CC BY
28
А =
2P(P + 1R. ' В 8р2(р + 1)2^,
4Р + 3
Полученное решение (16) уравнения погранслоя в окрестности фронта волны с длительной скоростью (15) совпадает с асимптотикой решения точного уравнения, полученной в [1].
1, Коссович Л. Ю.. Сухоловская М. С. Решение задачи о нестационарных продольных волнах в тонком вязкоупругом стержне .// Механика деформируемых сред: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2002. Вып. 14. С. 93 - 98.
2, Работное Ю. Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М.: Наука, 1974. 338 с.
3, Rossikhin Yu. A., Shitikova М. V. Applications of fractional calculus to dynamic problems//Appl. Mech. Rev. 1997. Vol. 50, № 1. C. 16- 18.
В статье метод Давыдова численного решения сложных задач механики сплошных сред [1,2] обобщается на случай произвольной сетки.
Плоский случай
Рассматриваются краевые задачи для системы уравнений Эйлера нестационарного невязкого газа [1, 2]. При численном решении методом Давыдова схема расчёта разбивается на три этапа, но сетка теперь треугольная, что позволяет адаптироваться к произвольному обтекаемому телу и реализовать на теле граничное условие непротекания.
Выпишем разностные схемы метода Давыдова для случая треугольных крупных частиц. Все вычисляемые газодинамические параметры (плотность, скорость, полная энергия, давление) относятся к геометрическим центрам треугольников.
Укороченные дифференциальные уравнения эйлерова этапа
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
УДК 533.6.011
С. II. Шевмрёв
РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ МЕТОДА ДАВЫДОВА НА ПРОИЗВОЛ ЬНОЙ СЕТКЕ
р—+ ._£_ dt дх
дЕ дри Ят
+
дискретизируются на треугольной сетке. В частности, для членов с давлением имеем (применяется теорема Грина и теорема о среднем [3])
~ = |рс1у I <$хф', — = -§рс!х / , + = рис1у - р\(к~\ / ^А'й^'. д д ОУ д д йх^д Д
Контурные интегралы при численных расчётах обходятся по сторонам треугольника против часовой стрелки:
з з
I(Р]+\ + Р)ХУ/Й -у,) - XОу+1 + рX*]+\ -х])
дх
др
су
X (*./+! - .V/)
3(ри) еру)
су
{Р}+|И/+1 + Р]и})(У]+\ -УjУ(Pj+^Vj+\+ Piv¡)(Xj■r 1 -*/)} _______
з
£(*и -У,)
7=1
Здесь /?4 = р,, х4 = х,, у4 = ; Р\, Рг-> Ръ ~ значения давления в грех соседних треугольниках; (х^ у^, (л'ч.Уг)» (хг>Уз) ~~ координаты центров этих треугольников.
Граница заменяется виртуальными ячейками, чтобы сохранить единую схему расчёта.
Величины с «волнами» определяются обычным образом [1,2]:
Р/
А/.
(1)
-сэр/ад1,
Р/ Р,
Выпишем формулы для потоков массы через границы ячеек на ла-гранжевом этапе.
Выберем произвольную сторону треугольника, например, (х|,>', \Х2'У2)- Выпишем формулу для потока массы через выбранную границу:
я иЦнорм) + ик1л{норм) ШКК2 =Рр---А/Щх,, V,), (х2 ,у2)),
(2)
где АМпк, _ - поток массы через сторону {х1,у]) -(х2, у2 ); р"р- плотность в текущем треугольнике, если поток вытекает из него, и плотность в сосед-
нем через указанную сторону треугольнике, если поток втекает; и"(норм) -нормальная составляющая вектора скорости для текущего треугольника; "ь2(но/м»)~ нормальная составляющая вектора скорости для соседнего треугольника; Дг - шаг по времени;
Ц(ъ, у1), (х2 ,у2)) = -х2 У + (у, - у На заключительном этапе
- длина стороны.
рГ1 = Р Г + Хмгу^,
м
Н
(3)
и+1
Е
7=1
у=1
где 5,- - площадь текущего (г-го) треугольника; р - нижний индекс у переменных и", V", Ер, он равен номеру текущего треугольника, если поток
вытекает из него через указанную сторону, в противном случае, этот индекс равен номеру соседнего треугольника с общей указанной стороной.
На теле ставится условие непротекания:
"гр.(норм) ~ вирт.(норм) • (4)
На внешних границах ставятся обычные условия «мягкого» сопряжения.
Таким образом, формулы (1), (2), (3), (4) представляют метод Давыдова на произвольной треугольной сетке.
Пространственный случай
Для четырёхгранной ячейки дифференциальные члены с давлением на эйлеровом этапе аппроксимируются с применением формулы Гаусса -Остроградского [3] и теоремы о среднем.
Формула Гаусса - Остроградского вдоль оси х имеет вид
ЯЙ
Левую часть этого равенства можно приближённо заменить на
ЁРу
^ пир ОХ
Интеграл в правой части для четырёхгранника распадает ся на четыре интеграла (по числу граней):
ЦрпхсВ = + \\pnJS + \\prixdS + \\pnJS.
5 5,
Итак,
для имеем \\рп^8 « ХЖ),-^; для?: \\рпу^ ® ХлЦЛА ; СОС 5 1=1 Ф' X 1=1
-з 4
для ^ : \\рп^ « X р,(и, ), 5,.;
Для + ^ + : |Т[(/»иК +(РФУ + (рм)п, ]£/5 «
ох су ог £
* I )/^ + (М' (и,,), + (рмО«(иг),. 5,-],
где 5, - плошадь 1-й грани четырёхфанника; пх,пу,п2 - проекции внешней нормали к грани на оси х, у, г соответственно; р,-, , V,, м>1 - давление и компоненты вектора скорости в соседнем через г-ю грань четырёхграннике.
Величины с «волнами» для пространственного случая определяются для эйлерова этапа из системы (1) с добавлением ещё одной компоненты для вектора скорости:
Р;
= Е? -А±[(дРи/дх)? Ндру/ду)? + Р|
На лагранжевом этапе поток массы через границу ячеек, например находящуюся между точками (х1,у1,г1), (х2,^2>г2)' (хз>УЗ'гз)> вычисляется по формуле
. и и "¡(норм) + ик, 7 -¡(норм) .
ДК1ЛЗ = р^ х 1 ' XА?X£((*,,я,),у2,г2),(дез,у3,г,)),
где обозначения те же, что и в двумерном случае,
Б((х1,уиг1),(х2,у2,г2),(х},у2,2з)) - площадь грани. Формулы заключительного этапа имеют вид
рГ^рГ + Хдм,./^,
1=1
м
уГ'^с^РГ + ЕА-ВД/К^/РГ1,
м
^ =(w;w + хлмх ^/РГ1 , £Г' =(£,"рГ + Ъщк IVi)lpTX.
7=1
где К, - объём текущего четырёхгранника; 9 равно номеру текущего четырёхгранника, если поток вытекает из него через указанную грань, в противном случае, q равно номеру соседнего четырёхгранника.
Граничные условия аналогичны двумерному случаю.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Математическая энциклопедия: В 5 т. М.: Сов. энцикл., 1982. Т. 3.
2. Математический энциклопедический словарь. М.: Сов. энцикл., 1988.
3. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: ВЗ т. М.: Наука, 1970. Т. 3.
УДК 533.6.011:532.529 Г. П. Шиндяпин, Е. Н. Гамаюнова
О ФИЗИЧЕСКОЙ АДЕКВАТНОСТИ АНАЛИТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ НЕРЕГУЛЯРНЫХ ОТРАЖЕНИЙ ОТНОСИТЕЛЬНО СЛАБЫХ УДАРНЫХ ВОЛН В УСЛОВИЯХ ДЕЙСТВИЯ ПАРАДОКСА НЕЙМАНА
1. Разработаны [1, 2] оригинальные аналитические модели нерегулярных отражений относительно слабых ударных волн (УВ) в газах и газожидкостных пузырьковых средах, описывающих как невырожденный режим (модель С" с отраженной УВ) простого маховского отражения SMR, так и вырожденный режим (модель В" с вырождением отраженной УВ в линию слабого разрыва) Неймановского маховского отражения NMR.
Для невырожденного режима характерны неклассические условия за тройной точкой А (для частиц, прошедших через падающий AN и отраженный AB фронты и через фронт Маха AS): при равенстве давлений или продольных скоростей ц* = ¡л имеет место непараллельность потока, характеризуемая углом AS и разрывом Av = v'—v~ поперечной составляющей скорости v. Для вырожденного режима характерны классические (Неймановские) условия: равенства давлений или направлений скоростей ц* = /Г , vf = V' за тройной точкой.
Целью настоящей работы является анализ физической адекватности разработанных аналитических моделей путем сравнения аналитических решений модельных уравнений (моделей С", В") с известными результатами экспериментальных [3, 4, 5] и численных [5J исследований.
