Некоторые малоизвестные аберрационные свойства оптической поверхности Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 535.317

Некоторые малоизвестные аберрационные свойства оптической поверхности

© А. Л. Сушков МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия

Исследована возможность исправления сферической аберрации в линзе при сохранении сферической конфигурации поверхности изменением показателя преломления по поверхности линзы, получаемом при введении в оптическую среду линзы осевой или радиальной неоднородностей показателя преломления.

Ключевые слова: светосильная оптическая система, асферическая поверхность, осевой и радиальный градиенты показателя преломления, сферическая аберрация

Исправление сферической аберрации является одним из основных требований, предъявляемых к оптической системе (ОС). Традиционно для исправления сферической аберрации применяют асфери-зацию одной или ряда поверхностей ОС. В связи с этим рассмотрим свойства оптической поверхности светосильной линзы в более широком аспекте, чем это делали ранее.

Как известно, в линзе со сферическими поверхностями имеет место сферическая аберрация, обусловленная углами падения и преломления луча на поверхности, которые определяются согласно закону Снеллиуса — Декарта:

n sin i = n' sin i', (1)

где n, n' — показатели преломления (1111) оптических сред до и после поверхности; i, i' — углы с нормалью к поверхности в точке падения луча.

Исправление сферической аберрации в исходно однородной одиночной линзе без потери ее светосилы возможно двумя путями:

1) деформацией сферической поверхности в более пологую поверхность, несферическую (например, сфероид ^ параболоид). При этом изменяется угол падения луча на поверхность i и, следовательно, изменяется угол преломления i', что приводит к исправлению сферической аберрации [1];

2) изменением местного значения 1111 по сферической поверхности по координате Y [2, 3] (см. рисунок).

Из теории аберраций третьего порядка известно выражение для коэффициента деформации сферической поверхности b, позволяю-

Параметры линзы с ОРПП (а) и РРПП (б)

щего исправить сферическую аберрацию исходной линзы, которая определяеется величиной коэффициента аберрации 5!. Деформация первой сферической поверхности линзы в асферическую второго порядка осуществляется введением в уравнение поверхности коэффициента Ь1, рассчитываемого по формуле

ь=-(-) (2)

(noo -1)4

где Si — величина коэффициента сферической аберрации линзы; r1, hi — радиус кривизны и высота луча на первой поверхности линзы, hi = f'; n00 — показатель преломления стекла.

Для второй поверхности линзы коэффициент деформации b2 вычисляют по формуле

b2 = Sir2 . (3) (noo -i))

Однако асферизация поверхностей линз малого диаметра представляет достаточно сложную технологическую задачу. Вместе с тем технология изготовления и метрология высокоточных сферических поверхностей в широком диапазоне диаметров линз достигли к концу ХХ века высокого уровня.

Разработка теории аберраций GRIN ОС [2, 4, 5] и развитие технологий неоднородных оптических сред, начавшееся с 1960-х годов, создало предпосылки для конструирования GRIN-линз со сферическими поверхностями и качеством аберрационной коррекции, соответствующим качеству коррекции элемента с асферическими поверхностями. В первую очередь это относится к исправлению сферической аберра-

ции, которую можно устранить изменением показателя преломления по поверхности в соответствии с законом Снеллиуса — Декарта.

Выполнение этого требования возможно при изменении показателя преломления как по оси 02 — осевое распределение показателя преломления (ОРПП или АОМЫ), так и по оси 0У — радиальное распределение показателя преломления (РРПП или КОМЫ):

п (г) = по + «01 г + П02 г2 + поз г3 +...;

п (У) = поо + п10 У2 + п20 У4 + пзо У6 +...

В случае АОМЫ функция 1111 по поверхности определяется, согласно [2, 3], производной от функции осевого РПП П (г). Для линейного РПП — это коэффициент «о1, для полиномиального РПП — это («о1 + 2по2Х + 3«оз^2 +...), где ^ — глубина градиентной зоны неоднородного ПП.

Для того чтобы ПП по поверхности изменялся в пределах всего светового диаметра, необходимо наличие неоднородности ПП в зоне, толщиной не менее стрелки прогиба поверхности I > а\ 2, где

а1, а2 — стрелки прогиба первой и второй поверхностей линзы.

В формульном аппарате теории аберраций градиентных ОС [3] получены зависимости, которые позволяют определять параметры осевого и радиального коррекционных РПП, обеспечивающих исправление сферической аберрации.

При использовании осевого РПП исходными расчетными данными являются величина коэффициента сферической аберрации 51 исходной однородной линзы или величина продольной сферической аберрации, подлежащей исправлению.

Для первой поверхности линзы при нормировке И1 =

5 =-4^ = (по1 + 2п22а1 +..) . (4)

г12

Переходя к канонической нормировке 51 = ¿к,

^ =-зК, -Гз(по' + 2'^2а' + . ). (5)

Из выражения (5) получаем величины коэффициентов по1 (первое приближение) и коэффициента по2, поз и так далее (второе приближение):

5 кг2

Г'

по1 + 2по2а1 +... =--—. (6)

з

Отметим, что в формулу (6) входит не величина исходного 1111 п00, а производная от функции ПП, характеризующая скорость изменения 1111 по поверхности линзы.

Если для линзы известна величина продольной сферической аберрации Д/, то коэффициенты п01, п02 можно получить из формулы

( и ?

П01 + 2по2«1 +... = 2 —' (7)

где т — высота луча на поверхности.

Весьма желательно, чтобы сферическая аберрация линзы не сильно отличалась от аберрации третьего порядка.

Как известно, для положительной линзы продольная сферическая аберрация Д/ < 0, следовательно, в области первой поверхности ПП должен быть убывающей функцией по оси 02, что приводит к уменьшению ПП по поверхности с увеличением высоты луча на поверхности линзы.

При наличии неоднородности ПП в области, прилегающей ко второй поверхности линзы, при известной величине &

П01 + 2П02 а = —К (8)

/

а при известной величине продольной сферической аберрации Д/

I '2 I т,

П01 + 2п02«1 = -2—| — | (9)

В случае линейного ОРПП п02 = 0 получаем простую зависимость:

к 'Г 42 Д/ ( Г2

"01=-2-21 т

Для положительной линзы на второй поверхности п01 > 0 независимо от знака г2.

В случае радиального РПП функция ПП определяется коэффициентом РПП п10. Согласно [2, 3], при И =

Б1 = -( И4^-И^]. (10)

I Г1 г2 )

Переходя к канонической нормировке,

(,* 4п10 , о 4п

^к = -

из ™н>-И^ I. (11)

Г2 )

Величины h1 и h2 исходной однородной линзы можно взять из результатов расчета первого параксиального луча в пакете программ OPAL или ZEMAX. Принимать условие h1 = h2 здесь является некорректным, поскольку при r1 Ф да высоты луча на первой и второй поверхностях будут не равны.

По величине коэффициента аберрации S1k из уравнения (11) рассчитываем значение коэффициента n10:

1_s1L

4 h3/r - h3/^ '

n10 = -T ,3/ , 3, . (12)

Полученные величины п1о не являются окончательными: поскольку не учитывалось влияние толщины градиентной среды при прохождении через нее луча, необходимо провести оптимизацию, параметрами которой являются п1о и а оптимизируемыми функциями — величина сферической аберрации Дs, и фокусное расстояние линзы. Результаты расчета параметров градиентной среды в положительных менисках для исправления сферической аберрации приведены далее в примерах 1, 2.

Между коэффициентами п1о и по1, описывающими радиальное и осевое РПП для обеих поверхностей линзы, справедлива связь:

по1к

пш =-— (1з)

4ги

Для асферической поверхности второго порядка и сферической поверхности с неоднородным ПП известны [2] формулы связи для коэффициентов Ьи, пош пш:

Ьи (поо -1) = Ьи (поо -1)

~ г2

n01k =—--n10k =—Vi—k =1,2, (14)

rk 4ré

где Ьи — коэффициент деформации поверхности, связанный с эксцентриситетом асферической поверхности второго порядка формулой Ьк = —1.

Анализ (1з) показывает, что для исправления сферической аберрации значение коэффициента п1о и, следовательно, величина перепада ПП коррекционного радиального РПП должны быть меньше по сравнению с осевым РПП.

В работе [з] приведен пример исправления сферической аберрации в линзе введением ОРПП. Ниже рассмотрим примеры исправления сферической аберрации введением в показатель преломления радиальной неоднородности ПП. Все размеры указаны в миллиметрах.

Пример 1. Введение радиальной неоднородности в ПП положительного мениска с выпуклой первой поверхностью.

Исходные данные линзы:

Толщина линзы 2 мм; тзр = 1 мм; г 1 = 5,оо; поо = 1,65; / ' = 48,816; 5} = 41,124; М = 48,816;

г 2 = 5,оо; Ду' = -1,656; 5К = 16з,667; ¿2 = 41,1оз.

Рассчитанная по формуле (12) величина п1о = -о,оо4з6о47 мм-2.

Линза после оптимизации вариацией г2 и п1о:

Толщина линзы 2 мм; г 1 = 5,оо; поо = 1,65; /' = 44,824; ^ = з7,265; = 44,824; г 2 = 4,з1; Ду' = -о,ооз9; 5* = -о,628; ¿2 = з7,265.

После оптимизации п1о = -о,оо482о47 мм-2.

Пример 2. Введение радиальной неоднородности в ПП положительного мениска с вогнутой первой поверхностью.

Исходные данные линзы:

Толщина линзы 2 мм; г 1 = -5,оо; поо = 1,65; / ' = 48,816; = 56,5о8; М = 48,816; г 2 = -5,оо; ДУ = -з,67; 5* = з61,з29; ¿2 = 41,1оз.

Рассчитанная по формуле (12) величина п1о = — о,оо7о4з6 мм -2.

Линза после оптимизации вариацией г2 и и п1о:

Толщина линзы 2 мм; г 1 = -5,оо; поо = 1,65; / ' = 49,257; = 55,517; М = 49,257;

г 2 = -7,4о; ДУ = о,оз755; 51 = -1,958; ¿2 = 55,517.

-2

После оптимизации п1о = -о,о12 мм .

Заключение. Малоизвестное свойство оптической поверхности состоит в том, что сферическую аберрацию в исходно однородной линзе можно исправить не только деформацией поверхности, но и введением неоднородности ПП по поверхности за счет осевого или радиального градиентов ПП. Деформация поверхностей малого диаметра вызывает значительные технологические затруднения, поэтому в линзе целесообразно применять неоднородный ПП осевого или радиального типов.

Выбор поверхности ОС для введения в прилегающую к ней зону оптической среды осевого РПП осуществляется согласно результатам анализа чувствительности поверхности по исправлению сферической аберрации и характеристикам технологически доступного полинома РПП: для положительных линз — убывающего от поверхности в глубину стекла, для отрицательных — возрастающего от поверхности в глубь стекла. Как правило, влияние градиента ПП на исправление сферической аберрации более заметно на крутых поверхностях линзы, при этом местный ПП по поверхности от оси к краю световой зоны должен уменьшаться.

Градиент РРПП меньше градиента ОРПП в 4г раз, при этом следует учитывать небольшое изменение фокусного расстояния линзы.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Запрягаева С.А., Свешникова И.С. Расчет и проектирование оптических систем. Москва, Логос, 2000, 584 с.

[2] Sands P.J. Third-order aberrations of inhomogeneous Lenses. JOSA, 1970, p. 1436.

[3] Сушков А.Л. Исправление сферической аберрации третьего порядка в линзе введением неоднородностей показателя преломления. Известия вузов. Сер. Приборостроение, 2010, т. 53, № 5, с. 67-72.

[4] Сушков А.Л. Монохроматические аберрации граданов как базовых элементов жестких эндоскопов. Москва, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008, 44 с.

[5] Сушков А.Л. Алгоритм расчета Зейделевых аберраций для оптической системы с распределенным показателем преломления. Известия вузов. Сер. Приборостроение, 2012, т. 55, № 5, с. 64-72.

Статья поступила в редакцию 24.06.2013

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом:

Сушков А. Л. Некоторые малоизвестные аберрационные свойства оптической поверхности. Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, вып. 7.

URL: http://engjournal.ru/catalog/pribor/optica/828.html

Сушков Александр Леонидович родился в 1950 г., окончил МВТУ им. Н.Э. Баумана в 1973 г. Канд. техн. наук, доцент кафедры «Оптико-электронные приборы научных исследований» МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор шести публикаций. Область научных интересов: аналитическое изучение свойств линзовых элементов с неоднородным показателем преломления.