CC BY
31
Если Л, «Л2, то формулу (14) можно упростить В результате получим формулу, совпадающую с формулой Стони (1) Это объясняется тем, что при малой толщине покрытия напряжение, возникающее в нём в проводимом эксперименте, мало отличается от ст0. Формула (14) позволяет определить пределы применимости формулы Стони. Анализ показал, что с ростом толщины покрытия погрешность формулы (1) быстро растет, при « Нг её можно оценить величиной hjh2 -100%
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1 Stoney G. Proc R Soc Ser A London, 1909 Vol 32 P 172
2 Григолюк Э.И Тонкие биметаллические пластинки и оболочки // Инж сб. 1953 Т XVII С 69- 120
3 Парков А H , IJJnupu ГС. Сопротивление материалов. M Высшая школа,
1969
УДК 533. 6 011: 532 529 Г". П. Шиндяпнн, Е. Н. Гамаюнова
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ОБЩЕГО СЛУЧАЯ НЕРЕГУЛЯРНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ И ОТРАЖЕНИЯ УДАРНЫХ ВОЛН*
1. Интерес к задачам нерегулярного взаимодействия и отражения относительно слабых (интенсивности Pi0 = (р, - PoV^o > Р20 = (Рг ~ Рп)/^о > В0 =роС ц) ударных волн (УВ) (с углом наклона а к вертикали) в газе и газожидкостной среде, характеризуемой параметром R0(у), обусловлен [1-6] запросами практики, связанными с решением проблем авиакосмической, нефтегазодобывающей промышленности и др., а также проблемой получения фундаментальных знаний (построения физически адекватной теории).
Установленные экспериментально [4, 5] режимы взаимодействия и отражения - развитого маховского (простого маховского - SM, с невырожденными отражёнными волнами), вырожденного маховского (Неймановского - NM, с вырождением одной из отражённых волн), регулярного (R) -
Работа выполнена при поддержке Министерства образования РФ по программе «Научные исследования высшей школы по приоритетным направлениям науки и техники», проект 205.0101 030, и Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 03-01-00524
теоретически найдены [1 - 3] (режимы С, В, А соответственно) с помощью асимптотики коротких волн, позволяющей рассчитать возникающие УВ структуры и поля потока за ними.
На рисунке, а в левой части изображены схемы общего случая невырожденного нерегулярного взаимодействия и отражения УВ (режимы С, С" [2]), характеризуемые разрывом поперечной составляющей скорости и соответствующим разрывом в направлении скорости (углом 5„) за тройными точками.
2. Для относительно слабых ударных волн исследование сводится [1, 2] к анализу в области взаимодействия во внутренних переменных Х,У(5, У) решения краевой задачи для компонент скорости ц, V системы уравнений коротких волн
2(ц-бК+уу+ц = 0, ц = Р(1) = Я(1), (1)
удовлетворяющего на фронтах УВ 5 = 5*(У)(Л,А2 -Маха, цп =0, А,В, - отраженного, цп = 1, Л2В2 - отражённого, </„ = т) ) условиям
\ ^
= 26-ц-ц„ (ц-ц,)^-^, ц = Р(1> = Я,
Р (2)
'<&* V
.сСч) г~ г" "
1 10 'Н) и/ 20
и асимптотическим условиям сращивания на границах с областями линей-НОГО И квазиодномерного решения (за фронтами отражённых волн). av, л - параметры подобия задачи.
3. При анализе решений краевых задач [1,2] используются условия динамической совместимости (2) на фронтах в тройных точках (для верхней точки я - 1 и верхний знак, для нижней точки п = 2 и нижний знак)
A„=av±Y„, 5„ =!(<?„ +А*) Ё = Р10Л0(Г);
е (3)
С„=У:± Yn, C„=(qn +
е
vl = +ЧпК ±В„(ц„ -(?„), v: = *СЛЦ„.
Используется параметрическое решение (q - парамегр) системы (1), удовлетворяющее точно условиям (2) на фронте Маха при q = q0 = const вида
ц = <р2(<7)Г2 +(р,(<7)Г + ф0(9) ; 6 = qY2 + Х\(яУ+ Хо(ч), V = Ч/,(<7)Г3 + m2{q)Y2 + ч/,(9)Г + v|/0(<7). (4)
Система начальных условий для функций Ф2 (<7о )• ■ • Хо (^о) (получаемая при подстановке (4) в (2) при q = q0) и условия (3) дополняется [1] соотношением притока массы в зону за фронтом Маха (учитывающим условия сращивания с линейным решением) и соотношениями, выражающими принцип экстремального поворота потока за фронтами отражённых волн в окрестности тройных точек Полученная таким образом система 21 уравнения (11 при л = позволяет определить ударно-волновые структуры (координаты, углы наклона УВ в тройных точках, положение фронта Маха) и параметры потока в тройных точках и на фронте Маха.
Решение этой системы сводится в общем случае к решению системы двух трансцендентных алгебраических уравнений относительно параметров Ai, А2. Анализ решения [2] этой системы позволил определить области существования основных ударно-волновых структур (А - регулярного; С -развитого нерегулярного; В - вырожденного нерегулярного взаимодействия и отражения - А", С", В" УВ), построить математические модели во всех областях, кроме области С, основанные на явном параметрическом представлении решения.
4. Для общего случая невырожденного нерегулярного взаимодействия (области С) основная система уравнений для Аь А2 сводится в переменных R, W
Я = г1-г2, Ж = 2Г[-г2, л = 9Д2-(6Ж-Л)« + 1, 3;г2=А2+2, Зг2 = А2 + 2т|, А = А, + А2 - 2осу (5)
к решению уравнения для
4*о - (IV + ф]- л0 = (р0 + АЯ)(10 - 2ЯА)т- 2(го - А4)3/2, (61 =т2-ШЯ-ЗЯ2 -5 ; />0 = 9Д2 -6ЖД + 1 ;
«о =(з^2-6И^ + ЗЛ2-2)'/2-2(^2-2ЖЛ + /?2-1)3/2 ;
/0 =3(У2-6Я2-2; г0 =Ж2 + 2Ш-5Я2-1 Входящий в (6) малый параметр ЯА (ЛЛ«1) обращается в ноль на границах области решения С (Я = 0 при 11 = 0, А = 0 при У, = У2) Решение (6), построенное с точностью до степеней (ЯА)2, имеет вид
= к0 + т0 - + т0)2 - 4{>У + Я-Ь 0) • /0
*о = (ро'о"2-/о"2 -3/-о,/2)-Л , Г0 = "о + Ро'о2 ~ 2г0ш ;
(?)
Решение (7) удовлетворяет точно (6) на границе / между развитым нерегулярным С и регулярным взаимодействием (У1 = У2) и при г) = I и имеет максимальную относительную погрешность е = 2,7% на границе 2 между нерегулярным С и вырожденным В взаимодействием. Таким образом, задавая Я и IV, найдём согласно (7) А = А(Я, IV) и согласно (5)
а" =а*(Я,№), т) = т|(Я, IV), а также А ,= А , {Я, IV), А2 = А2(Я, IV), через которые выражаются [3] все остальные параметры задачи
5. Решение (7) позволяет найти границу 2 области С с областью В (вырожденного взаимодействия, когда Л, = 1; г1 = 1) при Я = 1 - гг, № = 2 - г2 (0,821 < г2 < 1) в явном виде
т] = Зг2-2 + (1-г2М72),
а
2
1-Л(72)+(з72-2л)"2],
(8)
а также следующие выражения
/„ , „ 1 + 20
2 А(г2)
через которые выражаются остальные параметры на границе 2.
6. На рисунке, Ь, с проведено сравнение расчетных значений (сплошные линии для угла й ('£б„ = ±Лул/цч , Дуп = V* - V"), характеризующего разрыв в направлении скоростей за тройной точкой) с экспе-
риментальными данными [5] при отражении УВ (7 = 1, п - 1, 5 = 8,, см рисунок, и - правая часть). Сравнение показывает хорошее соответствие данных для о(у,) (см рисунок, b) при различных значениях М4
(M's; 1 = Рщ /?ц(у]), универсальный характер (см рисунок, с) зависимости
5V =5v(av), 6V = ig6/(P10fi0(y))'/2 для относительно слабых УВ.
Лнапитические результаты подчёркивают физическую адекватность теории, объясняют особенности нелинейных процессов взаимодействия УВ, их асимптотический характер, что выгодно отличает их от результатов [6] и др. численных исследований
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1 Шиндяпин Г.П Маховское отражение и взаимодействие слабых ударных волн в условиях парадокса Неймана //Изд РАН МГЖ 1996. №2. С. 183 -190.
2 Шиндяпин Г.П Аналитическое исследование ударно-волновых структур и потоков при отражении и взаимодействии относительно слабых ударных волн // Аэродинамика Межвуз. сб науч тр. Саратов: Изд-во Сарат ун-та, 2001 Вып 15 (18). С 31-44.
3 Шиндяпин Г.П., Гамаюнова ЕН Аналитическое исследование ударно-волновых структур и параметров при нелинейных взаимодействиях ударных волн // Математика Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат ун-та, 2001 Вып 3.
С 193 - 196
4. Smith W. К. Mutial reflection of two shock waves of arbitrary strengths // Phis. Fluids 1959 Vol. 2 № 5 P 533 - 541
5 Aciachi Т., Suzuki Т., Kobayashi S Macli Reflection of a Weak shock wave // Trans Jap Soc Mech. Eng. В 1994 Vol 60 № 575 P 2281 - 2296.
6 Zakharian A R , Brio M., Hunter JК , Webb GM The von Neumann paradox in weak shock reflection // J Fluid Mech. 2000. Vol 422 P. 193 - 205.
