Алгоритм расчета зейделевых аберраций для оптической среды с распределенным показателем преломления Текст научной статьи по специальности «Физика»

Сведения об авторах

— д-р техн. наук, профессор; Московский государственный университет геодезии и картографии, кафедра оптико-электронных приборов; E-mail: doctortarasov@ yandex.ru

— д-р техн. наук, профессор; Московский государственный университет геодезии и картографии, кафедра оптико-электронных приборов; E-mail: yakush@miigaik.ru

Поступила в редакцию 30.08.11 г.

УДК 535.317

А. Л. Сушков

АЛГОРИТМ РАСЧЕТА ЗЕЙДЕЛЕВЫХ АБЕРРАЦИЙ ДЛЯ ОПТИЧЕСКОЙ СРЕДЫ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ ПРЕЛОМЛЕНИЯ

Рассмотрен аппарат расчета хода параксиальных лучей в осесимметричных неоднородных оптических средах с изменением показателя преломления по трем координатам. На примере линзы со сфероконцентрической неоднородностью показателя преломления показана практическая возможность расчета параксиальных отрезков и коэффициентов аберраций третьего порядка оптической системы с неоднородными линзами.

Ключевые слова: неоднородный показатель преломления, коэффициенты аберраций, линза со сфероконцентрическим градиентом показателя преломления.

Известные численные методы расчета хода реальных лучей через осесимметричные неоднородные среды связаны с решением дифференциальных уравнений второго порядка [1]. При этом анализ влияния коэффициентов полинома, описывающего распределение показателя преломления (РПП), и толщин градиентных линз на аберрации оптической системы затруднен из-за большого объема вычислений.

Цель настоящей статьи — продемонстрировать возможность введения в инженерную практику универсального алгоритма расчета хода параксиальных лучей и коэффициентов аберраций третьего порядка систем, включающих неоднородные оптические элементы.

Теория аберраций третьего порядка неоднородного оптического элемента не позволяет точно оценить величину аберрации, но обеспечивает получение намного большего объема информации относительно влияния поверхностей линз и неоднородных оптических сред на аберрации третьего порядка.

Как известно, теория аберраций третьего порядка позволяет вычислить величины углов наклона и высоты первого и второго вспомогательных лучей. Для однородных систем формулы расчета коэффициентов аберраций третьего порядка широко применяются в программах анализа оптических систем [2, 3].

В работах [4—6] представлен аппарат расчета аберраций третьего порядка, построенный на вычислении параметров первого и второго вспомогательных лучей, проходящих через однородные и неоднородные осесимметричные оптические среды с произвольным законом распределения показателя преломления.

Условием расчета коэффициентов аберраций в системе координат OXYZ, где ось Z — оптическая ось, является наличие известной функциональной зависимости углов наклона и высот первого и второго вспомогательных лучей в неоднородных средах.

Виктор Васильевич Тарасов Юрий Григорьевич Якушенков

Рекомендована кафедрой оптико-электронных приборов

В работе [5] функции высот и углов представлены в виде числовых рядов по координате z, которые обозначим через h(z), H(z) и a(z), P(z). В неоднородной среде угол наклона луча является производной от функции высоты луча: a(z) = h (z) и в(z) = H (z) .

Согласно [4, 6] параксиальная высота y(z) произвольного луча может быть записана в виде линейной функции через его высоту на предмете (T) и входном зрачке (Q):

y (z) = h (z) Q + H (z) T, (1)

где Q и T — нормированные координаты луча в плоскости входного зрачка и плоскости предмета.

Ход первого и второго вспомогательных лучей в системе координат, отнесенной к первой поверхности линзы, показан на рис. 1.

Т

Рис. 1

В общем случае функция РПП оптической среды представляется в виде степенного ряда [5]

п( г, у) = Щ (z) + щ (z) у2 + «2 (z) у4 +..., (2)

где коэффициенты По (г), г), г), в свою очередь, также представлены степенными рядами:

n0(z ) = n00 + n01z + n02z + ..., n1( z ) = n10 + n11z + n12 z 2 + ....

(3)

п2( г) = п20 + п21г + п22г + •••

Контроль сходимости каждого из степенных рядов (3) производится путем сравнения величин параксиального инварианта I для каждой поверхности оптической системы. Обобщенный параксиальный инвариант I для к-й поверхности определяется как

1 = пк (нкак - Ик Рк ), к = 1 Р. (4)

Для первой и второй производных функции высоты луча у(г) (см. формулу (1)) справедливы выражения

у (г ) = И (г )0 + Н ( г ) Т, у ( г ) = И ( г) 0 + Й ( г ) Т . (5)

Дифференциальное уравнение для хода луча [5] в меридиональной плоскости в системе координат, отнесенной к предмету, имеет вид

1 + у2 )у + п(г, «у-(1 + у2 ))£» = о, (6)

дг ду

где £ = у2.

Подстановка уравнений (5) в выражение (6) с исключением величин высшего порядка малости позволяет получить общую запись уравнения для обоих вспомогательных лучей.

Для первого вспомогательного луча приу(2)=к(2) выражение (6) преобразуется к виду

2) («00 + «012 + «0222 + •••) + к(2)(«01 + 2«012 + •••) - 2к(2) («10 + «112 + «1222 + •••) = 0 • (7)

С учетом того, что уравнение (7) должно удовлетворяться для всех Q и Т, коэффициенты при них (в силу независимости величин Q и Т) должны быть равны нулю [5]

Решение (7) получено при представлении функции высоты луча Ъ(2) в виде ряда

( 2

ВД =Е Ау2У = А0 + А12 + А22 + •••, (8)

у=0

где А0 и А1 определяются высотой луча и углом его наклона к оптической оси на входе в неоднородную среду •

Первая и вторая производные функции высоты луча Ъ(2) определяются как

к(2) = I (у +1)Ау+12у= А1 + 2А22 + 3А322 + •••,

у=0

(

к(2) = I (у + 2)(у +1)Ау+22У = 2А2 + 6А32 + 12А422 + •••

у=0

Подставив выражения (9) в уравнение (7), получим

(9)

( г (

I (V + 2)(у + 1) Ау+2 2У [«00 + «012 + «022 ] + I (у + 1) Ау+^У [«01 + 2^22] -

у=0 v=0

-2 I Av2V[иl0 + «112 + «12 22 ] = 0 • (10)

v=0

Приравняв коэффициенты различных степеней в тождестве (10) к нулю, получим в общем случае рекурсивное соотношение для Ат:

Гт-1

Ат = \ I [2 Л-2«1,т^ - v(v -1) - (v - т +1)(v - 1)Л-1«0,т^+1 ] -

-(т -1)Ат-1«01 + Ат-2«10 }/т(т -1)«00 • (11)

После задания показателей преломления по формулам (3) вычисляются коэффициенты Ат и определяются степенные ряды для высоты любого параксиального луча^

Угол преломления луча определяется по известным формулам параксиальной оптики однородных сред с учетом кривизны поверхности и с использованием величин «00 и «00 в

качестве показателей преломления^

Для проверки сходимости рядов (8) и (9) для каждой поверхности по формуле (4) вычисляется параксиальный оптический инвариант Если значения инвариантов идентичны, то ряды сходятся и расчет продолжается^ При несовпадении значений инвариантов необходимо увеличить точность расчета путем введения большего числа членов в разложении к(2).

В системе координат, отнесенной к поверхности линзы, для коэффициентов аберраций третьего порядка осесимметричной неоднородной оптической системы выражения известны [7] Коэффициенты аберраций являются суммой двух составляющих, обусловленных преломлением луча на поверхности ( ) и прохождением луча через неоднородную среду ( 8 * ):

Si = 8 * + %, (12)

где Si, i = I.. .V, — коэффициент аберраций третьего порядка оптической системы: 8 — сферическая аберрация, 811 — кома, £ш — астигматизм, — кривизна поля изображения, ¿V — дисторсия^

Формулы для вычисления составляющей 8 * имеют следующий вид:

^ = Е(к + КкИ4); к=1

- р

= Е

к=1

= Е

к=1

ИкРк

ИкРк

(

5ту = - Е

к=1

к

к )

^5ак )

\

+КИ Нк

+ КкИ2к Й2к

- р

= Е к=1

V Гк )

г

ИкРк

V

5а к

к

+ +

5(а кщк) Ик пкпк+1

5Рк

5а I

45п1, к 5 по, к Кк =-+ ——

Рк =

Гк

Гк

'5а* ^ 5^к

+ КкЬЩ

1

5(ак^к), ^к =—; пк

(13)

5ак = ак-ак, 5Рк = Рк -Рк;3 = -п1(^1-5п)а1Рь 51 * 3 = -п1И1Ръ 51 = ^

где 51, 5п — расстояние от первой поверхности до предмета и входного зрачка оптической системы; а к, Рк ак, Рк — величины углов падения и преломления первого и второго вспомогательных лучей для к-й поверхности; Ик, Йк — высоты первого и второго вспомогательных лучей на поверхности с радиусом кривизны Гк; Рк Кк — коэффициенты, учитывающие соответственно однородную и неоднородную природу оптической среды.

Составляющая к определяется следующими интегральными выражениями, где интегрирование ведется в пределах от 0 до ё (ё — толщина линзы):

5т = Е

к=

4 = Е

А(по,кИк ак)- {((к+1Ик+1 + 4п1,к+1Ик+1а 2+1- по,к+1а 4+1)

к=1 +

р

-И8п2,к +1Ик+1Йк+1 +

А (о,кИк а ¿Рк) 2п1, к+1Ик+1а к+1 (Ик+1Рк+1 + Й к+1а к+1)- по,к+1а к+1Рк+1)^

к=1 +

= Е А(по,кИкакР2 ) - {(8п2,к+1И2+1Йк+1 + 4п1, к+1Ик+1 Йк+1а к+1Рк+1 - по, к+1а к+1в2+1)

^ =-2 Ф.,

к=1 по,к +1

= Е

к=1 +

- I ( 8п2,к+1Ик+1Йк+1 +

А(по,кИкР3) -{О

2п1, к+1Йк+1рк+1 (Ик+1рк+1 + Й к+1а к+1)- по, к+1а к+1рк+1)

(14)

где А — разность значений выражений в скобках, соответствующих параметру луча перед преломлением на второй поверхности и после преломления на первой поверхности.

При подстановке значений высот и углов наклона лучей (см. формулы (8), (9)) в систему уравнений (13) получаем значения составляющей , а при численном интегрировании

функций углов и высот — составляющей ^.

В сферической системе координат линейное сфероконцентрическое распределение показателя преломления согласно [8] имеет вид

П (г -р) = пр0 +пр1 (г -р), (15)

где пр0 — показатель преломления материала неоднородной среды в центре сферической системы координат, г — радиус сферического РПП, р — сферическая координата, пр1— линейный коэффициент РПП.

После подстановки значений г в формулу (15) получаем

п(Р) = Пр0,пр + Пр1,прР .

В последующих формулах для упрощения записи под величинами Про, Пр1 будем понимать их приведенные значения.

При переходе из сферической системы координат в прямоугольную, отнесенную к первой поверхности линзы, согласно [8] имеем

1113

П00 = Пр0 , П01 = Пр1, П10 = -Пр1 ^ П11 = Пр1 —2 , П20 = Пр1 —^ П21 = Пр1 —Г . н н р 2г у 2г2 8г3 8г

Показатель преломления на оси г на выходе из неоднородной среды линзы определяется по формуле

Пг = П00 + П0.

Неоднородный ПП задается полиномом (2), где функции П0( г), П1(г), П2(г) представляют собой линейные зависимости:

П0 (г) = П00 + П01г , П1 (г) = П10 + П11г , П2 (г) = П20 + П21г .

Угол преломления луча на поверхности вычисляется по известной формуле для однородных сред:

1

И^ (П- П ) + аП

п'

а' = —Я-, (16)

где Я — радиус кривизны поверхности линзы.

Поскольку коэффициенты А0= И1, А1= -а2 (см. формулу (8)), для коэффициентов полиномов высоты луча и угла его наклона согласно (11) получим

А = 2 Л П10 - А1П01 А = А1П10 + Л П11 - А2 П01 А = 2 А2 П10 - 2 А1П11 - 9 А3 П01 2П00 ' 3П00 ' 12П00 '

А3 П10 - А2 П11 - 8 А4 П01 и т д

А5 =-и т. д.

10П00

Высота И2 луча на второй поверхности согласно формуле (8) и угол а 2 на выходе из неоднородной среды согласно формуле (9) определяются полиномами

h2 = Ao + А^й + A2 d2 + Aз d3 + A4 d4 + A5 d5, а 2 = -(A1 + 2 A2 d + 3 A3 d2 + 4 A4 d3 + 5 A5 d4 ).

(17)

Угол осевого луча в пространстве изображений согласно выражению (16) вычисляем по формуле

аз = -^) + а2^ .

Заднее фокусное расстояние и задний фокальный отрезок линзы рассчитываются по известным зависимостям: /' = /аз и э'р' = А2 / аз.

Расчет высоты второго вспомогательного луча осуществляется по формулам (17) с заменой коэффициентов Ау на Бу:

ю о

Н(z) = £ В^ = В0 + В^ + В^2 +... (18)

у=0

при следующих исходных данных: Н1=эп, р1=1; коэффициенты В0, В1, В2 и т.д. вычисляются по формуле (18), при этом В0=Н1, В1= -р2.

Значения параксиального инварианта для первой и второй поверхностей вычисляются

как

11 = п1 ((а1 - ) , 12 = п2 (Н2а2 - h2p2 ) , Функции углов и высот представляются полиномами

а2 (z) = -(А1 + 2А2z + 3А3z2 + 4А4z3 + 5А5z4 +...),

Н2 (z) = А0 + А1 z + А2z2 + А3z3 + А4z4 + А5z5 +...;

Р^ ) = -(В1 + 2 В2 z + 3В3 z2 + 4 В4 z3 + 5В5 z4),

Н (z ) = В0 + В1 z + В2 z2 + В3 z3 + В4 z4 + В5 z5.

Подстановка формул (19) и (20) в интегральные выражения (14) и численное интегрирование позволяют получить численные значения коэффициентов аберраций ^. ,5у.

Рассмотрим пример расчета коэффициентов аберраций 51 и Бц одиночной линзы с линейным сфероконцентрическим РПП. Расчет производился при следующих параметрах линзы (рис. 2): г=12,792 мм, =12,792 мм, Щ2= 197,706 мм, d=1 мм, пр0=1,65, пр1=0,031551 мм-1, 5П=0,/'=20,00 мм, ¿>=19,3 76 мм.

(19)

(20)

Рис. 2

В результате расчета углов наклона и высот первого и второго вспомогательных лучей по формулам (19), (20) при исходных а1=0, р1=1, /' получим:

изв. вузов. приборостроение. 2012. т. 55, № 5

а2 =0,615964, р2 = 0,594224, И2=19,376600,

аэ=1,000000, Рэ= 1,001287, Н?=-0,600180. Значения параксиальных инвариантов для первой и второй поверхностей:

¡1= -20,001824, ¡2 = -20,001825. Расчет коэффициента 81. Для однородной и неоднородной сред коэффициент (см. выражения (13)) рассчитывается соответственно как

8' = И1Р1 + и р?; % = кИ + К2 и?4,

где

к 4П10 + П01 к 4(П10 + П11г) П01 К =--1--;г, К =----— .

1 Я я? Я2 Я22

Согласно выражениям (14) для составляющей коэффициенты вычисляются следующим образом:

й

= ПгИ2а? - П2И1а2; 81,2 = I П0 (г)а4 (г)йг ;

0

= |-4п1 (г)И2 (г)а2 (г)йг, = |-8п2 (г)И4 (г)йг . 00 По суммарному значению коэффициента определяемому как

81 = 81 + + 81,1 + 81,2 + 81,3 + 81,4 ,

вычисляется величина продольной сферической аберрации для края зрачка диаметром 5 мм:

1 ?

Аs ' = - ?1§2 иБ1, Дя ' =0,000 мм,

где и — апертурный угол линзы в пространстве изображений.

Расчет коэффициента 8ц. Для однородной среды коэффициент

й = И, Р, ^ + И? р

Аа1 Аа2

для неоднородной —

Б" = К1И3 Н + К? И? н 2.

Для составляющей 81 к коэффициенты рассчитываются как

8ПД = ПгИ2а2р2 - п2И1а2в2;

% = IП0 (г)а3 (г)в(г)йг ;

0

811,3 = 1-2П1 (г )И (г )а(г )[И (г )р(г ) + Н (г )а(г )] йг,

0

й 3 8ц,4 = I -8п2 (г)И3 (г)Н (г)йг .

0

Суммарная величина коэффициента 8[[:

8П = 811 + 8П + + 811,2 + 811,3 + 811,4 .

Таблица 1

Коэффициент Si Коэффициент Sn

S' = 28,072 Si'' = -0,744

Si' = -27,182 Si" = -0,114

S'j = 0,606 Snj =0,203

Si2 = 0,254 S'i,2 =0,244

Si3 = 0,776 Sn3 = 0,366

Si4 = -2,527 Sn4 = 0,039

S' = 0,000 Sn = -0,004

Анализ составляющих коэффициентов SI и Su, приведенных в табл. 1, показывает, что исправление сферической аберрации произошло за счет взаимной компенсации коэффициентов SI, SII, имеющих разные знаки, а исправление комы — за счет компенсации коэффициентов S¿, S¿ и Sn i, Su2, Sn3, Sn4 . Суммарные величины коэффициентов SI и SII имеют

близкие к нулю значения, что свидетельствует об апланатической коррекции аберраций. Результаты расчета в программной среде OPAL продольной ( As ') и поперечной ( Ay ') сферической аберраций, а также отклонения от условия изопланазии (п) неоднородной и однородной линз приведены в табл. 2 и 3.

_Таблица 2

m3p, мм AS ,мм Ay ', мм П, %

2,500 -0,0014 -0,0001 -0,0072

2,165 -0,0007 -0,0000 -0,0041

1,767 -0,0003 -0,0000 -0,0018

1,250 -0,0000 -0,0000 -0,0005

0,000 0,0000 0,0000 0,0000

Таблица 3

тзр, мм As ' ,мм Ay', мм П, %

2,500 -0,2306 -0,0279 -0,0950

2,165 -0,1724 -0,0180 -0,0682

1,767 -0,1145 -0,0097 -0,0435

1,250 -0,0571 -0,0034 -0,0208

0,000 0,0000 0,0000 0,0000

Анализ табл. 2 и 3 показывает, что наличие линейной сфероконцентрической неоднородности показателя преломления линзы в области первой поверхности позволяет в 150 раз уменьшить сферическую аберрацию и более чем в 10 раз уменьшить отклонение от условия изопланазии.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Вычислительная оптика: Справочник / М. М. Русинов, А. П. Грамматин, П. Д. Иванов и др.; Под общ. ред.

М. М. Русинова. Л.: Машиностроение, 1984.

2. Инструкция к пакету программ OPAL [Электронный ресурс]: <www.aco.ifmo.ru>.

3. Инструкция к программе Zemax [Электронный ресурс]: <www.zemax.com>.

4. Buchdahl H. A. Optical Aberration Coefficients. N.Y., Douver, 1968. P. 1—18.

5. Moore D. T. Design of singlets with continuonsly varing indices of refraction // JOSA. 1971. Vol. 62, N 7.

P. 886—894.

6. Sands P. J. Third-order aberrations of inhomogeneous lenses // JOSA. 1970. N 60. P. 1436.

72 И. В. Гончар, А. С. Иванов, В. В. Манухов, А. Б. Федорцов

7. Сушков А. Л. Монохроматические аберрации граданов как базовых элементов жестких эндоскопов: Учеб. пособие. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2008.

8. Сушков А. Л. Параметры сфероконцентрического распределения показателя преломления в сферической и прямоугольной системах координат // Изв. вузов. Приборостроение. 2009. Т. 52, № 12. С. 54—60.

Сведения об авторе

Александр Леонидович Сушков — канд. техн. наук, доцент; Московский государственный технический

университет им. Н. Э. Баумана, кафедра оптико-электронных приборов научных исследований; E-mail: ale-sushkov@yandex.ru

Рекомендована кафедрой Поступила в редакцию

оптико-электронных приборов 10.03.10 г.

научных исследований

УДК 537.311.322

И. В. Гончар, А. С. Иванов, В. В. Манухов, А. Б. Федорцов

АВТОМАТИЗИРОВАННЫЙ БЫСТРОДЕЙСТВУЮЩИЙ

ЛАЗЕРНЫЙ ИНТЕРФЕРОМЕТР ДЛЯ КОНТРОЛЯ ТОЛЩИНЫ ПРОЗРАЧНЫХ ПЛЕНОК

Изложены принципы интерферометрических измерений толщины прозрачных полупроводниковых и диэлектрических слоев. Приведено описание модернизированного интерферометра: его оптико-механический тракт, электронная схема и программное обеспечение. Представлены математическое обоснование принципов измерения и электрическая схема регистрации сигнала; описана программа обработки данных на ПК.

Ключевые слова: тонкая пленка, интерферометр, лазер, оптическая схема, обработка сигнала.

Введение. В настоящее время для контроля толщины слоев и пленок, прозрачных в видимой или инфракрасной областях спектра, широко используются лазерные интерференционные методы [1 — 3], позволяющие проводить измерения для большинства полимерных, диэлектрических и полупроводниковых материалов. В основу этих методов положена интерференция лучей, один из которых отражается верхней поверхностью пленки (слоя), а другой — нижней.

Коэффициент отражения излучения пленкой, вследствие интерференции лучей внутри нее, зависит от соотношения между оптической толщиной пленки и длиной волны X зондирующего излучения. Оптическая разность хода А при прохождении луча через тонкую прозрачную пленку определяется как

А = 2d\jn2 - sin2 0 , (1)

где d — толщина исследуемого образца пленки; n — оптический показатель преломления материала образца; 0 — угол падения лазерного луча на образец.

Когда оптическая разность хода А между двумя отраженными лучами составит целое число длин волн, коэффициент отражения света пленкой будет максимальным. Иначе говоря, в отраженном свете будет наблюдаться интерференционный максимум. Если теперь подсчитать число интерференционных максимумов m, периодически возникающих при изменении угла падения светового луча на образец от 01 до 02, то толщину пленки можно определить по формуле [3]