CC BY
16УДК 535.317
Расчет параксиальных характеристик линз с различным распределением показателя преломления аналитическим и численным методами
Т.В. Исаева1, А.Л. Сушков1, М.К. Тарабрин1 1 МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия.
Проанализированы результаты расчета параксиальных характеристик линз с осевой и радиальной неоднородностями показателя преломления численным и аналитическим методами. Обоснован критерий достаточного количества коэффициентов числовых рядов, представляющих в неоднородной среде функции высоты луча и угла луча с оптической осью.
E-mail: rl-3bmstu@yandex.ru
Ключевые слова: градиент показателя преломления, линза с неоднородным показателем преломления, методы расчета параксиальных характеристик линзы с неоднородным показателем преломления.
Оптические элементы с различными видами распределения показателя преломления (РПП) находят все более широкое применение в современных приборах. Однако исследование влияния параметров РПП и толщин неоднородных линз на аберрации оптической системы посредством расчета хода реальных лучей затруднено вследствие большого объема вычислений. Альтернативным подходом является анализ аберраций в зейделевой области, требующий знания параметров первого и второго вспомогательных (параксиальных) лучей. Для общего вида РПП n(x, y, z) коэффициенты рядов по координате z, представляющих высоту и угол луча в неоднородной среде, можно определять численным методом, разработанным Д. Муром*.
Цель работы — определить область применимости численного метода расчета для линз с осевым и радиальным РПП различной конфигурации поверхностей и толщины. Критерий применимости универсального метода основан на сравнении с результатами, полученными альтернативным методом, в котором функции высоты и угла луча определены аналитически.
Задачей исследования являлся сравнительный анализ величин параксиальных характеристик линзы (фокусного расстояния и заднего фокального отрезка) с наличием в стекле линзы осевого или радиального РПП с различной конфигурацией поверхностей линзы и определение оптимального количества коэффициентов ряда, пред-
* Сушков А.Л. Алгоритм расчета зейделевых аберраций для оптической среды с распределенным показателем преломления // Известия вузов: Приборостроение. 2012. № 5. Т. 55. С. 64—72.
ставляющего функцию угла луча с оптической осью и высоту луча в неоднородной среде.
Обозначим функции углов наклона с оптической осью и высот вспомогательных лучей а(2), Д2), Ъ(£), И(г). В неоднородной среде а( z) = Й( 2), в( 2 ) = Н (2 ).
В общем случае функция показателя преломления оптической среды представляется в виде степенного ряда:
п(2, у) = щ(г) + П\ (2) у2 + И2(г)у4 +..., (1)
где по(2), П1(2), П2 (2) также являются степенными рядами:
По( 2) = поо + П012 + П02 22;
П1( 2) = П10 + П112 + П1222; (2)
П2 (2) = П20 + П212 + П22 22.
Осевое РПП имеет вид п(2) = п00 + п012 + п0222 +..., а радиальное
РПП: п(у) = п00 + п0 У2 + п20 у4 +...
Коэффициенты п01, п02, п10, п20 имеют размерности согласно сте-
-1 -2 -4
пеням 2 и у: мм , мм , мм .
Функции углов и высот лучей представляются в виде степенных рядов по координате 2:
И(2) = А + А12 + А222 + А323...; Н(2) = В0 + В12 + В222 + В323...; а(2) = А1 + 2А22 + 3А322...; в(2) = В1 + 2В22 + 3В322..., (3)
где А0 и А1 — высота и угол первого вспомогательного луча на входе в неоднородную среду; В0, В1 — высота и угол второго вспомогательного луча с оптической осью на входе в неоднородную среду.
Коэффициенты степенных рядов вычисляются по рекурсивной формуле :
A -
ля
n—m—1
^ [2 An—2 nim—n — n(n — 1) АпПот—n — (m — n + 1)( n — 1) An—1Щгт—n+1 ] —
n—2
—(m — 1) Am—1n01 + 2 Am—2 n10
/ m(m — 1)n00.
(4)
Для осевого РПП формула (4) имеет следующий вид:
* Сушков А.Л. Указ. соч.
A —
^m
—m-1
^ [-n(n -1)A„n0,m-n -(m -n + 1)(n -1)4,-1%m-n+1 ]-(m -1)Am—noi
n—2
т(т - 1)п0 После раскрытия (5) получим
А, = -А П01
2noo - А1ПО2 - 2 А2ПО1
4, —
^3 - 3«оо 5
- An - - 2 A2no2 - -3 A3«o1 .
4«оо 5
-2 A2«o3 - 3 Ä3«O2 - 4 A4«o1
5«оо
-3Ä3«O3 - - 4 A4 «о2 - - 5 A5«o1
6n
oo
Для радиального РПП формула (4) имеет вид
Раскрытие (7) дает:
Аз — 2 4 A4 — 2 А2 Аз — 2 Аз
2noo «10 .
6noo ' «1о 12«оо «1о
20n,
oo
(6)
Am — 2Am-2 n10 . (7)
m(m - 1)«оо
А2 — 2 Ao n10
Для обоих типов РПП коэффициенты Вт вычисляются по формуле для Ат с заменой Ат на Вт.
Для проверки сходимости рядов на каждой поверхности вычисляется параксиальный инвариант I = пк (Нак - Ьквк), где пк — осевой показатель преломления непосредственно перед к-й поверхностью. Если
5
значения инварианта идентичны, то ряды сходятся и расчет продолжается. В случае несовпадения значений необходимо повысить точность расчета, увеличив число членов в разложении к(2), Н(2).
Аналитический метод заключается в расчете параметров лучей по формулам углов и высот, полученным в результате решения дифференциального уравнения хода луча для параксиальной области.
Для осевого и радиального РПП формулы преломления луча на первой и второй поверхностях имеют общий вид. Примем для удобства обозначение поо = по, тогда, если к1, а1 — исходные значения высоты луча и угла с оптической осью, с1 — толщина линзы, то
, (по -1)
а = кр-; (8)
По (8)
аз = кр2 (1 - Щ ) + «22 П,
где р1 = 1/г2; р2 = 1/г1; а22 — угол на выходе из градиентной среды; пz — значение 1111 на выходе из градиентной среды.
Заднее фокусное расстояние и задний фокальный отрезок линзы определим по формулам
г, к к
J =—; ¿Г =—. аз аз
Для осевого РПП функции высоты луча и угла луча в оптической среде имеют следующий вид:
d 1
к (2) = к - По«2 Г—— dz;
0 п(2) (9)
/ \ «2По «22 (2 ) =-.
Фокусное расстояние /' линзы с учетом формул (8) и (9) описывается выражением
/ =-1-^-. (1о)
pi (no - 1) -Р2 (nz - 1) + РР2 (no - 1)Oz - 1)
•> ni'
-dz
0 n(z)
Для радиального РПП (ni0 < 0) имеем функции высоты луча и угла с осью:
h2 (z) = h1 cos (tz)- asin (tz); a22 (z) = a2 cos(tz) + h1t sin(tz),
где t = ,
nio
noo
2
Аналитическое выражение для фокусного расстояния линзы при наличии в стекле радиального РПП имеет вид
Критерием правильности расчета высоты луча и угла луча с оптической осью в линзе является совпадение обобщенного параксиального инварианта на каждой поверхности линзы с точностью до 4—5-го знака. При выполнении этого условия результат с точностью до 3-го знака совпадает с результатом аналитического расчета.
В качестве объектов исследования из патентной базы США были выбраны линзы с осевым и радиальным распределением показателя преломления: для осевого РПП — US Patent № 5, 239, 413 «Objective lens system for microscopes», 1993; для радиального РПП — US Patent № 6, 519, 098 «Objective lens system», US Patent № 4, 859, 040 «Optical system having gradient-index lens and method for correction aberrations» и US Patent № 5, 912, 770 «Achromatic lens system». Размеры радиусов кривизны поверхностей и толщин линз в миллиметрах.
Линзы с осевым РПП
Линза 1. Положительная двояковыпуклая линза (рис. 1):
f '
1
(11)
pi = 9,42110-4 ; d = 4,1731; щ2 = 0,66018-10-3; pi =-0,101; П0 = 1,51742;
n01 = 0,44269-10-1; nz = 1,71365.
/> - -9,9353
d=4J7
Рис. 1. Геометрические параметры линзы 1
Аналитический результат: /'= 13,798; ^ = 13,780. Численный резульатат (т = 3):
а1 = 0; к1 = 13,798;
Н2 = А + Л1а + Л2 а2 + А3с13 = 13,78042; а22 = -( л1+2 л2 а+3 л3а2) = 3,92495 • 10-3;
а3 = 1,00000;
/ = 13,798; 8) ■ = 13,780.
Обобщенные параксиальные инварианты на 1-й и 2-й поверхно-
¡1 = (На - Ьв) = -13,79784; ¡2 = п2(Н2^22 - М22) = -13,79799; М = ¡1 -12 = 0,00015.
Линза 2. Вогнуто-выпуклый мениск (рис. 2): р =-0,229; п01 = 0,64233 •Ю-2; Р2 =-0,162; а = 3,4472; П0 = 1,59799; п2 = 1,62013.
Рис. 2. Геометрические параметры линзы 2
Аналитический результат: /' = -134,785; 8/' =-174,388.
Численный результат (т = 3): / = -134,785; ' =-174,388; ¡1 = (Нха\ -кв) = 134,78474; ¡2 = п2(Н2а22 - Ьгрп) = 134,78474; М = ¡1 - ¡2 = 0,000005.
Линза 3. Линза отрицательная двояковогнутая с увеличенной толщиной и полиномом РПП 3-й степени (рис. 3): р =-0,298; а = 11,1;
Р2 = 0,038; п0 = 1, 64322 ;
стях линзы:
л = -4J602
л = -в, Ш
d=3M
П01 =-0,38745 -10-2; П02 =-0,18639 -10-3; П03 = 0,16994 -10-4; nz = 1,60049.
Рис. 3. Геометрические параметры линзы 3
Аналитический результат: /' = -4,074; 8/' =-9,435. Численный результат (т = 7):
/ = = -4,074; Б/'= ^ = -9,435; а3 а3
¡1 = (На - Ив) = 4,07395;
/2 = п2 (Н2а22 - к2р22) = 4,07390;
А/ = /1 -12 = 0,000048.
При т = 6 А/ = 0,0007298; т = 5, А/ = -0,000891. Линза 4. Положительная двояковыпуклая линза (рис. 4):
р = 0,038; П02 =-0,75 -10-2;
р2 =-0,092; п03 = 0,52063 -10-3;
п0 = 1,67; й = 3,5;
П01 = 0,76794 -10-1; п, = 1,86923.
Рис. 4. Геометрические параметры линзы 4
Аналитический результат: / ' = 9,818; Б/ = 9,320. Численный результат (т = 10):
/ = 9,818; Б/ = 9,320;
¡1 = (На -МД) = -9,81797;
12 = п, (Н2а22 - ¿2^22 ) = -9,81762; А/ = ¡1 - ¡2 =-0,000354.
При т = 9 А/ = 0,0009097; при т = 8 М = -0,002335; при т = 7 А/ = 0,005938.
Линзы с радиальным РПП
Линза 5. Отрицательная двояковогнутая линза (рис. 5): р =-0,08883;
р2 = 0,59959; ё=1,88; П00 = 1,72; пю = -0,08746.
Рис. 5. Геометрические параметры линзы 5
Аналитический результат: / ' = -7,821; Б/ = -6,970. Численный результат (т = 7):
/ = -7,821; Б/ = -6,970; /1 = (На - ¿в) = -1,00000; ¡2 = п, (Н2&22 - ¿2в22) = -1,000002417; А/ = /1 - /2 =-0,000002417.
Линза 6. Вогнуто-выпуклый мениск (рис. 6): р =-0,00526; П00 =1,80; р2 =-0,00845; п10 =-3,9767410 -10-4; ё = 12,63.
¿/--12,63
Рис. 6. Геометрические параметры линзы 6
Аналитический результат: /' = 79,389; Б/ = 78,926. Численный результат (т = 5): / = 79,392; = 78,929;
¡1 = (Н1а1 - Мв) = -1,00000;
¡2 = П00(Н2а22 - М22) = -0,99999806;
д/ = ¡1 - ¡2 =-0,00000194.
Линза 7. Линза Вуда (рис. 7): р =-0,00000; П00 = 1,6640; р2 = 0,00000; П10 = -7,5 • 10"3; а = 6,95.
Аналитический результат: / = 10,327; Б/ = 8,160. Численный результат (т = 7): / = 10,327; 8/ = 8,160;
¡1 = (Н1а1 - Мв) = -1,00000;
¡2 = П00(Н2а22 -М22) = -1,00000514;
д- = ¡1 - ¡2 = 0,00000514.
г1 = оо ■ У у '/< >/' у 4 ^ ^ '' * / ^ ^ / С Z/Z ^ ^
d = 6,9 5
Рис. 7. Геометрические параметры линзы 7
Таким образом, установлено, что в случае осевого РПП в линзе на количество коэффициентов ряда, представляющего высоту луча и угол луча с оптической осью, влияет толщина линзы и характер РПП. С увеличением толщины линзы при значительной нелинейности РПП для сохранения точности расчета необходимо увеличить количество коэффициентов ряда. Так, для линз 1 и 2 достаточно представить функции высоты и угла луча рядом по координате 2 до 3—4-й степени, при увеличенной толщине потребовалось увеличить степень ряда до 7-й, а при РПП с выраженной нелинейностью РПП — до 10-й степени.
Для радиального РПП на количество коэффициентов разложения (т = 5.. .7) влияет значение градиента показателя преломления (модуль коэффициента п10).
Статья поступила в редакцию 16.10.2012
