О моделировании га30вых струй, истекающих из реальных сопл Лаваля Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том VII 1 97 6 .

№ 2

УДК 532.525.2

О МОДЕЛИРОВАНИИ ГАЗОВЫХ СТРУЙ, ИСТЕКАЮЩИХ ИЗ РЕАЛЬНЫХ СОПЛ ЛАВАЛЯ

В. И. Киреев

Разработан метод решения обратной задачи о построении контура сопла Лаваля по заданным параметрам в его выходном сечении. Метод позволяет смоделировать основные газодинамические и геометрические параметры струй в некотором смысле реального газа, имеющего на срезе модельного сопла постоянное отношение удельных теплоемкостей і., равное соответствующему X в выходном сечении реального сопла.

Получено численное решение осесимметричного течения реального газа для сопла в целом от дозвуковой части до выходного сечения. Реальные процессы, протекающие внутри сопла, учтены с помощью использования среднего эффективного показателя изоэн-тропы расширения, который получен из расчета одномерного течения при наличии равновесных физико-химических превращений. С использованием этих данных на выхлопе реального сопла построен контур сопла модели для газа с х = 1,4, обеспечивающий равенство основных газодинамических параметров на срезе сопл модельной и реальной систем.

Газодинамические параметры в выходном сечении реальных профилированных сопл, обеспечивающих в заданных условиях оптимальную тягу, существенно неравномерны. Течение реального газа в соплах в большинстве случаев является сложным процессом, характеризующимся высокой энергетичностью потока и наличием физико-химических превращений. Поэтому при экспериментальном решении ряда газодинамических задач по определению силового воздействия струй на различные элементы преград использование натурного рабочего тела, как правило, не представляется возможным.

Предлагаемый в данной статье метод расчета контура сопла Лаваля в ряде практических случаев позволяет смоделировать струю реальных (в некотором смысле) газов струей газа (или смесью газов), имеющего на срезе модельного сопла отношение удельных теплоемкостей у. = ср1съ. равное соответствующему значению у- на срезе реального сопла. Здесь и ниже под понятием реального газа подразумевается рабочий газ реальных сопл, в котором происходят сложные физико-химические превращения. Это понятие не включает в себя вязкостные эффекты, хотя они могут быть учтены.

При выборе рабочего тела, удовлетворяющего условиям имитации газов реальных сопл, необходимо воспроизвести основные параметры, которые определяют течение струи. Характер течения струи сохраняется, если распределения числа М и угла наклона вектора скорости в сечении среза сопла, отношение удельных теплоемкостей газа х и отношение давления на стенке в выходном сечении к окружающему одинаковы для реальной и модельной систем.

В реальном случае термодинамический состав газа вдоль сопла изменяется. Однако известно, что обычно в некотором сечении внутри сопла состав газа .замораживается“ и далее вниз по течению практически остается неизменным. Поэтому течение газа в струе с постоянным отношением удельных теплоемкостей будет достаточно хорошо соответствовать реальному течению.

Следовательно, при проведении экспериментальных исследований, связанных с определением силовых нагрузок при ударе струи на преграды и с другими газодинамическими задачами, требующими знания распределения параметров в струях, рабочее тело может быть смоделировано таким образом, чтобы на срезе сопла и далее вниз по течению отношение удельных теплоемкостей реального газа было идентичным отношению удельных теплоемкостей рабочего тела для модели. При выполнении этого условия для моделирования основных газодинамических и геометрических параметров струй при проведении газодинамических экспериментов необходимо спроектировать модельное сопло таким образом, чтобы для модельной и реальной систем были обеспечены одинаковые распределения чисел М и углов наклона вектора скорости к оси сопла по радиусу его выходного сечения. С этой целью в данной работе предлагается метод расчета контура модельного сопла.

Из изложенного ясно, что при надлежащем выборе полного давления в ресивере модели и рабочего тела модели с постоянным значением хм, равным соответствующему к. для реального газа вблизи среза сопла, достигается соответствие основных газодинамических и геометрических параметров течения в реальной и имитируемой струях. Отметим, что при этих условиях осуществляется моделирование импульса в выходном сечении струи, а при выполнении дополнительного условия равенства комплекса YRT (где R—газовая постоянная, Т — температура К) для реальной и модельной систем в эксперименте будет осуществляться моделирование также и расхода газа.

Перейдем теперь к рассмотрению метода решения обратной задачи о построении контура сопла Лаваля по заданным параметрам в его выходном сечении.

Постановка задачи и метод решения обратной задачи о построении контура сопла Лаваля. Пусть в качестве начальных данных заданы некоторые функции распределений чисел М (г), углов наклона вектора скорости к оси сопла $(г), а также отношение удельных теплоемкостей газа в выходном сечении сопла реальной системы, полученных, например, экспериментально или расчетным путем при решении задачи об осесимметричном течении в сопле при среднем показателе изоэнтропы расширения иэфф = const или с учетом физико-химических превращений. Функции М (г) и 9 (г) во всем поле течения реальных сопл, как правило, непрерывны. Этот факт используется при решении данной задачи.

Предполагаем, что течение газа в реальном сопле в области, расположенной в его выхлопной части, является „замороженным“ с постоянным отношением удельных теплоемкостей Пр. В качестве рабочего тела модельной системы примем газ или смесь газов с коэффициентом равным г.р. В случае, если необходимо смоделировать при умеренных нерасчетностях истечения участок струи, ограниченный сравнительно небольшими расстояниями от среза сопла, то, как показывают расчеты, в качестве рабочего тела с достаточной для практики точностью может быть использован газ с хм = 1,4.

Пусть требуется определить контур сопла модели, обеспечивающий соответствие основных газодинамических параметров на срезе и в струях модельной и реальной систем.

Все расчеты проводятся в прямоугольной системе координат. В качестве масштаба длины принят радиус сопла в выходном сечении.

Метод расчета заключается в следующем. По заданным распределениям по радиусу чисел М (г) и углов наклона вектора скорости к оси сопла 8 (г) при * = хм = *77 определяем расход газа в выходном сечении модели по формуле:

где но — скорость потока, р — плотность, отнесенные к своим критическим значениям, и га — радиус выходного сечения сопла.

По величине полученного расхода вычисляем радиус критического сечения сопла г*. Это вычисление производим вначале без учета отличия коэффициента расхода (л от 1. Напомним, что коэффициент расхода определяется как отношение величины потока массы через поперечное сечение сопла к потоку массы через сечение цилиндрической трубы с радиусом л*.

о

Используя полученный г* модели, зададим геометрические параметры контура входной до- и трансзвуковой части модельного сопла Лаваля из условия безотрывного обтекания [1] (фиг. 1). Далее проводим расчет поля течения во входном дозвуковом, трансзвуковом и сверхзвуковом участках выбранного сопла и одновременно определяем его коэффициент расхода. Коэффициент расхода зависит только от формы подводящей части сопла, т. е. от угла наклона конической поверхности к оси х (см. фиг. 1) и радиуса скругления образующей меридионального сечения в критическом сечении со стороны дозвуковой части. Указанные расчеты могут быть проведены различными численными методами [2]—[4]. С учетом рассчитанного коэффициента ¡х делаем поправку радиуса г*.

Отметим, что в соответствии с работой [2] контур стенки дозвуковой и трансзвуковой областей сопла может быть выполнен так, что звуковая поверхность в этом сопле близка к плоскости, расположенной в минимальном сечении этого сопла. Расчеты течения в таком сопле, полученном У. Г. Пирумовым [2] при *. = 1,4 (функция тока ф = 0,04) с помощью решения обратной задачи, проведены также и с помощью решения прямой задачи по программе, составленной автором в соответствии с работой [4] и апробированной при серийных расчетах [5]. Результаты расчета линий уровня А = const (X — коэффициент скорости) в трансзвуковой зоне этого сопла приведены на фиг. 2 и наглядно иллюстрируют незначительное (~1%) отличие коэффициента скорости в минимальном сечении от своего критического значения.

Возвратимся к рассмотрению схемы расчета сверхзвукового участка искомого сопла. Используя начальные данные задачи, рассчитываем характеристику ВК' (см. фиг. 1), ограничивающую область влияния этих данных. При этом координата х точки К' в системе координат, связанной с центром сопла, не фиксируется. Расчет проводится методом характеристик [6]. Затем обращаемся снова к рассмотрению входного участка искомого сопла. Продолжаем численное решение, полученное для течения в до- и трансзвуковой областях сопла, в сверхзвуковую область по направлению потока.

Полученное таким образом поле газодинамических параметров используется для расчета характеристики АК, которая выбирается из условия равенства числа М в точке пересечения данной характеристики АК и характеристики ВК' с осью х. Очевидно, что характеристика АК и параметры вдоль нее определяются течением во входном дозвуковом и трансзвуковом участке искомого сопла. Совмещая координаты л: точек пересечения характеристик I и II семейств с осью х в системе координат, связанной с центром сопла, определяем длину сверхзвуковой части сопла.

Таким образом, получены все данные, необходимые для построения искомого контура сопла с помощью решения задачи Гурса. Решение этой задачи производится методом характеристик [6], [7]. Одновременно с расчетом параметров в характеристическом четырехугольнике АСВК выстраивается линия тока, выходящая из точки А (см. фиг. 1).

Результаты расчета сопла Лаваля, обеспечивающего заданные параметры на его срезе. Исходные данные задачи — распределение по радиусу чисел М (г) и тангенсов углов наклона вектора скорости к оси х£(г) в выходном сечении реального сопла, сверхзвуковой участок контура которого показан на фиг. 3 и обозначен линией 1, — приведены на фиг. 4 (сплошная линия). Поля параметров во входной до- и трансзвуковой областях этого сопла определялись с помощью численного метода, изложенного в работе [4]. Данные, полученные в некотором сечении, расположенном в сверхзвуковой области, использовались для проведения дальнейшего расчета сверхзвукового течения в реальном сопле методом

Ю—Ученые записки ЦАГИ № 2

145

сквозного счета [8]. Коэффициент х для течения реального газа по соплу в этом расчете принимался равным среднему эффективному показателю изоэнтропы расширения лЭфф= 1,137, полученному из расчета одномерного равновесного течения. В соответствии с этим расчетом коэффициент Ър в выходном сечении сопла близок к 1,2, но для выявления возможностей метода ниже приведены результаты расчета искомого сопла для рабочего газа с хм =1,4.

Для построения контура сопла модельной системы использовался, как было отмечено выше, метод характеристик с использованием переменных 3 = ^М2— 1 и $ = 0^ [6]. Параметры М и 5; в критическом сечении принимались однородными

и равными соответственно 1,05 и 0. Такие данные с точностью не менее 2%, как показывают результаты расчетов, приведенных на фиг. 2, имеют место в сечении -< = 0,11. Поэтому данное сечение может быть принято в качестве начального для сверхзвукового участка контура искомого сопла. Радиус окружности образующей модельного сопла в критическом сечении со стороны его выходного сечения принят равным 1,05 радиуса критического сечения (г*).

Далее, в соответствии с изложенным выше, проводятся независимо друг от друга расчеты характеристики ВК'

(см. фиг. 1), ограничивающей область вли-

яния начальных данных, и характеристики АК- Координаты характеристик ВК' и АК и параметры 3 (•*)> £ (*) вдоль них приведены соответственно на фиг. 5—7. Для характеристики ВК' на фиг. 5 и 6 сравниваются результаты расчетов, полученных при значениях х = ч-р = 1,137 (пунктирные линии) и х = хм = 1,4 (сплошные линии). Из фиг. 6 видно, что характер изменения параметров ¡3 и £ в функции х вдоль характеристик, рассчитанных при х= 1,137 и х = 1,4, в основном одинаков. Следует отметить, что при расчете характеристик ВК' при коэффициенте х = 1,4, отличающемся от соответствующего показателя, при котором получены исходные данные задачи, в окрестности пересечения ВК' с характеристикой другого семейства, исходящей из центра выходного сечения сопла, имеет место локальный всплеск в зависимостях [3 (х) и ?(лг) вдоль характеристики В К'.

Это объясняется несоответствием на оси модельного сопла в его выходном сечении производных функций М (х, г) и £(*, г) в продольном и поперечном направлениях из-за различия в коэффициенте х. Действительно, при расчете

ВК' при г. = 1,137 (см. фиг. 6) локального выброса не получается, так как при этом имеется соответствие указанных выше производных. В связи с отмеченным фактом при решении задачи Гурса параметры 8 и £ вдоль указанной характеристики сглаживались.

Координаты образующей стенки модельного сопла в меридиональном сечении, полученные в настоящей работе, показаны на фиг. 3 линией 2. Отношение площадей выходного и критического сечений в этом сопле (/^/.Р*) 16,67, при этом /у/7* для реального сопла равно 113. Отметим, что соотношение площадей для сопла модели, вычисленное по одномерной теории с использованием среднеинтегрального значения числа М в выходном сечении реального сопла, составляет величину —17, которая мало отличается от более точного его значения, указанного выше.

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

_

/ >

/

/ ' / У - '— — ‘ —- —

//>

1/1 /

X

1,5

1,0 Фиг. 6

0,5

4,0

3,6

3,2

2,8

2 Л

О ’

Для контроля точности полученного в работе численного решения на фиг. 4 приведено сравнение исходных данных задачи, соответствующих выходному сечению реального сопла, с результатами решения прямой задачи об осесимметричном течении в полученном сопле (линия 2 на фиг. 3). Пунктирной линией на фиг. 4 показаны результаты контрольного решения прямой задачи. Видно, что различие сравниваемых данных невелико (не больше \%) и объясняется необходимостью сглаживания параметров вдоль характеристики, ограничивающей область влияния начальных данных задачи.

На фиг. 8 приводится сравнение результатов решения прямой задачи {сплошные линии) с соответствующими данными, полученными в процессе решения обратной задачи о построении контура сопла Лаваля по заданным параметрам в его выходном сечении (пунктирные линии). Линии 1 относятся к стенке сопла, линия 2—к его оси. Фиг 8 иллюстрирует влияние указанного выше несоответствия производных функций, характеризующих начальные данные, в поперечном и продольном направлениях при расчете течения газа с %м, отличном от его значения, при котором получены начальные данные.

При выборе рабочего газа модельной системы с коэффициентом хм, равным М хр на срезе реального сопла, различие в -ан = %р и /гэфф уменьшается и вследст- цд_

0,2

0,1

1

0,1

о

X \ У У

X X \

—

3.0

2.0 1.0

9 ^ м

х г

4 0,33 0,37 /

) V

//

0,35 ”31 1 /

11 Л 1 2 х і—

Фиг. 7

1,0 Фиг. 8

2,0 х

о,ч

0,3

0,2

0,1

О

вне этого уменьшается несоответствие производных и повышается точность построения контура модельного сопла.

В заключение отметим, что полное соответствие производных может быть достигнуто в случае, если данные в выходном сечении реального сопла получены с учетом физико-химических превращений в процессе расчета осесимметричного течения в этом сопле.

Автор благодарит Ю. Б. Лифшица и Ю. М. Липницкого за полезные замечания при обсуждении статьи.

ЛИТЕРАТУРА

1. А л ем а со в В. Е., Дрегалин А. Ф., Тишин А. П. Теория ракетных двигателей. М., .Машиностроение*, 1969.

2. П и р у м о в У. Г. Расчет течения в сопле Лаваля. „Изв.

АН СССР, МЖГ-, 1967, № 5.

3. Иванов М. Я., Крайко А. Н. Численное решение прямой задачи о смешанном течении в соплах. „Изв. АН СССР, МЖГ‘,

1969, 5.

4. Киреев В. И., Л и ф ш и ц Ю. Б., Михайлов М. Я.

О решении прямой задачи сопла Лаваля. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 1, № 1, 1970.

5. К и р е е в В. И., Л и ф ш и ц Ю. Б. О трансзвуковом течении газа в осесимметричных соплах Лаваля, с крутыми стенками. . Изв.

АН СССР, МЖГ‘, № 6, 1970.

6. Кацкова О. Н., Наумова И. П., Шмыглев-с к и й Ю. Д. Опыт расчета плоских и осесимметричных сверхзвуковых течений газа методом характеристик. М., ВЦ АН СССР, 1961.

7. Кацкова О. Н., Шмыглевский Ю. Д. Осесимметричное сверхзвуковое течение свободно расширяющегося газа с плоской звуковой поверхностью. Вычислит, матем., 1957, № 2.

8. И в а н о в М. Я, Крайко А. Н., М и х а й л о в В. В. Метод сквозного счета двумерных и пространственных сверхзвуковых течений. Ж. вычислит, матем. и матем. физ., т. 2, № 2, 1972.

Рукопись поступила 6/ VI 1974 г.