CC BY
20
УДК 539.1 Ю.Н. САНКИН
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ВЯЗКОУПРУГОГО ТЕЛА С РАСП РЕ ДЕЛЕН НЫМ И ПАРАМЕТРАМИ
В предложенной работе обсуждаются методы решения нестационарных задач динамики вязкоупругого тела на примере стандартной вязкоупругой среды, предложенной AJO. Митинским, основанные на отыскании условия стационарности смешанного функционала, аргументами которого являются преобразованные по Лапласу обобщенные перемещения и обобщенные силы. В некоторых случаях элементы соответствующих матриц получаются точным интегрированием. Принципиальной особенностью предлагаемого метода является учет начальных условий. Вязкоупругая система может состоять из абсолютно упругих элементов, элементов, выполненных из тел Максвелла и тел Кельвина-Фойгта, и элементов, выполненных из стандартной вязкоупругой среды. Подобное рассмотрение необходимо при исследовании колебаний и устойчивости механических или электромеханических систем, содержащих элементы из композиционных материалов или сплавов, обладающих способностью к релаксации и ползучести.
V."
Уравнения динамики линейной вязкоупругой системы для «стандартной» среды в операторной форме можно записать следующим образом:
г'2 э< (О
CD* +CXD* — = о + —ст. 1 5/ 1 dt
Здесь D и D - операторы, сопряженные в смысле Лагранжа; ст— вектор обобщенных сил или тензор напряжений; w — вектор обобщенных смещений;/?- матрица инерционных характеристик или удельная масса; Т- матрица внешнего рассеялия энергии; /- вектор-функция внешних нагрузок; С и
С] - соответственно матрицы или тензоры упругих постоянных и коэффициентов внутреннего трения; 7] - матрица или тензор, характеризующие время
релаксации напряжений.
Граничные условия:
/2аа = fs на Sx, (2)
nuu = us на Sj)
где /7аи пи- соответствующие операторы статической и геометрической совместности на поверхности тела; fs- нагрузки на участке поверхности Sl; us - граничные перемещения на S2.
Условия совместности на границах конечных элементов:
, nG+a. + л0_ст_ = 0 на S[. (3)
Знаки «+» и «-» соответствуют различным сторонам границы сопряжения
элементов 5 •
Начальные условия:
и
о>
ди
- а\ •
(4)
*
Операторы В и й , сопряженные в смысле Лагранжа,
(5)
где =паа; и5 =пии; К- объем конечного элемента. В общем случае граница элемента £ = ^У^и^и^ • Для пространственного тела
Эа
О-л
А
д д +
\
да,
где ак-пространственные координаты; а = с у; и = и1; я = я,; с- Сщ Условие (5) может быть записано в следующем виде:
'¡'к ст^=1а4
/ 5м,- ди:4 ' + 7
/V
* ■
с/К - ^а^-г/уЛ.
г/,- = п8! на Б2 - граничные условия;
Тогда пру = fJ на ^,
+ = = 0 на 5,', где = ; а]у = а//+ - ; = или
и = - г/. = 0 на условия совместности на границах элементов. Второе уравнение системы (1) запишется так:
/
Ч
1 + т
Ъ1
г
/
=
1 + т
3>
ч
8 у + з^'
1 + т,—
2 дг
\
У
зк-ю
г
1 + т
ч
Ъг
/
при условии, что а^ =ЗКеИ, где т2 - время релаксации напряжений; т, = (1 + Ум/О; Ом - модуль сдвига для элемента Максвелла;С - модуль сдвига для элемента Фойгта; £ - объёмный модуль упругости.
Операторные уравнения (1), граничные условия (2) и условие совместности (3) справедливы для стержней, пластин и оболочек. Поэтому обсуждаемые здесь методы универсальны для всех прикладных задач линейной вязко-упругости.
Преобразуем по Лапласу уравнения (1), граничные условия (2) и условия совместности (3):
(С + Схр)0*и - С}В*а0 =(1 + 7]р)а - 7]а0,
"а ст = /,на51э
пии = на , + иа_сг_ = яаа' на ,
(6) (7)
(8)
I I
пи+и+ - = пии =0 на л2>
00 со
где ы = и[р)\ и(р)= о = с(р); а
о о
Справедлива следующая теорема: уравнения (6). граничные условия (7) и условия совместности (8) для обобщенных перемещений и обобщенных сил вязкоупругого тела, преобразованных по Лапласу, эквивалентны условию стационарности следующего функционала:
е(р) = 1 |[£>а + р2Яи + рТи - 2(/ + рЯа0 + В.ах + Та0)}' и(1У 2 у
+ - |ст7' - С*~{ (/ - 7| р)а - 2С*"1 (с, - Г,а0 + 2 у
+
(9)
+
^ о/ ег
где С = С + С}р; V- объем элементов на которые разбито тело. Функционал
(9) обобщает результаты работы [1] на задачи вязкоу пру гости. Кроме того, здесь символ суммирования по элементам, следуя Прагеру [2], опущен. Вариация функционала (9) имеет вид
8е(р) = {[оа + р2Яи 4- рТи - (/ + рКа0 + Иа} + Та0 )]Г Ъис1У
+
V
+ |8аг [э\( - С'х (/ + Тхр)а- С*'] (с{О*а0 - Тха0 +
V
+ /М-Л)7 - ДиабаП^и-^)^ +
5, 52
(10)
Принимая во внимание, что вариации 5и и 5а в области V на поверхностях независимы, получаем преобразованные по Лапласу
уравнения (1), граничные условия (2) и условия сопряжения (3) или соответственно уравнения (6), условия (7) и (8).Будем искать решение вариационной проблемы в виде рядов:
п гп
а = (11)
1=1 у = 1
где г], = > М-у = \х]{р)> а/ = а/(а) и) = м/(а)' а ~ пространственная координата.
Число рядов (11) меньше или равно числу областей V, на которые разбито тело, так как они могут перекрывать одна другую.
11одставляя вариации
п т
5а = ,8м = £бцу-иу-
«=1 у=1
в выражение Ье[р), получим следующие вариационные уравнения:
{[£>ст+ргЯи + рТи - (/ + рЯа0 + Яах + Та0)]* и} дУ +
V
+ + |(«0а')7'Пии^[ = 0, у
я
К к" - - ^ - С*"1 (су->4 - Г,а0 -
- - а/ У пии'с13'2= 0, /=1,И.
Полагая р = /со, / = V—I, вычисляем таблицы комплексных функций И, = л,■(/«) и р,- = р;(г<в). Затем, численно интегрируя, находим оригиналы П,(/) и р,-^), после чего по формулам (11) получаем а и и как функции времени:
П Ш
/=1 у=1
Рассмотрим случай одного независимого поля. Следуя вариационному методу, будем искать решение в форме
т т ( \ * = Ецу^у , а = + М СЧ ~ (7+ ^р)"' МЧ - Г,а0). (13)
Вариации г/ и а будут
т «
5г/= £5цу.иу, бст = £5цу(/ + Г1,р)-,С*£>\.. (14)
Выполнив физические соотношения и удовлетворяя условиям совместности деформаций на границе между элементами, принимая во внимание условие (5), выражения (13) и (14), получим, согласно (10):
+тхРу [с'о\ - +Г^оГ \}У+
г 1Г _ (15)
+ Цр2Кы + рТи - (/ + рЯа0 + Я»о, + Та0)] и^У + |/57 пии^х, у = 1, т.
к
Уравнения (15) - обобщенная форма уравнений метода конечных элементов, основанного на узловых перемещениях. Число таких уравнений равно числу узловых перемещений или, иными словами, числу степеней свободы N дискретной модели. Из уравнения (15) получаем соответствующие выражения для аналогов матриц жесткостей и рассеяния энергии, матрицы масс и нагрузочных членов:
V V
Ь; = \iTuJujdV, щ = ¡(Ли,)Ти^У, (16)
V V
/, = ¡{/ + рЯа0+Яах + Та0)Ги^У + |[(/ + Т1рУ1СО*а0] В* и ¿У + ]//и^.
V V
Рассмотрим структуру передаточной функции вязкоупругого тела выполненного из «стандартной» среды. Заметим, что матрица I + Т{р = /(1 + т]р)-
диагональная. Поэтому её обратная будет
{1 + Т]Р)-]=1[1/(1 + т,р)}
Исключим из первого уравнения (6) напряжения:
(1 + т2р)р2Яи<+ р[(\ + т2р)Г+ 0^*^ + 000* и = ^^
= (1 + ЧрУ ~ о + ах)+Та0]+ £>(с,£>4 - т2а0). , Приближённое решение уравнения (17) в виде ряда по собственным формам колебаний может быть представлено следующим образом:
„ + + Я{ра0+а])+Та0] + о{с1О'а0-х2о0)}Ги^У
" = Е--г---Т-1-1---9-и,- (18)
(О+ърУър2+1(1+ЧРК+^+1К1К11
где 'Г* = '/со? ||2; Ти = /(С,0\)ги#У /со? |\щ ||2;
V / V I
IIЧ Ц2== Д^и,У и^У ; - форма колебаний; со,- - собственная частота;
V
а7 =| х,у, г | - пространственные координаты.
В формуле (18) предполагается, что Г = Л1Л + ГФ> С^^С + С*, гДе &1,/с2 - постоянные коэффициенты, || 7* ||«|| ГЦ, || С* ||«|| С ||.
Для тела Кельвина-Фойгта, когда т2 = 0, уравнения (15) могут быть записаны в виде следующего матричного уравнения:
(Мр2 + Вр+С)д = /(р) + /, 4- /2/>, (19)
где М Н ^ ; 5 ; соответственно
матрицы масс, рассеяния энергии и жесткостей; N - число степеней свободы системы.
Коэффициенты матриц тг х9 Ьг ч, равны нулю, если индексы
принадлежат разным элементам У. При г = 5 осуществляется суммирование по всем элементам, сходящимся в узле. Сказанное относится к выражению /(р),/|, и /2. Вектор <7 еС/Ух1- вектор преобразованных по Лапласу
узловых перемещений; /(/?)= {//«^¿/Я, еСДх1, - пре-
образованный вектор возмущающих сил;
/х = \(Яах +Та0)ти^У+ &СхО\)о\аУ9/2 = ¡{Яа0)ти^Уу = - '
V V V
векторы возмущений, вызванные полем начальных смещений а0 и полем на-
чальных скоростей а0. Знаки суммирования в выражениях /(р),/{9 и /2 по
элементам, сходящимся в узле, опущены.
Рассмотрим схему решения задачи о соударении вязкоуиругой системы, состоящей из тела Кельвина-Фойгта, с жестким препятствием. Для этого предположим, что /(/?) = 0 и, кроме того, выполнены следующие условия:
В = 1ХС + 12М + В{, /р/2 = ^^(^¡»¡В^. (20)
Результат решения системы уравнений (19) для г-й обобщенной координаты [г = 1,может быть записан в следующей форме [3]:
К (Р) - I + УР =К,(Р)+ Р*Л {р). (20
Здесь инерционные постоянные /-то колебательного звена; 7] у- постоянные рассеяния энергии; постоянные коэффициенты, которые определяются начальными условиями; п-число существенно проявляющих себя членов ряда (21). Обычно п«М. Положим в уравнении (19) р = №. Решая уравнение (19) для множества значений соА. = со0 -ь&Асо,
к = 0, /с — 1, строим в комплексной плоскости кривые дг =#Д/со). Эти кривые
называются амплитудно-фазо-частотными характеристиками (АФЧХ). АФЧХ
может быть построена отдельно для ^(/со) и Й^О®)*
Постоянные в (21) определяются, используя экстремальные точки АФЧХ при помощи формул [3, 4]:
(22)
КгЛ=-(Ти/Т21)ттЖг2(а>^ Здесь со у тах — первый экстремум ЯеИ^/а)) для у-го члена в ряду (21); со собственная частота, которая может быть определена как экстремум
Ьпй^ю); тЖ^соу) и £)1тЖг2(соу|- вертикальные размеры у-й петли
соответствующей АФЧХ.
Как правило, число Ыг существенно проявляющих себя петель АФЧХ намного меньше N.
Обратное преобразование Лапласа согласно формулам (22), когда
Nr < N , может дать высокую точность, не прибегая к численному обратному
преобразованию, использующему табличные значения АФЧХ.
Если условие (20) не выполняется, то формула (21) не может быть получена. Тогда для получения переходного процесса по г-й обобщенной координате может быть использовано обратное преобразование
Разработанные методы послужили основой, например, для решения задачи динамики сваи при забивке [5] и при соударении стержня с препятствием [6], причем формулы для динамических жесткостей стержня были получены точным интегрированием.
1. Reissner F. On Some Variational Theorems in Elasticity. Problem in Continuum Mechanics. SLAM, 1961.
\
2. Prager U. Variational Principles of Linear Elastostatics for Discontinuous Displacements, Strains, and Stresses. Recent Progress in Applied Mechanics. The F. Odquist Volume, N.Y.,
3. Сапкии Ю.Н. Динамические характеристики вязкоупругих систем с распределенными параметрами. Саратов: СГУ, 1977. 309 с.
4. Способ определения относительных коэффициентов демпфирования механических и электромеханических колебательных систем / 10. Н. Санкин, Н. Ю. Санкин. Патент №2093808 от 20.10.97.
5. Каталымов 10.В., Санкин Ю.Н. Определение напряжений в сваях при ударном погружении в грунт// Механика и процессы управления. Ульяновск: УлГТУ, 1996. С.38-43.
6. Санкин Ю.Н., Лебедева H.A. Продольные колебания стержней ступенчато-переменного сечения при соударении с жестким препятствием // Механика и процессы управления. Ульяновск: УлГТУ, 1998. С. 64-72.
Санкин Юрий Николаевич, доктор технических наук, профессор кафедры «Теоретическая и прикладная механика» Ульяновского государственного технического университета, окончил физико-механический факультет Ленинградского политехнического института. Имеет монографии и статьи в области механики сплошных сред, теории колебаний и устойчивости двиоюения.
где qr (/со) берется согласно графику АФЧХ.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1967.
УДК 539.31
Ю.Н. САНКИН, А.Е. ТРИФАНОВ
РАСЧЕТ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ ПРИ УДАРЕ О ЖЕСТКОЕ ПРЕПЯТСТВИЕ
Предлагается частотный метод решения задачи о колебаниях оболочек вращения с учетом рассеяния энергии при произвольном силовом погружении и при соударении с жестким препятствием.
Уравнение колебаний оболочки вращения преобразуется по Лапласу при наличии ненулевых начальных условий. Для полученного неоднородного дифференциального уравнения вариационным методом решается краевая задача, заключающаяся в нахождении преобразованных по Лапласу краевых поперечных и продольных сил и изгибающих моментов как функций краевых перемещений. Затем составляются уравнения равновесия узлов, которые представляют собой систему уравнений для неизвестных узловых перемещений, то есть соответствующих уравнений метода конечных элементов (MIO). Решая полученную систему уравнений при р = ко, где р - параметр преобразования Лапласа, со - частотный параметр; строим амплитудо-фазо-частотные характеристики (АФЧХ) для интересующих сечений оболочки. Поскольку все особые точки соответствующих выражений лежат левее мнимой оси, обратное преобразование можно осуществлять, полагая р =т ico, т.е. используя построенные АФЧХ. Задача по построению АФЧХ, где в качестве силового воздействия фигурирует поле начальных скоростей, ум/южеиное на погонную плотность оболочки, является вспомогательной. Обычно АФЧХ строятся от воздействия возмущающих сил, затем численным интегрированием или каким-либо иным способом осуществляется обратное преобразование Лапласа. Известно, что каэюдому витку АФЧХ соответствует один член ряда в разложении по формам колебаний [I]. Meoicdy экстре-мальньши точками АФЧХ и коэффициентами соответствующих членов ряда существует однозначная связь, которая используется в настоящей работе для осуществления обратного преобразования Лапласа. Описанный выше подход позволяет решать нестационарные задачи динамики оболочек вращения при произвольном силовом погружении., приложенном по длине оболочки, а таю/се при ударе о жесткое препятствие.
Уравнения гармонических колебаний оболочки вращения могут быть записаны в виде [2], [3], [4]:
Ax-a>2Rx~f = 0, СА*у = х, (1)
где хТ = \TífT2,S,MvM2,H\ - вектор усилий ; 7|,М, и Т2,М2 - меридиальные и окружные растягивающие усилия и изгибающие моменты;
н н н + н
S = Sl2--— = S21--Я = ——-2L; ,SI2,S71,#I2,#91 - касательные
R2 R} 2
усилия и крутящие моменты; ут = u,v,w| - вектор перемещений; и - перемещение по касательной к меридиану; v - перемещение по касательной к параллели; w - нормальное перемещение; /7 = \quq2,qn\ - вектор внешней нагрузки; qvq2iqn соответствуют по направлению составляющим вектора пе-
