CC BY
30
УДК 621. 391
DOI: 10.17586/0021-3454-2017-60-8-764-769
АНАЛИТИЧЕСКОЕ УСЛОВИЕ ИСПРАВЛЕНИЯ СФЕРИЧЕСКОЙ АБЕРРАЦИИ В ЛИНЗЕ С ОСЕВОЙ НЕОДНОРОДНОСТЬЮ ПОКАЗАТЕЛЯ ПРЕЛОМЛЕНИЯ
А. Л. Сушков1, С. А. Гусев2
Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана, 105005, Москва, Россия E-mail: ale-sushkov@yandex.ru
ЗАО „Гринекст", 197198, Санкт-Петербург, Россия
С целью исправления сферической аберрации предлагается использовать осевое распределение показателя преломления в стеклянной линзе. Обоснована требуемая функция распределения показателя преломления по поверхности линзы, обеспечивающая исправление сферической аберрации при удаленном предмете для различных относительных отверстий линзы. Показано определяющее значение углового коэффициента наклона осевого распределения показателя преломления при исправлении сферической аберрации. При изготовлении оптических элементов с лучшими светопередающими характеристиками перспективно использование градиентных сред.
Ключевые слова: линза, осевая неоднородность показателя преломления, сферическая аберрация
Традиционно линзы изготавливают из однородного стекла со сферическими поверхностями. Хотя сферические поверхности обладают не лучшими коррекционными возможностями, их достоинством является хорошо развитая технология изготовления. Асферические поверхности позволяют создавать более совершенные оптические конструкции, но они требуют освоения специальных технологий, которые не всегда доступны на производстве.
В ряде теоретических работ [1—5] показана перспективность применения линз с неоднородным по поверхности показателем преломления (1111) — это позволит совместить преимущества асферических линз в исправлении аберраций и достоинства технологии изготовления сферических поверхностей [6, 7].
Однако еще не в достаточной мере изучен вопрос о необходимой функциональной зависимости изменения 1111. Обычно рассматривают линейный закон при осевом и сфероконцен-трическом распределении 11 и параболический или полиномиальный (как развитие параболического) — при радиальном распределении [8].
Целью настоящей статьи является обоснование необходимой функциональной зависимости изменения 1111 по поверхности линзы для наилучшего исправления аберрации. В качестве исправляемой аберрации будем рассматривать сферическую, обладающую наглядностью и являющуюся важнейшей для получения высокого качества изображения по всему полю изображения. Рассмотрим плосковыпуклую линзу с параметрами согласно рис. 1 (Я — радиус кривизны поверхности линзы, I — стрелка прогиба поверхности по лучу А, щ — значение 1111 в вершине поверхности линзы, п0 — значение 1111 в начале неоднородной зоны по ходу луча, и' — апертурный угол в пространстве изображений, э' — расстояние от вершины поверхности до заднего фокуса линзы, с1 — толщина линзы, й\ — толщина однородной зоны линзы).
Для изменения 1111 по всей поверхности его осевая неоднородность должна присутствовать в пределах стрелки прогиба поверхности.
На рис. 2 показано прохождение двух лучей в линзе из осевой точки предмета, находящегося на бесконечности. Луч А находится на высоте к от оптической оси, луч В — параксиальный.
Луч А и '=0
O
F' ^
Рис. 2
Для треугольника CDF' имеем соотношения
(s ' +1 )2 + h2 = DF '2
Оптическая длина хода луча по оси z составляет [8, 9]
t
t = Jn (z)dz .
0
По теореме синусов имеем s' + R R
-=-, n sin i = sin i', ф = i, 0 = 180 - i', n sin ф = sin 0,
sin 0 sin u '
u' = 180-0-ф, sinu' = sin(0 + ф) , cos0 = a/1
Подставив (3) в (2) и проведя преобразования, получим
s' + R R
2 • 2 n sin ф .
n
n cos ф + sji - n2 sin2 ф
(1)
(2)
(3)
(4)
В параксиальной области ф ^ 0, ф = 0
s' + R R
nz nz -1
отсюда
s ' =■
R
nz - 1
(5)
Подстановка (5) в (4) и выполнение преобразований позволяет получить
V2 • 2
1 — П sin ф _ 1 1
п nz
или
nJ 1 — sin2 ф+\/1 — п2 sin2 ф 1
—---_1—, (6)
п nz
откуда
.2 _ _п±
п _■
— 2nz (nz — 1)c°s Ф + ( — 1)2
п
R -1 t
С учетом cos ф =-= 1--получаем формулу для 1111 по поверхности линзы по коор-
RR
динате z в пределах светового диаметра поверхности линзы (в пределах стрелки прогиба поверхности):
„2 = „ ypZ^Zi] t +1). (7)
Формула (7) позволяет рассчитать ПП на поверхности линзы, при котором обеспечивается гомоцентричность маргинального и параксиального лучей при положении предмета на бесконечности.
Формулу (7), учитывая (5), можно записать через s':
2 2 /1 2nzt n = n / I -— + 1
z
или, учитывая s' _ f',
V
f'
При t/f <<1 функцию (8) можно представить в виде ряда
2 _ n 2 1 ( 2nz< + Д (8)
n _ nz
n _ nz
( т 2 -¡г 3 -JC 4 . nz 3 nz 2 15 nz 3 35 nz 4 1--4 +--^rt2---ЩгГ +--Vt4 — .
'2 л r'3 <3 r'4
V
(9)
/' 2 /'2 6 /'3 8 /'4
Анализ (9) показывает, что в первом приближении распределение ПП является линейным. Формулу (9) запишем в виде полинома с коэффициентами п0г-
п( z) = п0 + п01г + п02 г2 + п03 г 3 + п04 г4 +...,
П01 = -?//', П02 = 2 п3//'2, П03 п\ //'3, П04 = 35 П? //'4. (10)
2 6 8
Отметим, что выражение (10) совпадает с приведенной в [6] формулой, полученной из теории аберрации 3-го порядка линзы с осевым распределением ПП.
Такая форма записи относится к системе координат, привязанной к вершине поверхности линзы. При расчетах реальных лучей систему координат по ходу луча обычно располагают последовательно в начале очередной оптической среды [10]. При подготовке задания на расчет с помощью ЭВМ знаки коэффициентов п0г- полинома (9) следует изменить на противоположные, а коэффициент п0 есть ПП в начале неоднородной оптической среды.
Для лучей А и В также выполняется условие таутохронизма. Оптическая длина хода луча А
R 2nn (nn — 1)
DF'_-J1 + nv n-1
nn — 1 V R
оптическая длина хода луча В
^ Г , л, г Г , л, Я Я I, 2п0 (п0 -1) Я Я СБ ' = } п( г)ёг + ^ ' = Г п( г )йг +-- =-- .1 + ^ 0 ; г--- +--;
0 0 п0-1 п0- ^ К п0-1 п0-1
ББ -СБ'=0.
Таким образом, в общем случае для исправления сферической аберрации маргинального луча линзы функция 1111 по оси 02 должна быть нелинейной и определяться формулой (8) или ее разложением в ряд (9).
В качестве примера выполнения условия (10) рассмотрим линзу с фокусным расстоянием = 20 мм, г1 = да, г2 = -10 мм, толщиной 2 мм, показатель преломления исходного стекла линзы п =1,5000 при различных относительных отверстиях 1:К = 1:2,8; 1:3,5; 1:7. По оси ординат откладывается Я2=(И/ткр)2.
Относительное отверстие 1:2,8 (ткр=Л=3,57 мм, г = 0,66 мм, й1 = 1,34 мм; аберрация однородной линзы Д? = -3,204 мм; п0 = 1,430893, п01 = 0,1125 мм , п02 = -0,012656 мм , п03 = 0,001582 мм_3, п04=_0,0002076 мм_4, Дп = пг - п0=0,069107). На рис. 3 представлена продольная аберрация линзы согласно табл. 1 (п01...п04).
Таблица 1
т/ткр Д? (п01 .п 04) Д? (пт...п03) Д? (п01 .п 02) Д? (п01)
1,00 —0,0005 0,001 —0,017 0,201
0,87 —0,089 _0,088 —0,106 0,095
0,70 _0,110 _0,109 _0,124 0,031
0,50 _0,076 _0,076 _0,085 0,001
0,00 0,000 0,000 0,000 0,000
К2
0, 750
0, 500
0, 250
_0,2 _0,1 0 0,1 0,2 Д?
Рис. 3
Относительное отверстие 1:3,5 (ткр=Л=2,85 мм, г = 0,42 мм, й1 = 1,58 мм, Д? = -1,898 мм, п0 = 1,455195, п01 = 0,1125 мм_1, п02 = _0,012656 мм_2, п03 = 0,001582 мм_3, п04=_0,0002076 мм_4, Дп = пг - п0=0,044805; см. табл. 2).
Таблица 2
т/ткр Д? (п01.«04) Д? (И01.И03) Д? (п01 .п 02) Д? (И01)
1,00 _0,0005 _0,0005 _0,00533 0,0823
0,87 _0,08943 _0,0894 _0,03922 0,0418
0,70 _0.1098 _0.1098 _0,04762 0,0156
0,50 _0,0763 _0,0763 _0,03365 0,0021
0,00 0,000 0,000 0,000 0,000
Относительное отверстие 1:7 (ткр=Л=1,40 мм, г = 0,103 мм, ё1 = 1,897 мм, Д? = -0,445 мм, п0 = 1,48859, п01 = 0,1125 мм_1, п02 = _0,012656 мм_2, п03 = 0,001582 мм_3, п04=_0,0002076 мм_4, Дп = п2 - п0=0,011; см. табл. 3).
Таблица 3
т/ткр as'(«0!...«04) As' («qi ...По3) As' («qi ...По2) As' (nol)
1,00 -0,0004 —0,0004 —0,0005 0,0048
Q,87 -0,0022 —0,0021 —0,0022 0,0027
0,70 -0,0027 -0,0026 -0,0027 0,0011
0,50 -0,0019 -0,0019 -0,0020 0,0003
0,00 0,000 0,000 0,000 0,000
На рис. 4 приведены графики функций n(z) для линзы 1:K=1:2,8 (1 — при линейном полиноме «i(z), 2 — полиноме 4-й степени — n(z), 3 — полиноме 2-й степени — «2(z)).
n 1,5 1,48 1,46 1,44 1,42
0 0,2 0,4 0,6 z
Рис. 4
Анализ формул (10), рис. 4 и данных табл. 1—3 показывает, что:
— в общем случае функция распределения 1111 является нелинейной (1:2,8) и приближается к линейной при уменьшении относительного отверстия линзы;
— значения коэффициентов «q1...«q4 одинаковы для различных относительных отверстий линзы, изменяется глубина неоднородной зоны стекла и начальное (по ходу луча) значение ПП;
— коэффициент nQ1 (угловой коэффициент наклона осевого распределения ПП) определяет исправление 3-го порядка сферической аберрации и является важнейшим параметром осевого распределения ПП, от которого зависят его коррекционные свойства.
список литературы
1. Sands P. J. Inhomogeneous lenses. IV. Aberration of lenses with axial index distribution // JOSA. 1971. Vol. 61, N 8. P. 1086—1091.
2. MarchandE. W. Gradient index lenses // Progr. Opt. 1973. Vol. 11. P. 307—337.
3. Koike Y. et al. Plastic axial gradient-index lens // Appl. Opt. 1985. Vol. 24, N 24. P. 4321—4325.
4. Moore D. T. Catadioptric system with a gradient index corrector plate // JOSA. 1977. Vol. 67, N 9. Р. 1143—1146.
5. Moore D. T. Gradient-index optics: a review // Appl. Opt. 1980. Vol. 19, N 7. P. 1035—1038.
6. Сушков А. Л. Исправление сферической аберрации третьего порядка в линзе асферизацией поверхности и введением осевой, радиальной и радиально-осевой неоднородности показателя преломления // Изв. вузов. Приборостроение. 2010. Т. 52, № 10. С. 54—62.
7. Сушков А. Л. Некоторые малоизвестные аберрационные свойства оптической поверхности // Инженерный журнал: наука и инновации. 2013. Вып. 7 [Электронный ресурс]: <http:// engjournal.ru/catalog/ pribor/828/html>.
8. Marchand E. W. Gradient index optics. N Y: Acad. Press, 1976. 166 p.
9. БорнМ., Вольф Э. Основы оптики / Пер. с англ. под ред. Г. П. Мотулевич. М.: Наука, 1970. 855 с. 10. Montagnino L. Ray tracing in inhomogeneous media // JOSA. 1968. Vol. 58, N 12. P. 1667—1672.
Александр Леонидович Сушков
Сергей Александрович Гусев
Сведения об авторах канд. техн. наук, доцент; МГТУ им. Н. Э. Баумана; кафедра оптико-электронных приборов научных исследований; E-mail: ale-sushkov@yandex.ru ЗАО „Гринекст"; инженер; E-mail: gs-a@ yandex.ru
Рекомендована кафедрой оптико-электронных приборов научных исследований
Поступила в редакцию 18.11.16 г.
Ссылка для цитирования: Сушков А. Л., Гусев С. А. Аналитическое условие исправления сферической аберрации в линзе с осевой неоднородностью показателя преломления // Изв. вузов. Приборостроение. 2017. Т. 60,
Axial distribution of the refractive index in glass lens is proposed as a mean for correction of spherical aberration. The function describing the refractive index distribution along the lens surface to correct the spherical aberration is derived for the case of remote object imaging at various relative aperture values. Angular coefficient of inclination of the axial distribution of refractive index is shown to be the decisive factor when correcting spherical aberration. The use of gradient media is supposed to be promising in the manufacture of optical elements with best light-transmission characteristics.
Keywords: lens, axial inhomogeneity of refractive index, spherical aberration
Data on authors
Aleksander L. Sushkov — PhD, Associate Professor; Bauman Moscow State Technical University; Department of Opto-Electronic Instruments for Scientific Research; E-mail: ale-sushkov@yandex.ru Sergey A. Gusev — GRINEXT Corp.; Engineer; E-mail: gs-a@ yandex.ru
For citation: Sushkov A. L., Gusev S. A. Analytical condition of correcting spherical aberration in the lens with axial inhomogeneity of the refractive index. Journal of Instrument Engineering. 2017. Vol. 60, N 8. P. 764—769 (in Russian).
DOI: 10.17586/0021-3454-2017-60-8-764-769
№ 8. С. 764—769.
ANALYTICAL CONDITION OF CORRECTING SPHERICAL ABERRATION IN THE LENS WITH AXIAL INHOMOGENEITY OF THE REFRACTIVE INDEX
A. L. Sushkov1, S. A. Gusev2
1Bauman Moscow State Technical University, 105005, Moscow, Russia E-mail: ale-sushkov@yandex.ru
2GRINEXT Corp., 195248, St. Petersburg, Russia
