P. 517-551.

5. Быков Д.Л., Коновалов Д.Н. Особенности сопротивления вязкоупругих материалов при потере устойчивости тонкостенных конструкций // Физика процессов деформации и разрушения и прогнозирование механического поведения материалов. Актуальные проблемы прочности. Труды XXXVI международного семинара. Ч.2. Витебск, 2000. С. 428-433.

6. Федоровский Г.Д. Эндохронные критерии прочности, текучести и фазовой устойчивости // Проблемы механики деформируемого твердого тела. Санкт-Петербург: СПбГУ,2002. С.291-298.

7. Кадашевич Ю.И., Клеев В.С. Учет изменения скорости деформирования при построении определяющих уравнений неупругих материалов // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Горький: Горьковский гос. университет, 1981. N 18. С. 20-23.

8. Кадашевич Ю.И., Помыткин С.П. Новые принципы составления определяющих уравнений эндохронной теории пластичности при конечных деформациях // Машины и аппараты целлюлозно-бумажного производства. Санкт-Петербург: СПбГТУРП, 1996. С.124-127.

Работа выполнена при поддержке Министерства образования Российской Федерации (грант

КЦФЕ Е-02-4.0-158).

Поступила 14.12.2003 г.