Методы расчета и исследование первичной хроматической аберрации RGRIN-линз Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 535.17

Методы расчета и исследование первичной хроматической аберрации ЯСКШ-линз

© А. Л. Сушков МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия

Представлены формулы расчета хроматической аберрации положения градана интегральным и дифференциальным методами. Показано, что математический аппарат интегрального метода можно использовать при определении хроматизма не только граданов с плоскими торцами, но и градана со сферическими торцевыми поверхностями, являющегося при малой толщине градана КОШЫ-линзой. Предложен графический способ оценки влияния кривизны торцевых поверхностей, дисперсий градиента и базового стекла на хроматическую аберрацию положения градиентного элемента.

Ключевые слова: хроматическая аберрация положения, градан, градиентная линза, дифференциальный метод расчета, интегральный метод расчета, хроматизм граданов, КОШЫ-линзы.

Граданы — цилиндрические стержневидные оптические элементы, как правило, с плоскими торцами и убывающим вдоль светового радиуса градана показателем преломления (ПП) по зависимости, близкой к параболической. Приводимые в [1] данные о параметрах граданов свидетельствуют о наличии у некоторых из них достаточно большого осевого хроматизма (до 0,6.. .0,7 мм).

В градиентной оптической среде дисперсией обладают как ПП базового стекла, так и градиент ПП. Изучение влияния на хроматизм линзового элемента совместного влияния двух дисперсий представляется актуальной задачей при разработке оптической системы, включающей градиентные компоненты.

Цель работы состоит в проведении сравнительного анализа двух методов расчета хроматической аберрации положения граданов, расположенных в воздухе, и исследовании влияния сферизации торцевых поверхностей на минимизацию первичной хроматической аберрации положения.

Радиальное распределение показателя преломления в градане обычно представляют полиномами п первой или второй степени:

п (г) = П00 + пют2 + П20Г4 +...;

/ (1) п2 (г) = П002 (1 - g2Г2 + ¿4g4г4 + ...) ,

где п00 — показатель преломления на оси; п10 — градиент показателя преломления, определяющий параксиальные характеристики града-на, мм-2; п20, Ъ4 — аберрационные коэффициенты; g — константа распределения (КР) градиентной оптической среды, мм-1.

Для полинома п(г) константу распределения обычно обозначают I и вычисляют по формуле

2|пн)|

поо

(2)

Для обоих типов полиномов (1) I = g. Первичные монохроматические аберрации граданов рассмотрены в работе [2].

Градан с плоскими поверхностями — линза Вуда — является исходной заготовкой для производства толстых и тонких КОКТЫ-линз со сферическими поверхностями. Подобные линзовые элементы могут иметь улучшенные аберрационные характеристики по сравнению с однородными конструкциями. Дисперсией в ОКТЫ-среде обладают два параметра: показатель преломления базового стекла и градиент ПП, дисперсию которого принято описывать через дисперсию константы распределения среды t. Хроматические значения этой среды устанавливают в процессе измерения функции распределения ПП [1].

Дисперсионные зависимости показателя преломления и константы распределения градиентной среды. Дисперсионную зависимость показателя преломления п(Х) градиентной среды и константы распределения t (X) обычно представляют полиномами [1]

п(Х у

В

^Л Ч К] К2

t (Х) = Ко + К + ^ •

(3)

где В, С, К0, К1, К2 — коэффициенты.

На типичных графиках п(Х) и ^Х) с нормальным ходом дисперсии 1111 и константы распределения (рис. 1) видно, что показатель преломления и константа распределения убывают с увеличением длины волны света X.

Рис. 1. Нормальные дисперсионные зависимости п(Х) и ^Х) оптической

ЯОМЫ-среды

t

Если (2) продифференцировать по X, то получим формулу связи дисперсии параметров градиентной среды dt, dnio, dnoo:

i noodnio - niodnoo

dt = ---2-. (4)

t noo

Условием хроматической инвариантности константы распределения t является равенство отношений градиента 1111 к показателю 1111 и их дисперсий:

nio = dnio (5)

noo dnoo

Дисперсия градиента ПП dnio связана с дисперсией базового ПП dnoo и дисперсией константы распределения dt зависимостью

dniom2 = -it2dnoo -nootdt. (6)

При расчете параметров реальных оптических сред дифференциалы dnoo и dt будут заменены конечными разностями An и At.

Расчет ПП и градиента ПП по формулам (3), (6) позволяет определить коэффициенты дисперсии градиентной среды voo, vio:

noox o - i niox o /ПЛ

Voo =-; Vio =-. (/)

nooxi - noox2 nioxi - niox2

Для RGRIN-среды формулы углов и высот в системе координат, привязанной к первой поверхности, известны [2] в следующем виде:

h2 = h( z) = h(o) cos (tz) - ^^ sin (tz);

t (8)

a2 = a(z) = a(o) cos (tz) + h(o)t sin (tz).

Интегральный метод расчета хроматической аберрации положения. Теоретической основой расчета хроматизма интегральным методом является формульный аппарат теории хроматических аберраций градиентных оптических элементов [3, 4]. Исходными данными для вычисления коэффициентов хроматических аберраций положения и увеличения RGRIN-элемента служат функциональные зависимости параксиальных высот h(z) и углов a(z), величины коэффициентов РПП noo, nio и их дисперсии dnoo, dnio.

Выражения для коэффициентов хроматических аберраций положения и увеличения в общем случае осесимметричного РПП n(x, y, z) приведены в работах [3, 4], в которых показано, что величина коэффициента аберраций слагается из двух составляющих, обусловлен-

ных преломлением лучей на поверхности (поверхностный вклад) и прохождением луча через неоднородную среду (вклад переноса):

8г,хр = 81,к + , (9)

где 5 — общий коэффициент хроматической аберрации положения оптической системы; Б^к, 8>1к — поверхностный вклад и вклад переноса, I = I, II.

Коэффициенты хроматических аберраций положения 81 хр и увеличения 5л хр вычисляют по формулам [5]:

р _ р-1 _ р _ р-1 _

хр = X хр, к + X хр, к; 8П хр = X 8П хр, к + X 8П хр, к. (10) к=1 к=1 к=1 к=1

В общем случае РПП, заданного зависимостью (1), поверхностные вклады в коэффициенты аберраций имеют вид

7 \хГ <«00, к ^ , С./0 \сГ <«00, к Л

Лк§(ак)8 -— ^к§(Рк)8 '

5

I хр, к = '

\ «00, к ^

—; 51

Г 1 ^

^ «00, к

II хр, к = '

8

гН^. (11)

^ «00, к J

Здесь знак разности 5 относится к оптической поверхности.

В системе координат 0ХУ2, привязанной к первой поверхности линзового элемента, где ось 02 совпадает с оптической осью, составляющие вклада переноса вычисляют по интегральным формулам:

5 хр, к =Д( Иа(«00)) + {[ 2к 2 (¿/«10 ) + а2 («00 )]<<г;

0

< _

5п хр, к =д( ^Р(<<«00 )) + \\_2ИИ (<<«10 ) + ар(<<«00 )] dz,

(12)

где <«00 = «00, XI - «00, X2; , <«10 = «10, XI - «10, X2 .

Функции углов и высот луча в градиентной среде

а = а^), р = ), к = к^), И = И^).

Хроматическую аберрацию положения ¿яХ 1, х2 вычисляют по формуле

1, х 2 =■

5 хр

2

«00, ра р

(13)

где «00, р, ар — величины 1111 и угла а в пространстве изображений.

8

Относительный хроматизм увеличения Дух 1, х2/Ухо рассчитывают по второму хроматическому коэффициенту:

Дух 1, х 2/ Ух о = £11 хр / J,

где J — параксиальный инвариант Лагранжа — Гельмгольца.

Для поверхностного вклада £1 хр в коэффициент хроматической аберрации линзового ЯОКШ-элемента из (11) получаем выражение

1

£10 = ■

Vоо

-[(«2 -аОМ + (аз -«2)^2 ].

(14)

Интегралы (12) берем аналитически подстановкой функций (8). Полученное алгебраическое выражение для коэффициента хроматической аберрации положения £1 хр имеет вид

£1 хр =--— [(«2 -«1 ) +(«3 -«2 ))]

^0

+

+ ёп10

+ ёп

00

, «2/ ,чГИ2 «2^ 2ь . 1 I \ и и3) г2

1 1 («2 1 1 -«2/+—ИЬ2/ + б1И (2г/) ——Ь}г I + И«2 Б1И2 (г/)

2 2 2 1 4 14г 4 1 ) 12 v ,

И еов(г/) - (г/) (2 еов(г/) + Ь^ §1п(г/))-И[а2

+

+ ёп

00

+

(15)

где «1, «2, «2, «3 — углы луча с оптической осью в пространстве предметов, линзе (на входе и выходе из градиентной среды) и пространстве изображений соответственно; / — длина градана; Ь1, Ь2 — высоты луча на первой и второй поверхностях градана.

Величины углов на входе и выходе из градиентной среды позволяют рассчитать кривизны первой и второй поверхностей линзы по известной из теории аберраций однородных сред формуле

Дщ

Гк

Д(«п)к

Ьк.

Анализ выражения (15) на минимум функции £1 хр («2) по аргументу можно провести путем построения графиков входящих в него функций, являющихся сомножителями дисперсий градиента 1111 и дисперсии базового стекла с применением пакета прикладных программ МАТИСАО:

/ 0 (а 2) = —— [ Аа 2 + Ва 2 + С ],

V00

(16)

где А = ; В = 2И, в1П2(гЛ-^-мп(г/);

2* г

С = ь

-а1 + а3 соб (г/) - ^ бш (2г/)

/1 (а 2 ) = Ф1о ¡2 (а2 ) = йпоо

а

+ -2- / + мп(2г/ )

Г л2

а

2 Л

ч 2* 2*3 у

2а2^ .

Б1П2 (*/)

; (17)

1 1 Г а2 1 Л

2а2/ + 2л12*2/ + б1п(2*/) -4+ Ма^п2^/)-

а22 "21- вт (И/) + а2Ь (1 - 2 бш2 (г/)) + )Щг б1п (2*/) - И1а2

. (18)

Пример. Для элемента Бе^ос SLW-4,0 с характеристиками п00 = 1,64357; g = 0,14814 мм-1, диаметром 4 мм в спектральном диапазоне ^1—= 0,4800...0,6438 мкм имеем Д^ю = 0,01976; Дг = = 1,06733 10-3 мм-2; йп10 = -4,76694'Ю-4 мм-2. Толщина (длина) элемента / = 8,0 мм, линейное увеличение в = -0,532 при расстоянии до предмета ^ = -10 мм.

Графики функций /0(а2), / 1(а2), /2(а2) приведены на рис. 2 (для удобства построения графиков в пакете МаШСАО применен переход в обозначениях: а2 = х). Согласно анализу графиков /0(х), / 1(х), /2(х), элемент БеНЬс SLW-4.0 имеет минимальные значения функций /0(а2), / 1(а2), /2(а2) в диапазоне значений угла а2 0...~0,2. На рис. 2 видно, что минимизация хроматизма для элемента БеИос SLW-4.0 при сохранении линейного увеличения линзового элемента возможна за счет придания кривизны входной и выходной поверхностям элемента.

-1,0 -0,5 0 0,5

Рис. 2. Графики функций /0(х), / ^х), /2(х)

Дифференциальный метод расчета хроматизма положения.

Этот метод расчета хроматической аберрации положения градана основан на дифференцировании формулы для расчета величины заднего отрезка по длине волны света X:

51 - /'\gifd)

f tg(td)

/0

1

где /о

noot

В результате дифференцирования (19) по X получено выражение

A1 + B1 + С1

dsxp =---j, (20)

(1 + S1noottg(tl))

dt ( 1 2 Л

где A1 =--—2 -+ sjnootl I;

cos (tl )2

noot

B1 = (dnoo t + dt noo) tg2 (tl) - sj tg(tl)

C1 = s1 tg2(tl)

Сравнительные расчеты хроматизма положения элемента selfoc SLW-4.o с плоскими торцами интегральным (формулы (11), (12)) и дифференциальным (формула (2o)) методами, а также с помощью программы OPAL при расстоянии от первой поверхности selfoc до предмета s1 = -1o мм дали практически одинаковые результаты dsh, х2 = -o,2 мм.

Минимизация хроматической аберрации положения линзового элемента с использованием пакета прикладных программ OPAL при сохранении значения линейного увеличения po = -o,532 изменила конфигурацию поверхностей линзы: r1 = 5,142; r2 = 3,835; d = 8 мм. Хроматизм положения уменьшился до величины dsx1, х2 = -o, 179 мм, что в процентном выражении составляет 1o,75 %. Угол осевого луча на входе в градиентную среду имеет значение а2 = o,o283, что согласуется с значением угла а2, определяющем минимальное значение коэффициента хроматической аберрации положения (см. рис. 2).

Заключение. Рассмотренные методы расчета первичного осевого хроматизма дополняют один другого при анализе аберраций града-нов с плоскими или сферическими поверхностями. Исследование

дисперсионных функций базового 1111 и градиента 1111 по параметру а2 показали их полезность при анализе осевого хроматизма градана, а также при определении влияния кривизны поверхностей линзы на минимум хроматической аберрации положения при заданных параметрах градиентной оптической среды. Проведенное аналитическое исследование подтвердило перспективность применения численных методов оптимизации хроматизма при использовании в качестве параметров кривизн поверхностей линзового элемента.

ЛИТЕРАТУРА

[1] URL: http:// www.gofoton.com (дата доступа 12.02.2013)

[2] Сушков А.Л. Монохроматические аберрации граданов как базовых элементов жестких эндоскопов. Москва, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008, 44 с.

[3] Sands P.J. Inhomogeneous Lenses, II. Chromatic Paraxial Aberrations. JOSA, 1971, vol. 61, pp.777-783.

[4] Поспехов В.Г., Ровенская Т.С., Сушков А.Л. Параксиальные характеристики цилиндрических граданов. Известия вузов. Сер. Приборостроение, 1988, № 12, с. 57-69.

[5] Ровенская Т.С. Методы проектирования оптических систем с градиентными элементами. Москва, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1994, 39 с.

Статья поступила в редакцию 24.06.2013

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом:

Сушков А.Л. Методы расчета и исследование первичной хроматической аберрации RGRIN-линз. Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, вып. 7.

URL: http://engjournal.ru/catalog/pribor/optica/827.html

Сушков Александр Леонидович родился в 1950 г., окончил МВТУ им. Н.Э. Баумана в 1973 г. Канд. техн. наук, доцент кафедры «Оптико-электронные приборы научных исследований» МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор шести публикаций. Область научных интересов: аналитическое изучение свойств линзовых элементов с неоднородным показателем преломления.