CC BY
31
УДК 621.165.533
РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ ТЕЧЕНИЯ В КРИТИЧЕСКОМ СЕЧЕНИИ СОПЛА ЛАВАЛЯ
Л.В. Виноградов, Ш.Р. Лотфулин
Кафедра комбинированных ДВС Российского университета дружбы народов 117198 Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6
Для расчета основных параметров течения в критическом сечении плоского сопла Лаваля получены аппрок-симационные зависимости, которые позволят на один-два порядка сократить время расчета при сохранении достаточной для практики точности.
Известно, что течения типа течения в сопле Лаваля достаточно широко встречаются как в элементах турбомашин (сопловые и рабочие решетки), так и в двигателях внутреннего сгорания (газовыпускные клапаны). Как правило, расчет параметров таких течений, начинается с критического сечения (горла) канала.
Опыт проектирования с использованием указанного метода, показал, что наиболее трудоемкая часть расчетов - определение в критическом сечении канала геометрических и газодинамических параметров потока, которые находятся итерационным методом при обеспечении ряда уравнений сохранения и экстремумов. Поэтому в настоящей работе была сделана попытка представить основные геометрические и газодинамические параметры для критического сопла Лаваля в виде ряда аппроксимационных зависимостей, которые дают возможность на один-два порядка сократить время расчета при обеспечении необходимой для практики точности, а также использовать эти аналитические зависимости в системах автоматизированного проектирования (САПР). Следует отметить, что данные для критического сечения сопла являются исходными для всех дальнейших газодинамических расчетов в канале.
АВС - критическая эквипотенциаль; Ь - геометрическое горло сопла; Яу -радиус кривизны контура сопла в горле; К10 - ордината звуковой точки; аш - угол наклона звуковой скорости к оси абсцисс; Ха -величина приведенной скорости на оси канала; А* - величина приведенной скорости на контуре сопла; В - точка перегиба критической эквипотенциали;
На рис. 1 показана расчетная схема критического сечения сопла Лаваля с контуром стенки в виде окружности радиуса Необходимо отметить, что все геометрические параметры соплового канала нормированы по ширине горла Ь, т.е. в расчетных схемах всегда Ь = 1,0. Критическая эквипотенциаль АВС, ортогональная в точках А (ось канала) и С (контур сопла), - сопряженные между собой части двух окружностей, выполненных радиусами ЯгЬ и
Виноградов JI.В., Лотфулин Ш.Р. Расчет параметров ... 67
i?bc. В точке В эквипотенциаль имеет перегиб. Следует отметить, что в точке перегиба приведенная скорость всегда равна Х=1,0. Положение звуковой точки по высоте горла (ордината /ю) и угол наклона вектора звуковой скорости аю определяются радиусом кривизны стенки в горле сопла Rk.
Для выполнения расчетов по полноразмерной математической модели был разработан пакет прикладных программ (ППП) для универсальной математической системы MathCAD 2000 Pro. В результате этих расчетов была получена матрица исходных данных для: ординаты звуковой точки - Yl0, угла наклона вектора звуковой скорости - аю, величины приведенной скорости на оси сопла - Ха, величины приведенной скорости на контуре сопла - Хк, коэффицинта расхода сопла - ц, для 32 значений приведенного радиуса кривизны стенки сопла в горле (диапазон - 1,1012 <Ry< 0).
Графики для указанных параметров, а также аппроксимационные формулы строились в
зависимости от параметра К = Ь(Rk + \). Удобство этого параметра состоит в том, что при изменении радиуса 0 < Rk < оо он изменяется в диапазоне 0 < К < 1.
Исходные данные аппроксимировались двумя функциями. Параметры первой функции определялись исходя из общего характера кривой в зависимости от К и граничных условий.
Так для ординаты звуковой точки первая функция имела вид:
У1о(х) = а + Ь-х2 + С-хЪ + <1-х\ (1)
где х - параметр, эквивалентный параметру К.
Граничные условия записывались как:
при К=0 ¿Ую ск = 0 и 710 = ут, (2)
приЛГ==1,0 (¿У\о ^х = 0 и У\о = Ут, (3)
где .у 100 ,ут~ начальное и конечное соответственно значения ординат звуковой точки.
Функция (1) с учетом условий (2) и (3) позволяет аналитически определить коэффициенты уравнения (1) при известном значении координаты точки перегиба кривой хп, которые равны:
а=Ую0> = У101 ~~ У\оо ~ с ~
^ = (~2' (У; 01 ~ УwoJ ~ с) ,2;
/ ) 12^Х"1 с~2'{Ут У ту
Начальное приближение значения абсциссы хп точки перегиба достаточно хорошо определяется по графику. Затем методом последовательного приближения, задаваясь рядом значений хп, рассчитывался коэффициент линейной корреляции г. Окончательное значение хп принималось по наибольшей величине указанного коэффициента.
На втором шаге приближения разница между значениями функции (1) и исходными данными аппроксимировалась полиномом третьей степени р = 3 с использованием встроенной в МаЛСАИ функции regress(X,Y,p), возвращающей вектор коэффициентов полинома, который наилучшим образом в смысле наименьших квадратов приближает данные векторов X и Г(в нашем случае векторы значений расчетных и аппроксимированных значений).
В результате двухэтапной аппроксимации для кривой ординат звуковой точки в критическом сечении плоского сопла Лаваля были получены два уравнения, по которым можно рассчитать ординату звуковой точки при любом значении параметра К:
Ую(х) = У\ъ(х)-Р(х), (3.5)
(1 — 6 хп + 6хп)
где
у]0(х) = 0,599846 + 0,254041 хг - 6,153707 • Ю~3 х3 - 0,122405 х4,
Р( х) = 1,74050310'3 - 6,119465 Ю~3* + 8,8416610"3 х2 - 4,42264510-3 х3
(Аналогичные зависимости были получены и для других параметров критического сечения сопла Лаваля.)
Для оценки результатов аппроксимации был проведен статистический анализ полученных данных - рассчитаны параметры уравнения линейной регрессии (коэффициент корреляции г, средняя квадратичная ошибка коэффицинта корреляции - аг, тангенс угла накллона линии регрессии к оси абсцисс - Ь, смещение по оси ординат линии регрессии - а. Полученные данные сведены в таблицу.
Таблица
Наименование параметра сопла г ог Ь а
Ордината звуковой точки Гю 0,99995098 1,733079.10‘5 0,999971 1,890006.10 *
Угол наклона вектора звуковой точки а10, рад 0,999992333 2,710569.10'6 0,99998 1,582649.10'6
Величина приведенной скорости на оси сопла А* 0,999994187 1,131742.10'5 0,999858228 1,799958.104
Величина приведенной скорости на контуре сопла 0,999998629 6,577219.1 O'6 1,000165117 -1,43841.10“4
Коэффициент расхода сопла ц 0,999996182 2,405252.10'5 1,000417996 -4,01846.104
Таким образом, проведенный корреляционный анализ исходных данных, полученных по полноразмерной математической модели, и данных, полученных по аппраксимационным зависимостям, позволяет сделать вывод о том, что для определения параметров течения в критическом сечении сопла Лаваля можно с достаточной для практики точностью пользоваться данными аппрокисмации. Использование полученных в работе аппроксимационных формул в системе САПР, например, на этапе эскизного проектирования, позволяет сократить временя расчета основных параметров в горле сопла на один-два порядка.
UDK 621.165.533
PARAMETER’S CALCULATION OF FLOW IN THROAT OF LAVAL’S NOZZEL
L.V. Vinogradov, SH.R. Lotfulin
The Department of Combined ICE Peoples’ Friendship University of Russia Miklukho-Maklaya St., 6, 117198 Moscow, Russia
There are obtained of approximated equations of main parameters of throat of Laval’s nozzei.
