CC BY
18
Рис. 2 (окончание) СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Шиндяпин Г. Л. Маховское отражение и взаимодействие слабых ударных волн в условиях парадокса Неймана // Изв. РАЯ. МЖГ. 1996. № 2. С. 183 - 190.
2. Ben-Dor G. Shock wave reflection phenomena. N.Y.:Springer-Verlag, 1992. Vol. 11
3. Adachi Т., Suzuki Т., Kobayashi S. Mach reflection of a weak shock wave // Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. B. 1994. Vol. 60, № 575. P. 2281 - 2296.
УДК 533.6.011:532.529 Г. П. Шиндяпин, В. JI. Мыльцин
РАСЧЁТ ПОЛЕЙ ДАВЛЕНИЙ ПРИ НЕРЕГУЛЯРНОМ ОТРАЖЕНИИ ОТНОСИТЕЛЬНО СЛАБЫХ УДАРНЫХ ВОЛН В УСЛОВИЯХ ПАРАДОКСА НЕЙМАНА*
1. Рассматривается проблема аналитического исследования ударно-волновых структур и полей давления за ними при нерегулярном отражении слабых ударных волн (Рю=(РгРо)/роСо2«1) от твёрдой стенки с углом на-
* Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 99-01-00816.
клона а (0W) в газе или газожидкостной пузырьковой среде, характеризуемой параметром Ro(y), известная как парадокс Неймана. С помощью аналитических моделей асимптотики коротких волн [1] удаётся описать известные экспериментально [2] режимы вырожденного (Неймановского -NMR, с вырожденной отраженной волной), развитого (простого - SMR, с невырожденной отраженной волной) маховского и регулярного (RR) отражений. На рисунке в верхней части изображены интерферограммы [2], характеризующие распределение плотностей (давления и продольной скорости в случае относительно слабой ударной волны) для случая перехода от NMR к SMR (av=0.5) и от SMR к RR (ау=1.5; теоретически переход при av=2.0).
2. Проблема сводится к анализу в области взаимодействия во внутренних переменных X, У (5, У) решения краевой задачи для компонент скорости ц, V системы уравнений коротких волн
2(ц-5)д5 + уу+ц = 0, д¥=у5, ц = р(1) =Н(1) , ^(1)
удовлетворяющего на границах области условиям на фронтах 5=5 (У) ударных волн (БА - Маха, с[п =0; АВ - отраженного, с[п =1)
= 25-ц-ц„ (ц-^^-у, ц = Р» = Н<» ^
f d5*
dY
Ш = Чп> ^ = -ч„(У + ау); а» = а/^'ВДу))
и асимптотическим условиям сращивания на границах с областями линейного и квазиодномерного решения. av - параметр подобия задачи. Для описания течения в окрестности т. А взаимодействия используется класс точных решений (1), удовлетворяющих точно условиям на фронге
(2) (при q=q„=const)
ц = (p2(q)Y2 + <p,(q)Y + %(q), 8 = qY2 + Xl(q)Y + Хо(я) v = \\i3(q)Y3 + y2(q)Y2 + v|/,(q)Y + Vo(q) . Подстановка (3) в (1) приводит к системе 9 дифференциальных уравнений
[3], которая преобразуется к одному уравнению 2-го порядка для функции Ф2 с общим решением
ФгСя) = AVjq + В| - 2Bq - 4В2 - В, А, В-const (4)
и системе 10 линейных уравнений для определения функций Фь Фо, Хь Хо,
(3)
Уо
Z' = К-'(ч)г(2ф/ - q + w' = K-'(q) Z' - w(q>2' + 6q -1) R' = W, Xi' = R, Ф^Ф/R + Z; K(q) = ф2 + 2q2 - q
U' = K"'(q)
ZZl - и(2ф2' + 3q - уЛ 1 V' = K-'(q)(U + x,R - 4qV)
(5)
Xo =V, Ф0 =ф2У + и, \|/0 =Ф1У-х1Фо , остальные функции определяются выражениями
к(ч)ф2+| -~-2я |ф2
Vi = "2К(я)ф0 - Ф0 + ф,х,
1
(6)
V2 = -К(я)ф, + Х,ф2 + Ф,Я - -ф,
3. Система начальных условий на фронтах при q=qn (Маха: qп=qo; отраженном: Яп=Я!) получается при подстановке (3) в (2)
Ф2 (Ч.) = 2Я„ (1 - Я„); Ф. (Я„) = 2(1 - 2Чп )х, (я„);
Фо (я„) = 2хо (я„) - х? (я.) - я„; % (Яп) = -4я„ 0 - 2я„ );
Ч>2(Я„) = -6Яп(1-2я„)Х1(Я„);
ч>,(я„ ) = 2(3я„ - 1)х?(Я„) - 4я„Хо(Яп)+(4я„ - 1)я„;
Уо (я„) = -2Хо(я„ )Х1 (я„) + XI (я„) + Я„ (2х> (Я„) - «О;
X, (я„) = -2я„ + л/28а-ра-я~, Хо (Яп ) = 8а - Я„ У2 - х, (я„) . Для фронта Маха (за счёт симметрии ф1(я)= Х1(я)= Ф1(я)= Ч'з(я)=0) в общем случае С (невырожденного отражения - БМЯ; 0.5 < аУ < 2.0) вычисление характерных параметров согласно (7) и др. условиям, отражающим влияние потока в целом на ударную конфигурацию, сводится [1] к анализу дос-
таточно сложного уравнения притока массы. Для задач отражения решение этого уравнения находится в параметрическом виде (Zi - параметр)
А = ¿-[(8Z? - 5) - 7(8Zf - 5)2 - 8Zj (3Z? - if +16Z, (zf - if2 ]; A,=V3zf^2; a^Aj-i-A; 1 <Z, < V2; (8)
HA = 2Zf-l; YA = -s/3Zf -2 -av; 5A=|zf-i; q0 =
В случае В (вырожденного отражения - NMR; 0 < av < 0.5) имеем
цА=1; YA=l-av; 5Д=1; q0 = 1 (9)
( )
Для отраженного фронта при цА, Ya, 8а, соответствующих av согласно (8), (9) и вырождении фронта в т.В (цв=1, 5в=1), имеем в случае С (0.5 < av <
<2.0)
YB = -v/5zf~-2 + Зд/zf^-l -av, (10)
в случае В (0 < av < 0.5) Ув=УА=1-ау, отраженный фронт представляет линию слабого разрыва 5=1 и находится как линия ц(Х, Y)=l при построении решения (3) для фронта Маха при условиях (9).
На рисунке в нижней части построены поля давлений (плотностей и продольной скорости в случае относительно слабой ударной волны), а также ударные конфигурации по результатам интегрирования системы (5) при условиях (9) в случае av = 0.5, и при условиях (8), (10) в случае av = 1.5 во внутренних переменных X, Y. Обращает внимание хорошее качественное соответствие полученных линий равных давлений (плотностей) поведению интерферограммных полос в физическом эксперименте [2] в верхней части рисунка.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Шиндяпин Г. П. Маховское отражение и взаимодействие слабых ударных волн в условиях парадокса Неймана // Изв. РАН. МЖГ 1996. №2. С. 183 - 190.
2. SasonA., Такауата К. Characterization of disturbance propogation in weak shock-wave reflections // J. Fluid Mech. 1994. Vol. 277. P.331 - 345.
3. Заславский Б. И. О нелинейном взаимодействии сферической ударной волны, возникающей в результате взрыва заглубленного заряда, со свободной поверхностью воды // АНСССР.ПМТФ. 1964. № 4. С. 57 - 65.
(V3Zf-2-av)
