Коррекция кривизны поля изображения линзы с радиальной неоднородностью показателя преломления Текст научной статьи по специальности «Физика»

ОПТИЧЕСКИЕ И ОПТИКО-ЭЛЕКТРОННЫЕ ПРИБОРЫ И СИСТЕМЫ

УДК 535.317

А. Л. Сушков

КОРРЕКЦИЯ КРИВИЗНЫ ПОЛЯ ИЗОБРАЖЕНИЯ ЛИНЗЫ С РАДИАЛЬНОЙ НЕОДНОРОДНОСТЬЮ ПОКАЗАТЕЛЯ ПРЕЛОМЛЕНИЯ

Рассмотрены подходы к расчету линзы с минимизированной кривизной изображения в области аберраций третьего и высших порядков на основе применения неоднородной оптической среды с радиальным градиентом показателя преломления. Такая линза может быть использована с целью конструктивного упрощения компонента оптической системы для минимизации его габаритов.

Ключевые слова: линза, кривизна поля изображения, радиальный градиент показателя преломления.

Рассмотрим условие получения заданной величины кривизны поля третьего порядка (кривизны поля Петцваля) одиночной линзы в воздухе при наличии радиального градиента показателя преломления (1111).

В однородной линзе кривизна изображения в области Зейделя отсутствует (изображение плоское), если линза является мениском с поверхностями равной кривизны. Это следует из формулы [1]:

$Уе (1)

Г

1

где д = —, п — показатель преломления материала линзы, г — радиус кривизны поверхности п

линзы, — коэффициент Петцваля при естественной нормировке углов и высот первого и второго вспомогательных лучей.

При различных значениях кривизны поверхностей линзы изображение находится на поверхности с радиусом кривизны, определяемым из формулы [2]:

ЯГ = ~П , (2)

Яр 1

где / — фокусное расстояние линзы, п' — показатель преломления в пространстве изображений, Яр — радиус Петцваля, а коэффициент £:ук имеет каноническую нормировку (/"=1).

Естественная и каноническая нормировки коэффициента ¿¡у связаны следующим образом: 51ук = '.

Согласно формуле (1), для одиночной линзы имеем:

1

С 1 1 ^

%е = -(п -1)---• (3)

п V Г1 Г2)

Оптическая сила тонкой линзы определяется как

(1 Г

Ф = (п -1) - - - , (4)

откуда получим выражение:

V Г1 Г2

Ф

¿1Уе = -. (5)

п

Из (5) видно, что при /=1 коэффициент £]ук для тонкой линзы есть величина, обратная

показателю преломления п.

Из формулы (1) следует, что для сложных многолинзовых компонентов, содержащих к линз, формула (5) записывается в виде

¿1У =1^, (6)

пк

где Фк — оптическая сила к-й линзы.

Согласно выражению (6), в схемах объективов с плоским изображением необходимо присутствие как положительных, так и отрицательных линз. Радиальная неоднородность ПП, согласно работе [3], является дополнительным коррекционным параметром для получения в линзе заданной кривизны изображения.

Радиальное распределение ПП в линзе задается полиномом:

п(У) = п00 + п10 У2 + п20 У4 +..., где п00 — показатель преломления на оси линзы, п10, п20 — коэффициенты, определяющие свойства градиентной среды в области первого и третьего порядков.

Покажем, что, воспользовавшись формулами для коэффициентов аберрации третьего порядка градиентных оптических систем на начальном этапе синтеза линзы, можно получить заданное значение коэффициента ¿¡у =0 (в частном случае). Известно [3, 4], что для градиентной линзы

¿1Уе = ¿1Уе + ¿1Уе , (7)

где ¿¡уе — однородная составляющая, обусловленная величиной показателя преломления и оптической силой тонкой линзы, £:уе — составляющая, обусловленная наличием радиальной

неоднородности показателя преломления:

2 Ад п00 -1 ( 1 1 ^

1 гк п00

2пюй

о _ V ^ - 00 * 1 1 о _ ^-"10^ /оч

¿1Уе = , ¿1Уе = 2 , (8)

V Г1 Г2 )

п

2 00

где г1, г2 — радиус кривизны 1-й и 2-й поверхностей линзы, с1 — толщина линзы.

Линза с радиальной неоднородностью ПП может быть описана эквивалентной системой из двух элементов в воздухе: однородной линзой толщиной с1 с радиусами кривизны г1, г2 и плоскопараллельной пластинкой толщиной ё с градиентным ПП (линза Вуда).

Анализ в параксиальной области показывает, что поскольку оптическая сила градиентной пластинки с фокусирующим и рассеивающим распределением ПП определяется зависимостью Ф = -2пюй, то основной параметр тонкой линзы П можно представить в виде суммы:

П = П + П, (9)

где П, П — коэффициенты кривизны изображения л (по Г. Г. Слюсареву [1]) однородной линзы и градиентной плоскопараллельной пластинки:

П = —, П = -Ц-. (10)

п00 п00

Если градиентная среда является фокусирующей, т.е. п10<0 и Ф > 0, то для исправления кривизны Петцваля оптическая сила однородной линзы должна быть отрицательной. Использование условий (9) и (10) позволяет расширить возможности проектировщика по получению заданной величины кривизны поля в одиночной линзе.

Если воспользоваться соотношениями (7) и (8) для линзы малой, но конечной толщины, то для заданной величины получим соотношение кривизны поверхностей линзы:

1 1

^1Ук п00. + 2п10^

I'

п

00

(п00 -1)

(11)

Оптическую силу тонкой градиентной линзы можно рассматривать как сумму оптических сил, обусловленных кривизной поверхностей линзы и неоднородной составляющей показателя преломления:

Ф=Ф+Ф, (12)

где

(

Ф =

1 1

Л

V1

(п00 -1) +

(п00 -1) ^ г1г2п00 '

(13)

2 У

Ф = -2п10ё . (14)

После подстановки (13) и (14) в (12) и алгебраических преобразований совместно с уравнением (11) получаем формулу для коэффициента п10, при котором линза имеет заданную величину коэффициента :

Л „ Л

п00 -1

1

Я

1Ук

п10 =■

Г1 п00

У^(П)0 -1) 1 I Г1 а(п00 -1)

1

п

00

п

00

2й

г1п00

(15)

Я

1Ук •

Формула (15) дает первое приближение в расчете заданной величины коэффициента Точность ее повышается с уменьшением толщины линзы.

В качестве примеров приведем результаты введения в исходно однородную линзу радиальной неоднородности 1111 с целью исправления кривизны поля.

В табл. 1—9 приведены конструктивные данные линз с различной конфигурацией поверхностей, их фокусные расстояния и величины астигматических отрезков 7т, 7Я (здесь ю, у' — угловое и линейное поле в пространстве предметов и изображений). Рассматриваются исходная однородная линза, линза с исправленной кривизной третьего порядка (15) и линза, кривизна поля высших порядков которой минимизирована оптимизацией кривизны поверхностей, толщины линзы, коэффициента п10 и положения входного зрачка яр.

Пример 1. В табл. 1 приведены конструктивные параметры и аберрации исходной однородной линзы — положительного мениска с фокусным расстоянием 1=20 мм. Входной зрачок расположен справа от первой поверхности на расстоянии Sp=3,0 мм; ¿=0,000 мм-1 — фокусирующая константа; г1=8,000; г2=21,75; ё=2; п00=1,6; п10=0,00 мм-2.

Таблица 1

ю, у', мм 7'т, мм 7 Я, мм

-8,2850 3,00 -0,5832 -0,2822

-6,0208 2,12 -0,2966 -0,143

0,000 0,00 0,0000 0,0000

На краю поля линза %е = 0,029633, %к = 0,59267.

имеет значительные астигматические отрезки

7' 7'

^ т1 ^ я

В табл. 2 приведены характеристики линзы после введения в ПП градиента по формуле (15). Линза имеет конфигурацию поверхностей „отрицательный мениск". Параксиальные параметры: фокусное расстояние /=19,41 мм; ^ ^-=16,44 мм; входной зрачок на расстоянии sp=3,0 мм; г = 0,176 мм-1; Г1=8,000; Г2=4,382; ё=2; п00=1,6; пш=-2,477-10-2 мм-2; ¿1Уе =8,575 10-6, %к=1,665 10-4.

Таблица 2

ю, У', мм 1' т, мм 1', мм

-8,4301 3,000 -0,3561 -0,1191

-6,1239 2,121 -0,1816 -0,0607

0,0000 0,000 0,0000 0,0000

В табл. 3 приведены параметры линзы после оптимизации: конфигурация линзы — „отрицательный мениск": /=19,59 мм; заднее вершинное фокусное расстояние ^ V =16,273 мм; Sp=3,0 мм; г = 0,165 мм-1; п=6,3736; Г2=4,044; ё=2; п00=1,6; пш=-2,169-10-2 мм-2.

Таблица 3

ю, У', мм 1' т, мм 1'' мм

-8,3833 3,0 -0,0258 -0,0079

-6,0922 2,12 -0,0168 -0,0046

0,0000 0,00 0,0000 0,0000

Из табл. 3 видно, что исправлены третьи и высшие порядки астигматизма и кривизны поля изображения, =3,355 10-6, ¿¡Ук =6,573 10-5.

Пример 2. В табл. 4 приведены параметры исходной двояковыпуклой однородной линзы, и ее параксиальные характеристики: / = 174,73 мм; ^ V =167,725 мм; 5р=3,0 мм; г = 0,000 мм-1; П=99,7800; Г2=-674,008; ё=12; п00=1,5; пш=0,000.

Таблица 4

ю, У', мм 1' т, мм 1'' мм

-3,1631 10,00 -1,008 -0,464

-2,1901 7,07 -0,505 -0,232

0,0000 0,00 0,0000 0,0000

Астигматические отрезки для края поля 1 'т, 1 '8 имеют достаточно большую величину, ¿1Уе = 0,03835, ¿1Ук = 0,6701.

В табл. 5 приведены параметры линзы после введения в показатель ПП градиента. Линза приобрела конфигурацию „отрицательный мениск", фокусное расстояние положительное: / =166,112 мм; ^ 'Р = 149,501 мм; Sp= 3,0 мм; г = 0,02919 мм-1; п=99,78; Г2=32,818; ё=12; п00=1,5; п10=-0,639-10-3мм-2.

Таблица 5

ю, У', мм 1' т, мм 1'' мм

-3,2636 10,00 -0,849 -0,282

-2,2611 7,07 -0,426 -0,141

0,0000 0,00 0,000 0,000

Введение в ПП градиента позволило приблизительно на 20—40 % уменьшить астигматические отрезки; ¿1Уе =1,1278 10 , ¿1Ук=1,874 10 .

В табл. 6 приведены конструктивные данные и астигматические отрезки градиентной линзы после оптимизации.

Параксиальные характеристики линзы: / =166,12 мм; ^ V =142,636 мм; sp= 18,311 мм; г = 0,025633 мм-1; п=41,693; Г2=25,178; ё=12; п00=1,5; пш=-0,492-10-3мм-2.

Таблица 6

ю, У', мм 1' т, мм 1'' мм

-3,2630 10,00 0,0005 0,0001

-2,2609 7,07 -0,0006 -0,0001

0,0000 0,00 0,0000 0,0000

Астигматизм и кривизна поля исправлены, высшие порядки аберраций скомпенсированы третьими порядками; 5^=1,236210 , =2,054 10 .

Пример 3. Аберрационные параметры исходной однородной отрицательной двояковогнутой линзы приведены в табл. 7. Линза имеет характеристики: I =-170,011 мм; я 'р = -175,82 мм; яр=10,99 мм; %е =-3,667 10-3; %к =0,6235; г = 0,00 мм-1; ^=-109,75;

г2=1493,8; ¿=10; п00=1,6; п10=-0,000 мм-2.

_Таблица 7

ю, у', мм 7' т, мм 7 ' я, мм

3,2202 10,00 1,071 0,480

2,2254 7,07 0,536 0,240

0,0000 0,00 0,000 0,0000

Как видно из табл. 7, линза имеет достаточно большие положительные величины астигматических отрезков 7'т, 7'я.

Аберрационные характеристики линзы после введения градиента 1111 приведены в табл. 8.

-7

Линза имеет характеристики: / = -178,557 мм; я ' р = -194,43 мм; яр=10,99 мм; ^:уе =-2,29910 ; %к =4,1059 10-5; г = 0,03275 мм-1; ц=-109,75; 12=-37,054; ¿=10; П00=1,6; пш=0,858010 Градиентная среда рассеивающего типа.

Таблица 8

3 -2

мм .

ю, у', мм 7' т, мм 7 Я, мм

3,1224 10,00 0,208 0,0755

2,1604 7,07 0,101 0,0381

0,000 0,00 0,000 0,0000

Введение градиента 1111 позволило почти в пять раз уменьшить астигматические отрезки 7 т-, 7 я.

В табл. 9 приведены параметры линзы после оптимизации: / = -178,563 мм; я 'р = -179,302 мм; яр = 47,495 мм; 51Уе=-2,131610-3; %к =0,3807; г =0,02701 мм-1; г1=365,891;

г2= 423,507; ¿=4,981; п00=1,6; п10=0,583610-3мм-2.

Таблица 9

ю, у', мм 7' т, мм 7 ' я, мм

3,1227 10,00 -0,0216 0,0645

2,1605 7,07 -0,0106 0,0325

0,000 0,00 0,000 0,000

Выводы. Аналитические формулы позволяют получить первичные конструктивные данные линзы с исправленной кривизной поля третьего порядка. Для исправления кривизны поля при конечных углах поля требуется численная оптимизация формы линзы на минимум астигматических отрезков.

Анализ показал, что радиальный градиент 11 в области конечных величин углового поля наиболее эффективен в менискообразных линзах.

Введение радиальной неоднородности показателя преломления собирающего или рассеивающего типов позволяет исправить в линзе третьи порядки аберрации кривизны поля, что расширяет возможности оптика-конструктора по коррекции остальных аберраций оптической системы третьего и высших порядков.

шисок литературы

1. Слюсарев Г. Г. Методы расчета оптических систем. М.: Машиностроение, 1969. 550 с.

2. ВолосовД. С. Фотографическая оптика. Л.: Искусство, 1972. 650 с.

3. Moore D. Т., Salvage R. Т. Radial gradient-index lenses with zero Petzval aberration // Appl. Optics. 1980. Vol. 19, N 7. P. 1081—1086.

4. Сушков А. Л. Монохроматические аберрации граданов как базовых элементов жестких эндоскопов. Учеб. пособие. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. 44 с.

Сведения об авторе

Александр Леонидович Сушков — канд. техн. наук, доцент; МГТУ им. Н. Э. Баумана; кафедра лазерных

оптико-электронных систем; E-mail: ale-sushkov@yandex.ru

Рекомендована кафедрой Поступила в редакцию

лазерных оптико-электронных 28.10.10 г.

систем