CC BY
50
УДК 535. 317
А. Л. Сушков
ИСПРАВЛЕНИЕ СФЕРИЧЕСКОЙ АБЕРРАЦИИ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА В ЛИНЗЕ ВВЕДЕНИЕМ НЕОДНОРОДНОСТЕЙ ПОКАЗАТЕЛЯ ПРЕЛОМЛЕНИЯ
Рассмотрена возможность исправления сферической аберрации в одиночной линзе за счет применения осевой, радиальной и сфероконцентрической неоднородности показателя преломления. Проведено сравнение с результатами, полученными при асферизации поверхностью второго порядка.
Ключевые слова: сферическая аберрация, асферическая поверхность, радиальная осевая, сфероконцентрическая неоднородность показателя преломления.
В работах [1, 2] показана возможность улучшения характеристик оптической системы, в частности, увеличения апертуры и повышения качества изображения за счет асферизации поверхностей.
В последнее время в связи с бурным развитием оптики неоднородных сред, используемой в эндоскопостроении и согласующих элементах волоконно-оптических линий связи, актуальными стали вопросы применения неоднородности показателя преломления в линзах классических оптических систем. В первую очередь это относится к элементам малогабаритных оптических систем для телевидения, микророботов и др.
Рассмотрим вопросы влияния осевой, радиальной и радиально-осевой (сфероконцентрической) неоднородности показателя преломления на сферическую аберрацию линзы.
Для линзы с неоднородным показателем преломления справедливо соотношение [3]:
5 = ^ + 5, I = 1,2,3,4,5, (1)
где I — номер аберрации третьего порядка, — коэффициент 1-й аберрации, 51 определяется влиянием поверхности, а — неоднородностью среды.
В случае тонкой линзы величину вклада переноса можно принять достаточно малой и пренебречь ей при первичном анализе.
Из литературы [1, 2] известно, что коэффициент аберрации 51 однородной оптической системы с асферическими поверхностями второго порядка может быть представлен следующим образом:
51 = Еад + 1ВА4, (2)
к=1 к=1
где Вк = -35 п00к, 5п00к= п00к+1- п00к, Ьк — коэффициент деформации к-й поверхности, г —
Гк
радиус поверхности линзы, Ък — высота первого вспомогательного луча на поверхности линзы, Рк — поверхностный коэффициент, поо — показатель преломления оптической среды.
Для радиальной неоднородности показателя преломления п00 — показатель преломления на оси; для осевой неоднородности показателя преломления п00=п0 — показатель преломления в плоскости начала градиентной среды, задаваемой смещением системы координат Дг.
При всех типах неоднородного показателя преломления выражение для 51 имеет вид [3]:
S = zVk + IKA4. (3)
k=1 k=i
Коэффициент Kk определяется по следующим формулам:
— для осевой неоднородности показателя преломления ( n0 + n0i z )
ón
Kk = —01L, ónoik= noik+i - noik; (4)
rk
— для радиальной неоднородности показателя преломления ( n(y) = Поо + ЩоУ )
Kk = 45ni0k , óniok= niok+i - niok; (5)
rk
— для радиально-осевой (сфероконцентрической) неоднородности показателя
Kk = 45ni0k +ón0^, §noik= noik+i - noik, 5niok= niok+i - n^. (6)
rk rk
Анализ выражений (2) и (3) показывает, что за счет различных технологий можно получить близкий результат по исправлению сферической аберрации линзы. Более того, можно проводить предварительные расчеты с применением асферизации поверхности, а в дальнейшем по формулам, связывающим параметры асферической поверхности и неоднородной оптической среды, перейти к введению неоднородности показателя преломления.
Осевая неоднородность показателя преломления. Осевое распределение показателя преломления в области аберраций третьих порядков зададим полиномом:
n(z) = n00 + n0iz . (7)
Если последовательно вводить осевую неоднородность показателя преломления в область, прилегающую к первой или второй поверхности, то можно показать, что для коэффициента n0i справедливо соотношение
bk (n00 -i) k л2 (8)
n0ik =-, ¿=1,2, (8)
rk
В случае плосковыпуклой линзы для исправления сферической аберрации имеем при b2=-e2, где e — эксцентриситет асферической поверхности:
-g2 (n00 -1) (Q)
n01 =---1. (Q)
r2
Из (Q) можно получить условие обратного перехода от осевой неоднородности показателя преломления с коэффициентом n01 к асферической поверхности второго порядка с эксцентриситетом
e2 (10)
n00 -1
Для численного примера возьмем плосковыпуклую линзу с фокусным расстоянием 200 мм. Конструктивные данные линзы следующие: а=<х, r2= -100 мм, n00=1,5, толщина d = 5 мм.
Известно, что для исправления сферической аберрации третьего порядка асферизацией
22
второй поверхности должно выполняться условие e =n00 .
В табл. 1 приведены реальные значения аберрации точки на оси исходной однородной линзы (для /=200; s'F'=200; относительного входного отверстия 1:6,67; гзр=15 мм). Здесь и далее используются следующие обозначения: As ' — продольная сферическая аберрация, мм;
Ау' — поперечная сферическая аберрация, мм; W(X) — волновая аберрация, X — длина волны; m — относительная высота прохождения луча на входном зрачке.
Асферизация второй поверхности линзы гиперболоидом с эксцентриситетом e =2,25 позволила полностью исправить сферическую аберрацию по всему входному зрачку.
_Таблица 1
т Ау' у' Ж(к)
1,000 -5,13 -0,39 -13,08
0,866 -3,82 -0,25 -7,35
0,707 -2,54 -0,14 -3,26
0,500 -1,27 -0,05 -0,82
0,000 0,00 0,00 0,00
В табл. 2 приведены результаты расчета сферической аберрации линзы с осевой неоднородностью показателя преломления при вычисленном по формуле (9) значении коэффициента п01 (Аг=3 мм; п01=0,011 25; /=191,38; уУ=191,38; 1:6,31; гзр=15 мм) и ее значение после оптимизации (Аг=3 мм; п01=0,012 00; /=190,84; уУ=190,84; 1:6,31; гзр=15 мм). Отличие оптимизированной величины п01 от расчетной по формуле (9) составляет ^6,7 %.
Таблица 2
т Расчет по формуле (9) Результат оптимизации
АУ' у' Ж(Х) Ау' у' Ж(Х)
1,000 -0,302 -0,024 -0,883 -0,003 -0,0002 -0,072
0,866 -0,237 -0,016 -0,513 -0,015 -0,001 -0,058
0,707 -0,164 -0,009 -0,235 -0,019 -0,001 -0,034
0,500 -0,085 -0,003 -0,060 -0,013 -0,0005 -0,010
0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
Радиальная неоднородность показателя преломления. Радиальное распределение показателя преломления в области аберраций третьих порядков задается полиномом
п = п00 + п10 у2 + п20 у4- (11)
С учетом (2), (3), (5) обобщенная формула для коэффициента п10к имеет вид
=М^, 2. (12)
4Г
Легко показать, что для тонкой линзы оптическая сила Фгр, обусловленная наличием радиальной неоднородности показателя преломления, определяется соотношением
Фгр =-2пюй . (13)
Отсюда получаем
Ф.
п10 "
п10 (14)
После подстановки (14) в (12) будем иметь:
Ф =-2-кй (п00-1) (15)
®!Р 4г2
Из (15) видно, что знак оптической силы Фгр зависит от знака коэффициента -к:
Ф=Фодн +Фгр, (16)
где Фодн — оптическая сила однородной линзы, определяемая значением кривизны поверхностей линзы.
Оптическая сила, вносимая радиальной неоднородностью показателя преломления, положительна:
Ф _ п00 й(п00 -1) > 0 Гр _ 2г.2 '
(17)
Следовательно, применение радиальной неоднородности показателя преломления в отличие от асферизации поверхности приводит к изменению оптической силы исходной линзы.
Числовые данные сферической аберрации линзы после введения радиальной неоднородности (/ =189,43; ^ V'=189,34; 1:6,31; Гзр=15 мм; пш = -2,8125-10-5) по формуле (12) и ее оптимизации (/ =188,77; уУ=188,68; 1:6,31; гзр=15 мм; п10 = -3,0-10-5) приведены в табл. 3. Величина волновой аберрации при оптимизированном значении коэффициента п10 не превышает 0,1^.
Таким образом, введение радиальной неоднородности показателя преломления с положительной оптической силой позволило исправить сферическую аберрацию в одиночной линзе. Если в склеенном дублете исправление сферической аберрации достигается за счет совместной работы положительной и отрицательной линз, то в градиентном синглете положительный эффект получен за счет совместного действия двух положительных линз: однородной и радиально-градиентной.
Таблица 3
т Расчет по формуле (12) Результат оптимизации
ДУ у' Ж(Х) ДУ у' Ж(Х)
1,000 -0,306 -0,0241 -0,873 -0,014 -0,0010 -0,062
0,866 -0,232 -0,0158 -0,497 -0,015 -0,0010 -0,0416
0,707 -0,156 -0,0087 -0,223 -0,013 -0,0007 -0,0215
0,500 -0,079 -0,0031 -0,0565 -0,008 -0,0003 -0,0061
0,000 0,000 0,0000 0,000 0,000 0,0000 0,0000
Разница в значениях коэффициента п10 табл. 3 составляет 6,67 %.
Сфероконцентрическая неоднородность показателя преломления задается полиномом в сферической системе координат:
п(гё-р) _пр0 +пр1 (гё-р), (18)
где гё — технологический радиус формирования сфероконцентрической неоднородности показателя преломления, р — текущая координата показателя преломления на технологическом радиусе.
В общем случае значения радиуса поверхности линзы г и гё могут не совпадать.
При переходе к декартовой системе координат [4] имеем:
П00=Пр0, П01=Пр1, П10 Пр1 . (19)
2г„
Подставим Кк (см. формулу (6)) для первой и второй поверхностей в параметрах (19) и приравняем Кк к Бк .
Для первой поверхности линзы будем иметь:
К _
Г 1 2 1 Ь (П00-1)
Г1 ГГ
пр1 и п1р1 _"
1 - 2
Г Л
л
кг^1)
(20)
Пусть г1=гё1, тогда
п1р1 _-
¿1 (п00 -1)
(21)
Выполнив аналогичные подстановки в формулу для К2 второй поверхности, имеем:
=-
-2 (п00 -1)
'2р1
1-2
( \
II 2;
Пусть г2=гё2, тогда получаем
п2р1 =-
—2 (п00 -1)
В случае плосковыпуклой линзы для устранения сферической аберрации будем иметь:
4) (п00 -1)
п2р1 ="
2
(22)
(23)
(24)
Данные сферической аберрации линзы после выведения по формуле (24) неоднородности
(/=187,86; у р-187,69; 1:6,31; гзр=15 мм; п2р1 = -1,125 10 2) и ее оптимизации (/=186,74;
зр"
> Р 18/,69; ±:6,31; I зр
_2
у'Р'=186,55; 1:6,31; гзр=15 мм; п2р1 = -1,2-10 ) приведены в табл. 4.
Таблица 4
г
2
г
2
т Расчет по формуле (24) Результат оптимизации
АУ' у' Ж(Х) Ау' у' Ж(Х)
1,000 -0,306 -0,0241 -0,873 -0,017 -0,0010 -0,033
0,866 -0,232 -0,0158 -0,497 -0,009 -0,0006 -0,0014
0,707 -0,156 -0,0087 -0,223 -0,004 -0,0002 -0,0039
0,500 -0,079 -0,0031 -0,0565 -0,001 -0,0000 -0,0004
0,000 0,000 0,0000 0,000 0,000 0,0000 0,0000
Анализ формул (8) и (20), (22) показывает, что при переходе от сфероконцентрической к осевой неоднородности показателя преломления коэффициенты пр1 и п01 сохраняют абсолютное значение, но меняют знак. При г^Фгёк имеются множество промежуточных значений пр1 и, следовательно, широкие возможности по получению различных величин сферической
аберрации третьего порядка.
Полученные выводы подтверждаются данными табл. 4 и 2, показывающими, что при осевой неоднородности показателя преломления коэффициент п01>0. В противоположность этому при сфероконцентрической неоднородности показателя преломления коэффициент пр1<0. Следовательно, технологическая возможность получения убывающего или возрастающего изменения показателя преломления определяет выбор типа неоднородности — осевой или сфероконцентрической. Этот факт имеет важное значение при разработке технологии получения неоднородности показателя преломления.
Заключение. Анализ показал, что сферическую аберрацию третьего порядка можно исправить как асферизацией поверхности, так и введением осевой, радиальной или радиально-осевой неоднородности показателя преломления.
При асферизации параксиальные характеристики не изменяются. При введении осевой, радиальной и сфероконцентрической неоднородности оптическая сила линзы изменяется в небольших пределах. Выбор типа неоднородности показателя преломления связан с технологическими возможностями получения градиентной среды.
Хотя рассмотренный подход является приближенным, поскольку не учитывает вклада толщины линзы в коэффициент аберрации, он может быть полезным при оценке исходных параметров линзы с неоднородным показателем преломления. Проведенный анализ показал, что рассчитанные по формулам (9), (12), (24) значения коэффициентов п01, п10, пр1 для плосковыпуклой линзы отличаются от оптимизированных не более чем на 7 %.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Заказнов Н. П., Кирюшин С. А., Кузичев В. И. Теория оптических систем. М.: Машиностроение, 1992. 448 с.
2. Запрягаева Л. А. Свешникова И. С. Расчет и проектирование оптических систем. М.: Логос, 2000. 582 с.
3. Поспехов В. Г., Ровенская Т. С., Сушков А. Л. Свойства граданов в области аберраций третьего порядка // Изв. вузов. Приборостроение. 1989. Т. 32, №1. С. 63—69.
4. Сушков А. Л. Параметры сфероконцентрического распределения показателя преломления в сферической и прямоугольной системах координат // Изв. вузов. Приборостроение. 2009. Т. 52, № 12. С. 54—60.
Сведения об авторе
Александр Леонидович Сушков — канд. техн. наук, доцент; Московский государственный технический
университет им. Н. Э. Баумана, кафедра оптико-электронных приборов научных исследований; E-mail: ale-sushkov@yandex.ru
Рекомендована кафедрой Поступила в редакцию
оптико-электронных приборов 25.03.08 г.
научных исследований
