Частотный метод динамического расчета антенно-мачтовых сооружений как систем с распределёнными параметрами при произвольных ветровых возмущениях Текст научной статьи по специальности «Математика»

стей сечений х = 0 и х = 1 составляет величину

ДУ=—, 1 = 1,2,3,...

21-1

При \ > 50 (соответственно, при I > 50-21/а)

ДУ составляет величину около одного процента и этой величиной ¡можно пренебречь, считая, что скорость сечений стержня практически одинакова.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Манжосов, В. К. Движение однородного стержня при действии постоянного давления на торце / В. К. Манжосов, Н. Б. Мартынова // Вестник УлГТУ. - 2001. - №3.-С. 88-91.

2. Саченко, А. И. О некоторых особенностях исследования процесса движения деформируемого твёрдого тела под действием силы, приложенной к его боковой поверхности / А. И. Саченко, В. С. Игропуло // Вестник Ставропольского государственного университета. - 1997. -№ 11.-С. 89.

3. Саченко, А. И. Описание ускоренного движения деформируемого твёрдого тела на основе волновых процессов, возникающих при воздействии постоянной силы на его поверхность

(торец) / А. И. Саченко // Вестник СевКавГТУ. Серия физико-химическая: Ставрополь. - 2003. Вып. 1(7).-С. 64-72. 1

Манжосов Владимир Кузьмич, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Теоретическая и прикладная механика» Ульяновского государственного технического университета. Имеет монографии и статьи в области динамики механических систем переменной структуры, продольного удара в стержневых системах, преобразования продольных волн деформаций в механических волноводах.

Саченко Александр Иванович, инженер-программист в НИПИ Статинформ Росстата (г. Москва). Имеет статьи в области динамики и кинематики деформируемых твёрдых тел (ДТТ), продольных волновых процессов в ДТТ типа стержней, описания движения ДТТ с позиции эволюции волновых процессов (продольных волн) в этих локальных физических телах.

Слепухин Виталий Владимирович, аспирант Ульяновского государственного технического университета.

УДК 539.1

Ю. Н. САНКИН, Н. Т. ГАФУРОВ

частотный метод динамического расчета

антенно-мачтовых сооружений как систем с распределёнными параметрами при произвольных ветровых возмущениях

Предлагается частотный метод решения задачи о колебаниях антенных опор сотовой связи, представляющих собой стержни переменного сечения, с учётом рассеяния энергии и сжимающих сил, при произвольных ветровых возмущениях. Данный подход позволяет решать нестационарные задачи динамики стержневых систем при произвольном ветровом нагруэюении.

Ключевые слова: опора антенная, стержневые системы, ветровые возмущения.

При ветровом воздействии в антенно-мачтовых сооружениях (AMC) происходят сложные колебательные процессы, зависящие от многих параметров, таких как особенности кон-

© Ю. Н. Санкин, Н. Т. Гафуров, 2007

струкции и тип нагружения AMC, тип основания AMC, форма ветрового воздействия и др.

В данной работе предлагается использовать частотный метод для решения задачи о колебаниях AMC с учётом рассеяния энергии при произвольном ветровом нагружении с учётом вышеперечисленных факторов.

Площадка обслужЛания

+22.000

Ходобая лестница

ж/6 столб СК-26

от

-4.000

\

:

4-

+

22 20 18

№ 16

1ы и

а: 12

Г

1 Ю

1 | §

\ 1< 1 8

г 6

} (

} 2

i» 0

У////////А У///////ШУ////А о

£

22 20 18

16 И

12 Ю 8

' 6 4 2 О

(00 800 1200 1600 Ветробоя нагрузка, Н/н'

О (00 800 1200 1600 Распределенная нагрузка, Н/м

Рис. 1. Расчётная схема антенной опоры типа СК-26

В качестве примера рассматривается антенная опора переменного сечения в виде железобетонного столба заводского изготовления типа СК-26. Расчётная схема для приведена на рис. 1.

На представленной расчётной схеме Ъ -крайний узел стержневой системы с сосредоточенной массой, кроме того, в узле Ъ действует сосредоточенная ветровая нагрузка и сосре-

ф

доточенный момент вызванный этой же силой. Также приведены графики ветровой нагрузки согласно СНиПу и распределённой по длине нагрузки с учётом изменения диаметра опоры.

Уравнение колебаний преобразуется по Лапласу при ненулевых начальных условий. Для полу-ченного неоднородного дифференциального уравнения точным интегрированием решается краевая задача, заключающаяся в нахождении преобразованных по Лапласу краевых сил и моментов, как функций краевых перемещений. Затем составляются уравнения равновесия узлов, которые представляют собой систему уравнений для неизвестных узловых перемещений, то есть соответствующих уравнений метода конечных элементов, согласно методике, изложенной в [1, 3].

- В11кик_, + (А°к_1к + А°кк+] )ик - В1+1ик+, -

-<о21кик=Кк-В11к[ик_1]-В^+1[ик+1], (1)

где

А

о

к-¡к

Г

\

Ск-1к

-Г

^к-1к

-С

\

к- 1к

/I

А° = кк+1

/

^кк+1 Скк+1

\

к-1к У

; и, =

/ \

\

ф к)

• в0 -' пк-1к -

г

н

к-1к д

А.

\

к-1к

/

в° =

1-Ъл ) —

кк+1

Н кк+1 ^кк+1

А

\ — к-1к \ /

Вк-}к ,

кк+1 &кк+1 к - номер узла.

/

; Л =

т

О

\

\

О У

к У

Постоянные А, В, С, Д О, Н определяются по начальным и краевым условиям на каждом конце стержня по формулам:

Л-кк+1 = Чк+! " С1кк+1> В кк+1 = Чк+1 ' ^кк+1 >

с

I

кк+1

кк+1

Кк+1

Скк+1 > ^ кк+1 ~~

I

(2)

1Ы-

в

1

кк+1

кк+1

И

2

кк + 1

ёкк + 1' Нкк+1 ~~

кк+1

^ кк+1 ¡2

1кк + 1

•/7

кк + 1

^ кк+1 —

кк+1 и кк+1

I,

кк+1

акк+1 ~ (*ичр ' ~ ^фф ' к\\>() )' ' > ~ ' * >

С**+/ ~ (^ичг ' Кд ~~ К» ' )' 1' = ^фб ' * > ^ 8кк+1 - [Кш ' ~ К* ' )' { » = ^срМ ' ' 5

-~ = к2 -к •к

где коэффициенты /с/7 - элементы матрицы переноса, определяемые для случая колебаний тонкого сжатого стержня; 1кк+1 - длина стержня, соединяющего к-й и (к+])-й узлы; Екк+1^кк+1 -

жёсткость соответствующего стержня при изги-бе; ,1кк+1 - момент инерции поперечного сечения

стержня; тк - сосредоточенная масса в /с-м узле; 3к - момент инерции сосредоточенной массы в /с-м узле; Рк - сосредоточенная сила, приложенная в к-м узле; Мк - сосредоточенный момент,

приложенный в к-м узле; [{Jk ] =

/

ч

к г ы

вектор

перемещений от местных нагрузок.

Необходимо отметить, что при подстановке значений [ц?к ] и [срА.] в уравнение (1) следует различать направление их действия от начала к концу стержня, либо наоборот. Расчётная схема стержня с положительными направлениями нагрузок в плоском случае показана на рис. 2.

E-J

E-J

J 4 $2

+ 7 \р(s)■ к„Q{s)ds \

х

E-J

E-J

l

4 S2

x (1-- ?,) ■+ E — \p(s) ■ £we (1

S

i2

. X

X

fe,) ■- z j^j \p(s) ■ Km (,) ds ; (4)

S

k 1=^rZ а • КЛ> -ч, )--=4l ■

х

E-J

E-J

м

Рис. 2. Расчётная схема стержня

Решая полученные уравнения при р = г- со,

где р - параметр преобразования Лапласа, со -

частотный параметр, строим амплитудно-фазо-частотные характеристики (АФЧХ) для интересующих точек стержневой системы.

Известно, что каждому витку АФЧХ соответствует один член ряда в разложении по форме колебаний [2]. Между экстремальными точками АФЧХ и коэффициентами соответствующих членов ряда существует однозначная связь, которая используется в настоящей работе для осуществления обратного преобразования Лапласа.

к

W(ico) =

-TM22<o2+ia>Tn/+l

где кп - коэффициент усиления; Тп1,Тп2 - постоянные времени.

Т =

1 п2

1

1

0)

1

Г

т -----

1 nl

4.805

2 ^

= 0.208;

j

\

СО

1

Т -

1 п2

/

1-

'4.727л

ч

\

4.805

2^

У

/

■0.208 = 6.715- Ю-3;

А„ = - Im(lV(i(o j)) = 18.424 ;

К = а =

= 18.424 • 6.715 ■ 10'3 ■ 4.805 = 0.594 .

АФЧХ, полученная решением системы уравнений (1), и зависимость

ш(. ч _0J94_

WU (О ) =-Г-г---

-0.208 -со + б.715■ 10 • /со + / приведены на рис. 3.

Как видно из графика, имеет место хорошее качественное и количественное совпадение АФЧХ, построенных точным и приближенным методами. В рассматриваемом случае доминирующим является один виток АФЧХ, поэтому достаточно одного члена ряда разложения по формам колебаний, а это в свою очередь означает, что система ведёт себя как система с одной степенью свободы.

Kí

03

i-

4

£ E

Re(W(iw))t м/рад

АФЧХ, построенная методом сил АФЧХ, построенная частотным методом

Рис. 3. АФЧХ стержневой системы, с указанием

экстремальных точек

Для учёта продолжительности действия ветровой нагрузки производится прямое преобразование Фурье, кроме того, для уменьшения погрешности расчёта в уравнение формы ветрового воздействия вводится интервал нулевого нагру-жения (рис. 4).

Крпйая * правого я егмушиш* J" Лшгроьсиммроя динм xpJtta* ьстроюго шопмущснии

О

0 2$

0 7<

/ /2$ /.< /7.«

I» с

' { * 7S

» • I* f 4' Г /•»

Рис. 4. Кривая ветрового возмущения

Обратное преобразование Фурье выполняется по формуле

Tl

х(1) = -Яе \}У{т)-Ке ¡(Ж)-е4"1 Ж • ешб/со , (5)

71 о

где л/- функция переходного процесса; IV(/со) - передаточная функция стержневой системы; Тк - период действия ветрового нагруже-

ей •

Дискретная форма обратного преобразования Фурье используется с целью уменьшения времени расчета и даётся формулой

лт

ния

тс

п=0

X

Л'/-/

m =0

2 я/

w-A

в ";, (6)

где Доз - шаг разбиения передаточной функции по частоте; N - число равных интервалов

разбиения полосы пропускания передаточной функции; п - номер интервала разбиения полосы пропускания; Д/ - шаг разбиения периода действия нагрузки по времени; М - число равных интервалов разбиения периода действия нагрузки; т - номер интервала разбиения периода действия нагрузки; 1к - дискретное значение

момента времени, в котором определяются параметры переходного процесса; к - номер интервала разбиения временного периода.

Следует отметить, что время расчёта не зависит от параметров системы, формы воздействия, а зависит только от числа участков разбиения, т. е- от чисел N и М.

Для сравнения результатов расчёта воспользуемся формулой для определения реакции системы с одной степенью свободы на действие произвольной силы:

x(t) =

1

т • к

i

\Q(t--x)dx , (7)

I о

т2

где m = -

П

0.2082 0.594

-0.073 - приведённая

масса исследуемого участка стержневой системы; т - момент времени приложения текущего элементарного импульса нагрузки;

к, = л/к2 - п2 - приведённая круговая частота;

1

1

7, 0.208

= 4.808 - частота сво-

п2

незатухающих

колебаний;

Т.

п =

и 1

6.715-10

-3

2- m

2 ■ Т2

¿ п2

2-0.2082

= 0.078 ~ приве-

дённый коэффициент сопротивления среды.

к, = ^4.8082 - 0.2082 = 4.807. -

Графики переходного процесса, описываемого уравнениями (6) и (7) для верхней точки антенной опоры, представлены на рис. 5.

1 к

Рис. 5. Графики переходного процесса

■ /7лчч vá*& HpótJAV. iiCJ\'«xxtoft f;i*¿Spátc¿i7>tin\u 'Tnpw - - - • Лсуподи:) промесс «kьпу+хн&н o »• Sixcmi'

Крн&к. c&npovoco LT.< i ihpoKci: wpcccHhito sptl&d efmpo&co ot&vi i.'ivwtf

; <-

r. f

Рис. 6. Графики ветрового возмущения и переходного процесса

На рис. 6 показаны графики ветрового возмущения и переходного процесса, соответствующие последовательному нагружению системы.

В данном случае доминирующим фактором при оценке напряжений в AMC является значение изгибающего момента у основания опоры. Изгибающие моменты и поперечные силы для любой точки стержневой системы можно определить, воспользовавшись формулами метода перемещений [3]:

к=„ - в:ки к+в:к[и к],

(8)

R°k = AlUк - B°,U„ + B°kn[UX

где R°n =

/

\

а,

-м

\

П /

? Кк —

/

V

-е»

м

\

; индексы п и к -

к У

соответственно индекс начала и конца стержня согласно рис. 2.

В рассматриваемом случае определяется значение изгибающего момента в начале стержня 0-1 (узел 0 согласно рис.1) по заданному перемещению и углу поворота конца того же стрежня (узел 1), поэтому уравнение (8) в развёрнутом виде:

- Мп = С „к *>„ + А*Ф„ - Ки + + В0пкц>к+П0пк[м>к]-В°пк[(рк]. (9)

Разрешая это уравнение при и',, и ф„ равных

нулю, и. аналогично вышеизложенной методике, строим АФЧХ для решения уравнения (9) и для ряда в разложении по форме колебаний

4.641-105

W (/'со) =

0.2082 ■ со2 + 6.526 -10~3 ■ /со +1

с* rt а.

2 #

- м ¥

- МО

1*10

- 1.5*] О

Re(\V(iw)), Н*м/рад АФЧХ, построенная методом сил

------АФЧХ, построенная частотным методом

Рис. 7. АФЧХ изгибающего момента стержневой системы

Затем строится переходный процесс по изгибающему моменту для рассматриваемой точки стержневой системы от ветрового возмущения, показанйого на рис. 6.

—— П*р*лодч;) процесс, тя чтный ¡/рсоо^с^аиием Фррие П<рооон(% upiVfcvc. ito.nvtbvbifici* KUOHMKV <.»vwe*

j i *

4 ^»- *

-W*

Г

Рис. 8. График переходного процесса по изгибающему моменту

Нормальные напряжения в рассматриваемом поперечном сечении находятся по формуле

М.

CT =

тах

w.

(10)

где [а(<] - допускаемые изгибающие напряжения для материала опоры;

М____=0.823 МН

z шах

из-

гибающего момента, определяется по графику переходного процесса но изгибающему моменту;

- момент сопротивления поперечного сечения, для кольцевого сечения определяется:

32

D

гЗ

3,14 -0,65' 0,22' .

=-(1---) = 0,0266 м

32 0,654

с1 - внутренний диаметр кольцевого сечения; £) - внешний диаметр кольцевого сечения.

Подставляя все полученные значения в формулу (10), имеем:

0,823 МН -м

а =

0,0266 м

- 30.468 МПа.

Видно, что при заданных ветровых возмущениях данная конструкция удовлетворяет условиям прочности по изгибающим напряжениям.

Выводы:

1. Разработана методика построения переходного процесса антенных опор сотовой связи, представляющих собой стержни переменного сечения с учётом сжимающих сил, при ветровых возмущениях.

2. Предложенная методика позволяет учесть особенности конструкции и тип нагружения AMC, тип основания, форму ветрового воздействия и имеет более простую реализацию по сравнению с ранее разработанными методиками.

3. Отличительной особенностью данного метода является то, что в уравнение переходного процесса АФЧХ входит в явном виде, что заметно снижает вычислительные затраты.

4. Предложенная методика построения математической модели AMC предназначена также для оценки форм и частот колебаний опор с учётом различных нагрузок и позволяет определять усилия, возникающие в AMC.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Санкин, Ю. Н. Динамические характеристики вязко-упругих систем с распределёнными параметрами / Ю. Н. Санкин // Саратов : Издательство Саратовского университета, 1977. - 312 с.

2. Санкин, Ю. Н. Случайные колебания виброзащитных систем / Ю. Н. Санкин, С. Л. Пирожков; - Ульяновск : УлГТУ, 2000. - 83 с.

3. Санкин, Ю. Н. Нестационарные задачи динамики стержневых систем при внезапном на-гружении и соударении с препятствием / Ю. Н. Санкин // Механика и процессы управления : сборник научных трудов. - Ульяновск : УлГТУ;2005.-С. 67- 80.

Санкин Юрий Николаевич, д-р техн. .наук, профессор, действительный член Российской Академии инженерных наук и Академии нелинейных наук, профессор кафедры «Теоретическая и прикладная механика» УлГТУ. E-mail: [email protected]

Гафуров Наиль Талгатович, аспирант кафедры « Теоретическая и прикладная механика» УлГТУ. E-mail: [email protected]

УДК 528.06

С. Г. ВАЛЕЕВ, Ю. Е. КУВАЙСКОВА

использование arch-структур и фильтра калмана для. моделирования динамики технико-экономических показателей

Описываются алгоритмы и программное обеспечение для построения комплекса моделей условной гетероскедастичности и модели фильтрации Калмана, расширяющих подход динамического регрессионного моделирования временных рядов и позволяющих строить статистические модели показателей процессов в технике и экономике; эффективность программных модулей иллюстрируется на примере моделирования временного ряда доходности индекса Российской Торговой Системы (РТС).

Ключевые слова: динамическое регрессионное моделирование, временной ряд, условная гетероскеда-стичность, вАЯСН, авторегрессия, фильтрация.

О С. Г. Валеев, Ю. Е. Кувайскова, 2007