CC BY
15
Nr < N , может дать высокую точность, не прибегая к численному обратному
преобразованию, использующему табличные значения АФЧХ.
Если условие (20) не выполняется, то формула (21) не может быть получена. Тогда для получения переходного процесса по г-й обобщенной координате может быть использовано обратное преобразование
Разработанные методы послужили основой, например, для решения задачи динамики сваи при забивке [5] и при соударении стержня с препятствием [6], причем формулы для динамических жесткостей стержня были получены точным интегрированием.
1. Reissner F. On Some Variational Theorems in Elasticity. Problem in Continuum Mechanics. SI AM J 961.
\
2. Prager U. Variational Principles of Linear Elastostatics for Discontinuous Displacements, Strains, and Stresses. Recent Progress in Applied Mechanics. The F. Odquist Volume, N.Y.,
3. Сапкин 10.11. Динамические характеристики вязкоупругих систем с распределенными параметрами. Саратов: СГУ, 1977. 309 с.
4. Способ определения относительных коэффициентов демпфирования механических и электромеханических колебательных систем / 10. Н. Санкин, Н. 10. Санкин. Патент №2093808 от 20.10.97.
5. Каталымов 10.В., Санкин Ю.Н. Определение напряжений в сваях при ударном погружении в грунт// Механика и процессы управления. Ульяновск: УлГТУ, 1996. С.38-43.
6. Санкин Ю.Н., Лебедева H.A. Продольные колебания стержней ступенчато-переменного сечения при соударении с жестким препятствием // Механика и процессы управления. Ульяновск: УлГТУ, 1998. С. 64-72.
Санкин Юрий Николаевич, доктор технических наук, профессор кафедры «Теоретическая и прикладная механика» Ульяновского государственного технического университета, окончил физико-механический факультет Ленинградского политехнического института. Имеет монографии и статьи в области механики сплошных сред, теории колебаний и устойчивости движения.
где qr (/со) берется согласно графику АФЧХ.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1967.
УДК 539.31
Ю.Н. САНКИН, А.Е. ТРИФАНОВ
РАСЧЕТ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ ПРИ УДАРЕ О ЖЕСТКОЕ ПРЕПЯТСТВИЕ
Предлагается частотный метод решения задачи о колебаниях оболочек вращения с учетом рассеяния энергии при произвольном силовом погружении и при соударении с жестким препятствием.
Уравнение колебаний оболочки вращения преобразуется по Лапласу при наличии ненулевых начальных условий. Для полученного неоднородного дифференциального уравнения вариационным методом решается краевая задача, заключающаяся в нахождении преобразованных по Лапласу краевых поперечных и продольных сил и изгибающих моментов как функций краевых перемещений. Затем составляются уравнения равновесия узлов, которые представляют собой систему уравнений для неизвестных узловых перемещений, то есть соответствующих уравнений метода конечных элементов (MIO). Решая полученную систему уравнений при р = ко, где р - параметр преобразования Лапласа, со - частотный параметр, строим амплитудо-фазо-частотные характеристики (АФЧХ) для интересующих сечений оболочки. Поскольку все особые точки соответствующих выражений лежат левее мнимой оси, обратное преобразование можно осуществлять, полагая р =т ico, т.е. используя построенные АФЧХ. Задача по построению АФЧХ, где в качестве силового воздействия фигурирует поле начальных скоростей, ум/юженное на погонную плотность оболочки, является вспомогательной. Обычно АФЧХ строятся от воздействия возмущающих сил, затем численным интегрированием или каким-либо иным способом осуществляется обратное преобразование Лапласа. Известно, что каэюдому витку АФЧХ соответствует один член ряда в разложении по формам колебаний [I]. Между экстремальными точками АФЧХ и коэффициентами соответствующих членов ряда существует однозначная связь, которая используется в настоящей работе для осуществления обратного преобразования Лапласа. Описанный выше подход позволяет решать нестационарные задачи динамики оболочек вращения при произвольном силовом нагружении, приложенном по длине оболочки, а таю/се при ударе о жесткое препятствие.
Уравнения гармонических колебаний оболочки вращения могут быть записаны в виде [2], [3], [4]:
Ax-a>2Rx~f = 0, СА*у = х, (1)
где хТ = \T],T2,S,Ml,M2,H\ - вектор усилий ; ТХ,М\ и Т2,М2 - меридиальные и окружные растягивающие усилия и изгибающие моменты;
н н н + н
S = Sl2--- = S2[--Я = ——-2L; ,SI2,S71,#I2,#91 - касательные
R2 R} 2
усилия и крутящие моменты; ут = u,v,w| - вектор перемещений; и - перемещение по касательной к меридиану; v - перемещение по касательной к параллели; w - нормальное перемещение; /7 ~\q\,q2>qn\ - вектор внешней нагрузки; qvq2iqn соответствуют по направлению составляющим вектора пе-
ремещений; 7? - масса, приходящаяся на единицу площади срединной поверхности оболочки ; со - частота вынужденных колебаний;
1 д(у...) v dS
cos 9
о 1 д
и 9ф
1 а(и...)
я, и ds
cosQ
шЛ
и Л,
2 д
Л, и 9ф
О
1 5
о 5ф 1 + cosQ
я, а?
и
о
sin 6 д
и" Эф
1 д
udS
\
KRU
+
COSQ
и R
+
1
sin 0 д sin 20
"л.
«уш G и
О
1 Э2(и...)
v Щ2
1 d(cgyft..) ( 1 9
и
as
и2 Эср
2 а
2 д
о Э£Эср и Эф
со? 0...
л
ч
О
у
% )
л • •
А =
Г. fj
as
cosQ
и
i а
и Эф
д fi "l
аs ,
cosQ
и/г,
2 д
отг, Эф
о
1 Э
ds
и Эф
fcosQ...
ч
ч
-l)
О
у
1 а
г
sinQ...
\
8
8S
и Эф sin 0...
и
у
\
\
О
cos 9
/
о/г,
5ш20 1 а
—Г- +
2о
л2 а?
Щ
sinQ
и
0
Э5
cosQ а 1 а2
и 3S и2 Эф:
о
2 д2 cos в д
+
и dcpdS и2 Эф
Я1,Я2 - главные радиусы кривизны; и - радиус кривизны параллели;
с =
в В'А 0 0 0 0
В^ В 0 0 0 0
0 0 В'-Н 2 0 0 0
0 0 0 в 0
0 0 0 О 0
0 0 0 0 0 2
- матрица упругих постоянных;
В = Ек/у.-ц2) ~ жесткость при растяжении; £> = £А3/12(1-|12) - цилиндрическая жесткость при изгибе; Е - модуль упругости; ц - коэффициент Пуассона; к - толщина оболочки. Операторы А и А* обладают свойством:
¡1(Ах)гу-хгЛФу^е =
/
Т1и + Муу] +
с 2 Я \ 1 5 +--1У + -
V
Я
и
/
V
----Мл соу 0 + 2—
а? 2 Зф
\
• /
У
6*.
и^ф-
>о
5г
/
2Ны 7лУ Мо^шЭ
ч.
оЯ.
+
+
V - 2#—
Л, сол' 9
и
и
2я
=-
о
/
5 +
2 Я
\
\
/
V +
дН
\
\
и
/
2тг
0
(2)
где а - поверхность оболочки. При вычислении интеграла (2) учтена периодичность по углу 9. Здесь =|Г1,5, + 2Я//?2,Л'Г1 + дН/скр,-М1\9
утг = - соответственно векторы обобщенных сил и перемещений на
краях элемента, структура операторов А и А* дана в работах [2], [4]. Уравнения (1) следует дополнить соответствующими граничными условиями, которые следуют из свойств операторов (2):
Хл
Г1=/г > ^г|г2=^г-
(3)
Здесь Г) - часть контура, где заданы усилия; Г2 - часть контура, где заданы перемещения. Деление граничного контура на Гь Г2 считается условным, так как на одном и том же участке могут быть заданы отдельные компоненты вектора обобщенных сил и дополнительные компоненты вектора перемещений.
Решение, таким образом, поставленной задачи, сообщает функционалу
Рис. 1. Расчетная схема оболочки
е = А*у-<й\Яу)ту-2/ту\1о- \/ГгуГс1Г (4)
Г,
стационарное значение.
Второй интеграл в выражении функционала (4) является работой граничных усилий и конструируется согласно (2).
Для конической оболочки (рис. 1), когда /?,=<», при осесимметричной
нагрузке величина, связанная с перемещением V, не рассматривается, а операторы А и С преобразуются к виду:
А =
А
с13 со.?0
о О
О
О
5Ш0
и
с18г
СОУ0 £-/
Зададимся
и
полем
2 . .. г.3
С =
В ¡хВ
\хВ В
В
цО
п
, где ¿/5 = и£/(р.
в
виде
и = а, + а25,
перемещении
\\> = а3 + + а55'" +а65'3, где а,,...,а6 - неизвестные коэффициенты.
Такое представление может быть оправдано тем, что, например, для цилиндрической оболочки уравнение изгиба не связано с уравнением растяжения и эта зависимость »мала при относительно малых 0 и малой длине элемента. Найдем функции формы. Функции формы определяются согласно со-
отношению и = N1/, где N -
N
I " " "4
О ЛГ, О
N.
О
N.
О
N.
ит =
и IV
ит =
щ у/ иу и>у у
2 ^ "5 1У6
; ип у/, ил, у- перемещения и углы
поворота краевых сечений; - функции формы.
£
Введем переменную — = , где Ь - длина элемента по образующей. То-
//
гда получим [5] следующие равенства: /V", = 1 - 5,, = 1 - 352 + 2£,3,
7У3 = ф, -252 + £,3), N. = , N. = 35 2 - 25?, ;У6 = ь{- 52 + 53).
При переходе от местной системы осей (т,,т2,п) к единой вы-
ражая вектор у через матрицу функций формы N [5] и узловые перемещения
и,-, и>,, с1м>1 / (¡Я, иу, , ЯП) / г£>|, функционал (4) перепишется в виде [4]
1
е = —< 2
2ГЛГ |СА*Ш<\\2 - М22ТАТ ¡(Ж)тШоАг\ -
а а \
-zTAT ¡frNdoAz-zTAT \frrNdaAzt а г,
sin 9 -cos 9 0 [Л]= cos 9 -sin 9 0 0 0 1
Учитывая, что с/а = InLdS, получим для матриц жесткостей и масс следующие выражения [3], [4]:
где z = Az; у = AAz; А =
[Л] о .0 [Al
k =2nLK' \ \{а'nJ СА' NvdS¡ -Л, т = гл^Л7" | ДЛЛГ)7' ATvrfS, |л.
m
где к = А кА \ т = М тА; /,_/ = 1,...,6;
А"!, = 2%LB
1 / ¿cas
z2 UQ V 2 J
JJ. cos 0 L
+ cos2 Q(Fq - 2F{ +F2)
k[2 = 2%LB
\isinQ sin 29/ ч --— + -у- Й - - 2 + 5^3 - 2^4 )
£)3 = 2ttL8
12
A)4 = 27rZ,2?
u0 cas0 ->_/_ _v
~ L ~2lT+ C ~ )
J =
= 2nLB
k22 = 27tL£ sm2 9(F0 - 6F2 + 4F3 + 9F4 -12F5 + 4F6) +
+ 2%LD
12un 6cos0 36cos2 0
_;o__
L4 ~ L i
+
L
(F2-2F3+F4)
/c23 = 2%L2Bsin2 9(F, - 2F2 - 2F3 + 8F4 - 7F5 +2F6)+
+ 2tc LD
6u0 2cosQ 6 cos2 в
L
L
+
L-
(_Fi+5F2-7F3+3 F4)
k2A = 2TCLB
ii£m0 + £z«2©( 2 j
2L 2
k25 = 2ttL£5ш2 9f3F2 - 2F3 - 9F4 + 12F5 - 4F6; + 12u0 6cas0 36cas2 9 / nE.
+ 2tcLD
Г
+
L
L
k2e = 2%L2Bsin2 9(-F2 +F3 +3F4 -5Fs + 2F6) +
+ 2 %LD
6oo_W9 + б£«^е( ■
Û ]} L
+ 2uLD
где
¿зз = 2тс ÜB sin2 0[F2 - 4F3 + 6F4 - 4F5 + F6 ]+
kM = 2 nLB
ki5 = 2nÛ В sin2 0(3 F3 - 8F4 + 7F5 - 2 F6)+
+ 2KLD
6u
7/
L
Ä:36 = 2tt¿3 5 sin2 e(- F3 + 3F4 - 3F5 + F6 ) +
+ 2tILD
2un eos в ■> \
0 + COS20(-2F,+11F2-18F3+9F4)
L
Un COS 8 II COS 0 2 r> г-.
г*---+ ---+ cos¿ 0F,
I2 2¿ ¿ 2
Ц£Ш0 + S/«20 ^ _ J
2L 2 v 3 4/
26 (_ j 12 2 v 3 4. ¿55 = 2%LBsin2 0(9F4 - 12Fs + 4F6)+
/e44 = 2tcLJ9
¿45 = IKLB
k46 = 2tiLB
+ 2%LD
12u
o
¿4
6соу0 36cos 0/r, ^ \
:56 = 2nL2В sin2 0(- 3F4 + 5Fs - 2F6)+
+ 2tcL£>
6u
o , 4 eos 6 6 eos 9/ v
+ —— +----(- 2F2 + 5F3 - 3F4 )
U U L k6ó = 2nÜ В sin2 0(F4 - 2F5 + F6 )+
+ 2nLD
4ü0 3cos0 + }icos0
¿J
L
1-J
L
S¡dS{
Un -S^LcosQ
+ C^20(4F2-12F3+9F4)
, / = 0,1,..,6;
w,, = 2tu¿Í?
m14 = 2TCZJ?
o
/u0 Zcos0N
v /
12
u0 LcosQ
; w12 = 0; w,3 = 0;
; m15 =0; m16 =0;
т22 = 2%ЬЯ
/
13и0 3£со£0
N
35
35
у
/
; т2Ъ = 2тг¡} К
11и0
V
210
60
у
т
26
= 2тг£2Л
т24 = 0; т25 = 2%ЬК
Ъсо* ел
/
9о0 9£сб>*0
\
\
70
140
13и
г
о
\
420
+
70
; тгъ =2тс
о0 Ьсоя О
N
105 280
/
/
= 0; ш35 = 2я;127?
\
13и0 ¿соя в ~420
60
\
/
тзв = 2тс^/?
/
о0 ЬсобЪ
\
ч
140 280
; = 2пЬК
у
/
о0 Ьсоь О
N
\
т46 = 0; т55 = 2пЬЯ
азо
о
3 4 21 со? 0 4
т45 = 0;
у
\
35
7
У
т56 = 27Г1 7?
/
11о0 ЬсояО
\
\
210
28
у
/
; твв = 2к1?Я
о0
V
105 168
у
Для формирования глобальной матрицы представим матрицу жесткости и матрицу масс разбитой на блоки 3x3:
к = А'
А..
у
Р Л
А, ш - Аг
(/ у
ть. т -
уг у/
Л,
а вектор нагрузки /7 . Тогда для оболочки получим следующее ре-
куррентное соотношение, подобное рассмотренным в [2] для балок:
* Кы - = Жлк + /м»I * Л * (5)
где к - номер характерного сечения; /А - вектор нагрузки в сечении к [4].
Для того, чтобы учесть рассеяние энергии подставим вместо Е величину £'(1 + /у) в уравнения (5), где у - коэффициент внутреннего рассеяния энергии, и решая систему уравнений (5), строим АФЧХ. Математическая модель оболочки вращения формируется по характерным точкам АФЧХ в виде [1]
= Е /(- Т2)со2 + Г1у©1 +1), (6)
У
где Ту =1/со]у; Г1у = (1 -(со2у/со1у^); А] - вертикальный
размер витка АФЧХ [6]. Найдем отклик системы на импульсное воздействие по формуле
где
*/
Т
271
/
'Щ - т2
Б1П
М- -
N
\
К
t
(7)
У
Задача заключается в исследовании динамики конической оболочки при
соударении с жестким препятствием (рис.2). 0 = 135(\ Ь = 1,2 м, и0=2 м,
»
И = 0,01 м, Е = 2,1 • 1011 Н/м2, |л = 0,3. Скорость соударения равна 0,1 м/с. Край
оболочки, находящийся в контакте с препятствием, считается жестко защемленным (рис. 1). В качестве возмущающего фактора в данном случае будет величина # = -У0Л, где /? - масса приходящаяся на единицу площади срединной поверхности. Решая таким образом поставленную задачу, строим АФЧХ, по которым формируется математическая модель оболочки вращения при соударении с жестким препятствием.
Коэффициенты передаточной функции
Таблица 1
• J К ТЪ
1 , 4,634-Ю'у 1,228-10"5 1,24-10'3
2 1.964-Ю'у 1,102-Ю-5 1,108-10''
3 1,609-10'у 9,802-10"6 .. 9,816-Ю"1
4 8,49-10"'и 8,686-10'° 8,818-Ю"4
5 1,611-Ю"10 7,305-10"" 7,747-Ю"4
6 2,607-Ю"у 2,618-10"й 2,81 МО"4
7 2,406-10"у 21,94-10'° 2,782-Ю"3
На рис. 2 показаны АФЧХ оболочки и модели, при этом АФЧХ, построенные в результате решения системы уравнений (5) и по формуле (6) практически совпадают, что говорит о высокой эффективности разработанного метода. В том случае, когда можно пренебречь рассеянием энергии, полученные решения дают высокую точность на промежутках времени до сотен и тысяч циклов. Указанные возможности динамического моделирования отсутствуют в таких современных программных комплексах, как, например, АЫ-
БУБ- М '"Г
Пользуясь формулами (7), построим (рис. 3) зависимость £,(7) .
1т(и13) Ю'7,м А
6
N
4 2 0 -
-2 ->
~Г
-4
~г О
?7
4 Р*е(и13)10 ,м
10*6, м*
Шй
-8 •{—|—I—|—т—г- —I—1—п *
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 [,с
Рис. 2. АФЧХ оболочки и модели Рис. 3. Переходный процесс в оболочке при
импульсном воздействии
По переходным процессам можно найти максимальную (Атах) и статиче-
* ji
скую (Аи) амплитуды, откуда по формуле К* = найдем коэффициент
Ast
динамичности. Затем, найдя статическое напряжение (а5/), по формуле
K*os( = о тах находим максимальное напряжение,возникающее в рассматриваемом сечении.
Вывод: разработан спектральный метод динамического расчета оболочек вращения на базе конического конечного элемента при произвольном осе-симметричном нагружении и продольном соударении с препятствием.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Санкин Ю.Н. Динамические характеристики вязкоупругих систем с распределенными параметрами. Саратов, 1977.
2. Фридман В.М., Чернина B.C. Видоизменение метода Бубнова-Галеркина-Ритца, связанное со смешанным вариационным принципом в теории упругости // Известия АН
СССР. МТТ. 1969. № 1.
3. Санкин Ю.Н., Элертц О.О., Ряпосов А.Ю. Применение конического конечного элемента для расчета оболочек вращения // Прикладная математика и механика. Саратов,
шб,......."VГ'".....7" ' ^ ......" .V .- , • ,, . - »- =? '
4. Чернина B.C. Статика тонкостенных оболочек вращения. М., ] 968.
5. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М., 1975.
6. Санкин Ю.Н. Смешанные вариационные методы в динамике вязкоупругого тела с распределенными параметрами // Учен. зап. УлГУ. Сер. Фундаментальные проблемы математики и механики. Вып. 1(5). Ульяновск: УлГУ, 1998.
Санкин Юрий Николаевич, доктор технических наук, профессор кафедры «Теоретическая и прикладная механика» Ульяновского государственного технического университета, окончил физико-механический факультет Ленинградского политехнического института. Имеет монографии и статьи в области механики сплошных сред, теории колебаний и устойчивости движения.
Трифапов Андрей Евгеньевич, аспирант Ульяновского государственного технического университета, окончил механико-математический факультет Ульяновского государственного университета.
\
