CC BY
12
£Г' =(£,"рГ + Ъщк IVi)lpTX.
7=1
где Г, - объём текущего четырёхгранника; 9 равно номеру текущего четырёхгранника, если поток вытекает из него через указанную грань, в противном случае, q равно номеру соседнего четырёхгранника.
Граничные условия аналогичны двумерному случаю.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Математическая энциклопедия: И 5 т. М.: Сов. энцикл., 1982. Т. 3.
2. Математический энциклопедический словарь. М.: Сов. энцикл., 1988.
3. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: ВЗ т. М.: Наука, 1970. Т. 3.
УДК 533.6.011:532.529 Г. П. Шиндяпин, Е. Н. Гамаюнова
О ФИЗИЧЕСКОЙ АДЕКВАТНОСТИ АНАЛИТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ НЕРЕГУЛЯРНЫХ ОТРАЖЕНИЙ ОТНОСИТЕЛЬНО СЛАБЫХ УДАРНЫХ ВОЛН В УСЛОВИЯХ ДЕЙСТВИЯ ПАРАДОКСА НЕЙМАНА
1. Разработаны [1, 2] оригинальные аналитические модели нерегулярных отражений относительно слабых ударных волн (УВ) в газах и газожидкостных пузырьковых средах, описывающих как невырожденный режим (модель С" с отраженной УВ) простого маховского отражения SMR, так и вырожденный режим (модель В" с вырождением отраженной УВ в линию слабого разрыва) Неймановского маховского отражения NMR.
Для невырожденного режима характерны неклассические условия за тройной точкой А (для частиц, прошедших через падающий AN и отраженный AB фронты и через фронт Маха AS): при равенстве давлений или продольных скоростей ц* = ¡л имеет место непараллельность потока, характеризуемая углом AS и разрывом Av = v'—v~ поперечной составляющей скорости v. Для вырожденного режима характерны классические (Неймановские) условия: равенства давлений или направлений скоростей ц* = /Г , vf = v~ за тройной точкой.
Целью настоящей работы является анализ физической адекватности разработанных аналитических моделей путем сравнения аналитических решений модельных уравнений (моделей С", В") с известными результатами экспериментальных [3, 4, 5] и численных [5J исследований.
2. Разработка достаточно простых аналитических моделей, позволяющих аналитически описывать основные параметры течений и возникающих ударно-волновых структур при различных режимах нерегулярных взаимодействий, опирается на общий асимптотический анализ и свойства решений краевых задач нелинейных взаимодействий. Следуя [1, 2] опишем течения в областях нелинейных взаимодействий (коротких волн) в зависимости от исходного параметра
av=?ga/s"2, б = Р10Л0(у) (Р10 =(р\ - />0)/(p0Cq) , a - относительная интенсивность и угол наклона падающей волны, Я0(у) - параметр, характеризующий влияние газосодержания среды у), используя класс точных параметрических решений Заславского — Гриба системы уравнений коротких волн [1] (q — параметр; |1, v - компоненты скорости; 5, Y - координаты) вида
ц = ср2(9)У2 +Ф0(9); v = xV3(q)Y3 +^Vl(q)Y- 5 = qY2 + U(q), (1) который позволяет точно удовлетворить условиям динамической совместности на фронте УВ Маха AS 6 = 5* ( Y) при q = q0 = const
(¿5*/Л')2 = 25-ц, \i(db*/dY)=\. (2)
Запись с помощью решений (1) условий (2) приводит к системе условий для значений функций Ф2(<?о)--Хо0?о)
Vi(?o) = -4?oXo(?o)> ЫЯо) = ^а+Яо^а -CYa, q0 = C/2YA. (3)
Условия динамической совместности на фронтах УВ (АК, АВ, AS) в тройной точке А при Y = YA, 8 =- 5можно записать, вводя обозначения Аи В, С (а, Р, у — углы наклона У В) в виде
Л] = clv + YA, дА =(l + A?)/2f z = Pl0R0(y), v^j *=-Ах+В(\\л - I),
S = pv - YA , B = (42-hJ1/2, pv=rgp/e! 2, v~A=-cnA, (4)
C = yv +YA, С + B2)U2, yv =igy/s1/2.
Полученные формулы (3), (4) дополняются [1, 2] соотношениями, выражающими принцип притока массы
ц* = (1 + 2А2)/3 + 2/9^2 + А2 у2 + А2 -л/3(/4, -av) и принцип экстремального поворота потока при прохождении через фронт АВ отраженной УВ в точке А
\х.а=(\ + 2А2)/Ъ. (6)
Таким образом, в качестве общей аналитической модели имеем систему 11 уравнений (4) - (6) для определения 11 основных параметров.
210
(5)
3. Анализ общей аналитической модели показывает, что можно выразить все искомые параметры через параметр А\
5Л=(1 + Л,2)/2; У4=(А1-ау); =(1 + 2^2)/3;
ч~л \'3(2 + Л2)"2; ^ = +2/(з/3)(Д2-1)3/2; (7)
Р =УА + 1Л/3(Л2-1),/2; уу =-Г,+1/Л/3(2 + 42)1/2.
Для определения зависимости : от аУ можно использовать уравнение притока массы (5), которое в новых переменных А, г
г = (2 + Л,2)/3, А = 2А1 -2ау (8)
примет вид
л\бг2 - 5 +Л)г]= 2ч'3г2 - 2 - 2(г2 - I)3''2. (9)
Решение (9) позволяет рассчитать г (при фиксированном А) и согласно (8) А\, ау и согласно (7) - остальные параметры.
В общем случае развитого нерегулярного отражения БМК (модель С"), решая относительно А, получим (0.5 < а4' <2.0) 1
А--
i
8z2 - 5 - V(8z2 - 5) - 8z(3z2 - 2)''2 + 16z(z2 - l)3; 2
_ _ (10)
av = V3z - 2 - A/2, q0 =— —-—, l<z<V2.
2(V3z2 -2-av)
В случае вырожденного нерегулярного отражения NMR (модель В") (z=A 1=1) получим
Л = 2(1-ссу), Ya = 1 -av, ?о = ' > 0<av<0,5. (11)
Полученные аналитические результаты (10), (11); (7), (8) позволяют рассчитать основные параметры, характеризующие У В структуры и течения (распределение параметров ц, v вдоль фронта Маха при q =qn и пр.) при различных режимах SMR, NMR нерегулярных отражений УВ.
4. На рис. 1 приведено сравнение полученных аналитических результатов (ТКВ) для угла 6 = P130/2Äq/2(yXv^ -v^), характеризующего непараллельность потока за тройной точкой, с экспериментальными данными Т. Adachi, T.Suzuki, S. Kobayashi [3] в широком диапазоне углов у, при различных интенсивностях УВ (Ms =1.1; Ms =1.2). Теоретические результаты для относительно слабых У В хорошо согласуются с экспериментом и правильно предсказывают возникновение особенности (Av^O) в тройной точке.
2П
65 60 55 50
Рис. 1
Па рис. 2 приведено сравнение полученных аналитических результатов (ТКВ) для углов со', ю0, характеризующих наклоны падающих АК и отраженных АВ УВ в точке А. с экспериментальными данными L. F. Henderson, A. Siegenthaler [4]. Нанесены также данные расчета по 2-ударной (2Т) и 3-ударной (ЗТ) локальной теории Неймана. Сравнение показывает, что полученные аналитические результаты достаточно надежно соответствуют экспериментальным данным при отражениях в условиях возникновения парадокса Неймана.
Рис. 2
10 0 „ 15
Рис. 3
На рис. 3 приведено сравнение полученной аналитической зависимости (ТКВ) для угла х, характеризующего отход тройной точки от стенки, при различных углах отражения (Qw = а ) с экспериментальными и численными (решение краевой задачи отражения) результатами P. Colella, L. Henderson [5].
Сравнение показывает, что результаты аналитической теории (ТКВ) достаточно точно описывают поведение угла отхода тройной точки.
В целом приведенные результаты [1,2] позволяют считать, что развитые аналитические модели невырожденного нерегулярного отражения (модель С") и вырожденного нерегулярного отражения (модель В") физически адекватно описывают процессы нелинейных отражений для относительно слабых УВ, в условиях возникновения парадокса Неймана.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Шиндяпин Г. П. Маховское отражение и взаимодействие слабых ударных волн в условиях парадокса Неймана// Изв. РАН. МЖГ. 1996. №2. С. 185 - 190.
2. Шиндяпин Г. П., Гамаюнова Е. Н. Аналитическое исследование общего случая нерегулярного взаимодействия и отражения ударных волн // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 2002. Вып. 4. С. 225 - 229.
3. Adachi Т., Suzuki Т.. Kobayashi S. Mach reflection of a weak Shock waves // Trans. Jap. Soc. Mech. Eng B. 1994. Vol. 60, № 575. P. 2281 - 2286.
4. Henderson L. F., Siegenthaler A. Experiments on the diffraction of weak blast waves: the von Neumann paradox // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. 1980. Vol. 369, № 1739. P. 537-555.
5. Colelht P., Henderson I. F. The von Neumann paradox for the diffraction off weak shock waves // J. Fluid Mech. 1990. Vol. 213. P. 71 - 94.
