CC BY
10
УДК 539.1
Ю.Н. САНКИН, С. А. ЯВКИН
ЧАСТОТНЫЙ МЕТОД МОДЕЛИРОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ЛИНЕЙНОЙ КОЛЕСНОЙ МАШИНЫ
Предлагается частотный метод решения задачи о колебаниях линейной колесной машины при детерминированных и случайных возмущениях со стороны дорожного профиля. Модель представляет собой систему твердых тел, соединенных упругими элементами. В качестве упругого элемента могут быть как сосредоточенные жесткости, так и стержневые элементы, в которых учитываются распределенные параметры. Дифференциальные уравнения преобразуются по Лапласу при ненулевых начальных условиях. Решается полученная система уравнений при p=i со, где р - параметр пре-образованш Лаппаса; со - частотный параметр; строится амплитудно-фазо-частотная характеристика (АФЧХ). Обратное преобразование Ла-таса осуществляется, используя экстремальные точки АФЧХ, или численным интегрированием.
Задачи движения транспортных средств ио неровному пути представляют большой прикладной интерес. При движении транспортных средств (колесных машин) по неровной дороге на элементы подвески действуют большие нагрузки, которые в свою очередь уменьшают долговечность элементов подвески и транспортного средства в целом. Колебания колесной машины при движении по неровной дороге оказывают влияние на состояние водителя и пассажиров, а также на сохранность перевозимых грузов. В связи с этим вопрос расчета динамических характеристик еще на стадии проектирования транспортного средства является актуальным.
Для составления разрешающих уравнений воспользуемся методом перемещений. однако вместо традиционной формы (1). когда рассматриваются задачи статики и задачи о вынужденных колебаниях, в соответствующее уравнение узлов, с учетом их размеров, будем подставлять матрицы динамических жестко-стей стержней, преобразованные по Лапласу.
Задача динамики вязкоупругой системы, в том числе и системы, включающей сосредоточенные массы, эквивалентна условию стационарности смешанного функционала для обобщенных сил и перемещений, преобразованных по Лапласу [1,2]:
+■' \ст - С' V- 2С-'С^^У 41 - (1)
' ч,
- К*-+ - /(и> / л,и©, -1 |(п,сг]г
4 <
где С = С + С{р; V - объем элемента, на которые разбито тело; 5* = 5, (15, (18',' (182 - граница элемента; а - вектор обобщенных сил или тензор напряжений; и - вектор обобщенных смещений; R - матрица инерционных характеристик или удельная масса; Т - матрица внешнего рассеяния энергии; / - вектор-функция внешних нагрузок; С и С, - соответственно матрицы или тензоры упругих постоянных и коэффициентов внутреннего трения; па и пи - соответствующие операторы статической и геометрической совместности на поверхности тела; fs - нагрузки на участке поверхности ; ш - граничные перемещения на 82.
Вариация функционала (9) имеет вид £е|» = |[Во + р2Яи + рТи-(/ + рЩ + Да, + Гст0)]' ■+
¡&тг (П'и ■ С'-'сг - В\ - " Л У ■
(2)
л* л ^
В случае одного независимого поля и, следуя вариационному методу, получим
\\{СП'и-}' -¡-Гр2Яи + рТи-(/т р&ь Щ + Тъ)Ти.\сГ/ -
; _ (3)
*
Уравнения (3) - обобщенная форма уравнений метода конечных элемен-тов, основанного на узловых перемещениях. Число таких уравнений равно числу узловых перемещений или, иными словами, числу степеней свободы N дискретной модели.
Уравнения движения (3) могут быть записаны в виде одного матричного уравнения
(Лф- + Вр * с}* = Др)+А +/7р (4)
Где и 'Ли^Р* Я лЛ^ид Г^-М,* - соответствено
оматрицы масс, рассеяния энергии и жесткостей. Причем элементы этих
матриц тге, Ьг t, crs равны нулю, если индексы г^ принадлежат разным элементам.
При г = s осуществляется суммирование по всем элементам, сходящимся в узле. Сказанное относится к выражению £р), / и Д2. qeCN*] - вектор преобразованных по Лапласу узловых перемещений;
зованный вектор возмущающих сил;
л * /Сц + 7ац)г + /(с,^^= и/У еи ~
векторы возмущений, обусловленные полем начальных смещений а0 и полем начальных скоростей аг Знаки суммирования в выражениях/(/?), & и /2 по элементам, сходящимся в узле, опущены.
Рассмотрим отдельный стержень (рис. 1), имеющий две оси симметрии. Сопоставим с ним местную систему координат ^(^,2), совпадающую с его главными центральными осями. 2
№
Совокупность формул метода перемещений для краевых усилий в точке п, с учетом кручения и продольных деформаций [2]:
^ = [А*] - С^ - + с^ ; = Рй* I+4*4+г^А - с^у. + .
где и,у,\»,&,у/,ф - соответственно перемещения и углы поворота относительно местных ос&л(х,у,г).
Коэффициенты динамических жесткостей стержня, входящие в уравнения (5), берем из работы [2].
С учетом [/?^ = В1к[и1\ уравнения для отдельно взятого стержня в матричной форме можно записать [2]:
(6)
где Апк,2?7к - матрицы динамических жесткостей стержня;[С/°] - вектор перемещений конца стержня от местной нагрузки.
В общем случае пространственной стержневой системы векторы включают все шесть компонент усилий и перемещений.
Матрицы А1к и ВЦ таковы:
=
А. Ч 0 0 0 3 0 0 о о 9
о с- 0 0 а С* и о о
О 9 0 0 0 0 а. -с-0 0 с А- 0 о 0 с Я« 0 Я. 9 О 0
о о "«и 9 0 0 0 9 О 9
о С.-» 0 9 0 -Л. и 0 -а.
Матрица Айпк - симметрична относительно главной диагонали, а матрица В"к - кососимметрична. Нижний индекс перед буквами пк у коэффициентов этих матриц указывает поперечную ось стержня, относительно которой вычисляются коэффициенты жесткости.
Согласно методу перемещений, после того как найдены краевые реакции стержней через вынужденные перемещения его концов, необходимо составить условия равновесия узлов. Таким образом, с учетом
" 4*т
уравнение (6) в единой системе координат можно записать так:
- "Т^яит - п^В^ли,
где п - матрица направляющих косинусов.
Введем матрицу инерции узла в виде »00 & (Н А
{8)
М-
0;л [I 0 0
о о™ с а
ооо л -л
ооо-^ 2У -}>
О О О X
Учитывая (4), (7) и (8), получим уравнение движения системы с учетом распределенных параметров. Характерная матричная строка которого [3 ]:
(9)
= /00 I +
Где ■■ - вектор перемещений конца стерж-
ня от местной нагрузки, определяется по формулам [2];
100 0 г, -у^ 010-л., 0
О®1 К -х* 0 ООО 1 ПО |000 0 [ 0 ¡009 0 и !
л.
Ь-
|!оо о
Ш-гь 0 та
Л 0
ООО ! 0 о
роо о 1 о
ОТО С О 1
Ь, Ьк- матрицы переноса линейного перемещения; х,у,7 - расстояния до центра масс соответствующего твердого тела.
Геометрический смысл матриц Ln,Lk (рис. 2) заключается в том, что с их помощью определяются поля малых перемещений точек твердого тела через три проекции малого перемещения полюса и три проекции малых углов по-ворота вокруг полюса.
? Система ксюоднивт при «ндайюнии доу* гаи упругинисдеки.
Уравнение (9) справедливо для упругого стыка, если рассматривать его как некоторый фиктивный стержень.
Пусть твердые тела соединены между собой сосредоточенными жесткостями
С,С,С,С,С,СС,С
Первыс три жесткости препятствуют линейным смещениям, а три других - угловым. Введем матрицу сосредоточенных жесткостей:
С.. ООО О О ! ос, о о о о о <0 Сс о о о 0 0 0^00' 0 0 0 0 & ,0000 о С™|
Учитывая линейные преобразования, получим
Для построения переходных процессов [4] мы можем воспользоваться обратным преобразованием Лапласа или выполнить численное интегрирование при 1=0,1,...,:
Л*
А =11 С£ -&си
ци;
и(хг / ) = ! ш (ц)
К й
С целью оценки эффективности предложенной методики рассмотрим расчет плоской упругой системы автомобиля (рис. 3), приведенный в работе [6].
Рис. 3. Расчетная схема фанспортного средства (кружком помечены элементы, состоящие из пружины и демпфера)
Графики АФЧХ колебаний кабины и переходного процесса по координате z„ при воздействии на второе колесо, с учетом запаздывания приведены на рис. 4 и 5, при возмущающем воздействии со стороны дорожного профиля, заданного в виде функции спектральных плотностей дорожных неровностей:
д _ Щ21д/у-345.2УЧ-- +41 + 27.17т-1
где V - скорость движения транспортного средства.
Рис. 4. ЛФЧХ пшняшВ СИСТЕМЫ
№
;/ 1 j 1
1 V /
Y / i
1 /
300 \ / V/ ■ -
Рис 5 Переходный процесс (шлебаннЗ плоской актами
Среднеквадратичные отклонения производных обобщенных координат, одни из важнейших характеристик динамики автомобиля, можно найти по формулам
[5]:
£7, - ja*11 Ke^füj))!2 -
1 (12)
Сопоставление результатов расчета по методике авторов с результатами из работы [6] показывает их полное совпадение.
100 Вестник УлГТУ 1/2001
В качестве другого примера рассмотрим трехмассовую пространственную динамическую модель (рис. 6) с сосредоточенными параметрами.
1
Рис. 6. Трехмассовая динамическая модель колесной машины
На рис. 7 приведена ЛФЧХ колебаний кабины автомобиля (рис. 6) по координате z2, при начальном возмущающем воздействии £0 = О.Ьи и параметре рассеяния энергии у = 0.1.
Рис. 7. АФЧХ колебаний кабины автомобиля
г
1
Й> -1
•г
Л О1-5 1 ¡-5 2
1С
Рис. 8. Переходный процесс колебаний
Переходный процесс пространственной системы, приведенный на рис.8 , характеризует систему с демпфированием, близким к оптимальному. Для построения характеристик любой точки автомобиля необходимо сложить (вычесть) линейное перемещение центра масс и произведение углового перемещения на радиус-вектор до исследуемой точки. Выводы:
1.Разработана методика расчета упругой системы автомобиля при произ-вольном внезапном воздействии со стороны дорожного профиля и стационарном случайном воздействии с любой спектральной плотностью, с учетом распределенных параметров (упругие элементы с распределенными параметрами моделируются в виде стержней).
2.При динамическом расчете учитываются поля начальных скоростей и перемещений, что позволяет рассматривать динамические задачи при соударении с препятствием.
3.Сопоставление результатов расчета, полученных по разработанной ме-тодике, с ранее известными результатами, приведенными в работе [6], которые получены непосредственным интегрированием соответствующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений, показывает их полное совпадение при использовании компьютеров с одинаковыми характеристиками. Однако разработанная авторами методика выгодно отличается прибли--
зительно троекратным выигрышем во времени и устойчивостью вычислительного процесса на больших промежутках времени.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.Санкин Ю. Н. Нестационарные задачи динамики стержневых систем при внезапном нагружении и соударении с препятствием // Научно-технический калейдоскоп. Сер. Архитектура. строительство и строительное производство. -2002г№2. - С. 17-28.
2.Санкин Ю. Н. Динамические характеристики вязкоупругих систем с распределенными параметрами. — Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1977. - 309 с.
3.Санкин Ю. И. Лекции по теоретической механике. 4.4. Основы аналитической механики. - Ульяновск: УлГТУ, 1999. - 162 с.
4.Санкин Ю. Н., Юганова Н. А. Продольные колебания упругих стержней сту-пенча- то-перемснного сечения при соударении с жестким препятствием // ПММ. - 'Г.65. Вып. 3. -2001.-С. 442-448.
5.Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. В 2 т. - Т.Г. Пер. с англ. - М.: Мир, 1984. - 738 с.
6.Аладьев В. 3., Богдявичюс М. A. Maple 6: Решение математических, статистических и физико-технических задач. - М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. -824 с.
Санкин Юрий Николаевич, доктор технических наук, профессор кафедры «Теоретическая и прикладная механика» Ульяновского государственного технического университета, окончил физико-механический факультет Ленинградского политехнического института. Имеет монографии и статьи в области механики сплошных сред, теории колебаний и устойчивости движения.
Явкин Сергей Александрович, аспирант Ульяновского государственного технического университета, окончил машиностроительный факультет Ульяновского государственного технического университета, имеет статьи в области динамики упругих систем.
