CC BY
19
ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ
упк 539.3
в. к. манжосов, а. и. саченко, в. в. слепухин
моделирование движения однородного стержня при действии постоянного давления на торце
Описан волновой характер движения однородного стержня (перемещение, скорость и деформация в сечениях стержня). Представлены результаты моделирования распространения прямых и обратных волн по стержню.
Ключевые слова: модель, моделирование, волны деформации.
Данная работа продолжает исследования [1.2, 3] по изучению волнового характера движения однородного стержня под действием мгновенно
приложенного к нему давления рц на торце
(рис. 1). Длина стержня равна площадь поперечного сечения равна А.
Движение стержня описывается волновым уравнением
2
з2
1 5
5 л-2
*2 аг2
при соответствующих начальных
а и{х,0) = д г(х,0) _
а*
а/
= о
(2)
и граничных условиях
= о
дх '
ЕЛ
а ы(о, I)
а х
+р= о
(3)
Р=РъА
где {) - перемещение поперечного сечения
стержня, положение которого определяется координатой X; 3 - скорость распространения звука в материале стержня; t - время; Е - модуль упругости 1-го рода материала стержня; А - площадь поперечного сечения стержня; Р -сила.
момент времени Г = 0 возмущение в виде волны деформации будет распространяться со скоростью звука к сечению х = 1. Достигнув этого сечения, волна отражается и отражённая волна распространяется к левому торцу стержня. Здесь вновь происходит преобразование волны и это волновое состояние распространяется к сечению Далее процесс повторяется, и движение стержня определяется движением волн, движущихся от левого торца стержня к правому и обратно.
Решение уравнения (1) по методу Даламбера представляется в виде суммы двух неизвестных функций
= /(я*-л)
где х) - функция, описывающая пара-
метры волны, распространяющейся по направлению оси X (назовем её прямой волной);
(р{я(+ х) - функция, описывающая параметры
волны, распространяющейся в обратном направлении (назовём её обратной волной).
Величина относительной продольной деформации в произвольном сечении стержня равна
= £ [/V - *)+<р(а + *)]=
дх
(5)
При мгновенном приложении давления р^ в = — ('[а! -х)+(р'(а1 + х).
Ро
х
О
7
4<
Рис. 1. Расчётная схема стержня
В. К. Манжосов. А. И. Саченко, В. В. Слепухин, 2007
Скорости сечений могут быть определены венство (9) примет вид
как
du(x,t) =_£Гу/ t_ \ + XYU
а/ ; л
= af'(at — х)+ aq>'{at + jc).
(6)
Начальные значения функций определяются из начальных условий (2):
-f'(ato-x)+9'(ato + x)=0,
О X
= О, af'(ato - х)+ аФ '(at0 + х)= 0, (7)
сч
откуда следует, что
f'(ato - х)= ф '(atg + х)= 0. (8)
Прямая волна формируется в сечении х = О и равна f'(at-O). Параметры этой волны определяются из граничного условия (3):
ЕА
ôu(0,t)
дх
+ Р=0,
е4- f '(at - 0)+ер '(at + 0)]+ Р=0,
Р
откуда
f '(at - О) = ф '(at + О)+
ЕА
(9)
Обратная волна формируется в сечении х = 1 стержня и определяется из граничного условия (3):
МгЙ = 0. -Г(а1-1)+ф'(а1+|) = 0.
дх
q>'(at + 1)= f'(at-0-
(10)
Но функция
Г(а1-1)= Г[а(1-1/а)-0], (11)
т. е. прямая волна в сечении X = I будет такой же, как и в сечении х = 0 , но с запаздыванием на величину АI = 1/а. Функция
Ф '(дХ + 0) = ер '[а^ - 1/а)+1 ], (12)
т. е. обратная волна в сечении X = 0 будет такой же, как и в сечении х = 1 , но с запаздыванием на величину АI = 1/а.
Учитывая (11), (10) и (12), можем записать,
что
q>'(at + 0)= f'[a(t-2i/a)-0], (13)
т. е. функция, описывающая обратную волну в сечении X = 0, соответствует функции, описывающей формируемую ранее при (t-21/a) в сечении х = 0 прямую волну. С учётом (13) ра-
f'(at-0)= f'[a(t-21/a)-0]
Обозначим Sq =
+
ЕА
(14)
ЕА'
f'(at - х) = f'(at - x)/sq , cp"((at + x) = (p"(at + x)/bq .
Если за интервал времени взять величину Т = 21/а , то на i -м интервале движения [1]
f'(at-0) = i, (i —1)21 /а < t < i2I/a,
i = l,2,3,..., (15)
f'(at-0) = 1, 0 < t < 21/a; f'(at-0)= 2, 21 /a < t < 41/a; f'(at - O) = 3, 41 /a < t < 61/a ; и т.д.
Для произвольного сечения X (О < х < 1)
'(i-l), {{i-2)21+x)/a<t<{(i-l)2l+x)/a, (16) 7, ((/ -1)21 + х)/а < t < [ill 4- x)j а.
Для сечения х = 1
ги (0-2)21 + 1)/а<1<№-1)21+1)/а, (17)
■ 1 ' \[, ((1-1)21 +1)/а<1< (121 +1)/а.
Обратная волна (¡Г^-И), формируемая в сечении х = 1, из условия (10)
(аЫ) = <М' №-2)21+1)/^1<((1-1)21+1)/а5(1 ^ ) {1, ((1-1)21+1)/а<1<(121+1)/а;
Ф'
В)
9
(at + l) =
2,
0, 0<t <1/а,
1, 1 /а < t < 31 /а;
■
31 / а< t < 51/а,
qT(at + î) =
YV ; [3, 51 /а < t < 71 /а.
Для произвольного сечения X (О < х < I )
(а1+х)={^ ((i-l)2l-x)/a,t<(i21-x)/a>(19) V ; [i, (i 21 - х)/а < t < ((i +1)21 - x)/a.
9*
При х = 0 имеем
, ч ГО — 1), 0-1)21/а<К121/а,
^ + 0)=^ , / \ л ■ 20
н ^ ' [¡, 121/а <I <0ч-1)21/а.
Осуществлено моделирование в анимационном режиме волновых процессов в стержне при действии на торце давления р0. Прокомментируем результаты моделирования, представленные на рис. 2.
а)
V
о
1 • Г -г Й/Л
| к - С5-**—- ж • * г: V ЭЙТТЙ
О
Зона сжатая
Д)
Г(а1- 0)
Зона сжатия
б)
1
Ро
1
л" 4 I
ИКз*
Зона сжатия
/
е)
шШШЯВяШ
о Зона сжатия =
<р'(а!+1)
в)
1
1
ж)
Зона сжатия
/V п
Зона сжатия
<р'(а{+х) <Р(а1+1)
о ер'(а1+й)
<р'(а1+1)
Г)
ср>(а1+х) = \
Рис. 2. Прямые и обратные волны в однородном стержне: а) при 0<í <х/а; б) ¿ = // а; в) при На <t <{21-х)1а\ г) при / = 2 //а; д)при 2//а</<(2/ + х)/д; е) при / = 3//а; ж) при / = 4На
При действии на торце давления /?0 на интервале времени 0 < £ < 21 а в сечении х = 0 формируется прямая волна /'(я/ — 0) = 1, которая со скоростью о распространяется в направлении оси х (рис. 2, а). Параметры волны - х)
при этом соответствуют значениям У'{а1 - 0) = 1, но с запаздыванием по времени на величину А* = х/а. Участок стержня, охваченной прямой волной испытывает дефор-
мации сжатия (затемнённый участок стержня на рис. 2, а).
На рис. 2, б показано состояние стержня, когда прямая волна в момент времени £ = На достигла сечения х = I. Все сечения стержня
0 < х < / охвачены прямой волной У'(си - х) =
1 и испытывают деформации сжатия. В этот момент времени в сечении х = / начинает формироваться обратная волна + = 1, которая со скоростью а распространяется к сечениям х
(рис. 2, в). Обратной волной охвачен участок стержня 1-х и сечения стержня на этом участке не испытывает деформаций (более светлый участок стержня на рис. 2, в). .
На рис. 2, г показано состояние стержня, когда обратная волна в момент времени / = 211 а достигла сечения х = 0. Все сечения стержня
0 < х < / охвачены прямой волной У'(сй - х) =
1 и обратной волной ^'(м + х) = 1. Сечения стержня не испытывают деформаций. В этот момент времени в сечении X = О начинает формироваться прямая волна У'(ей - 0) =2, которая со скоростью а распространяется к сечениям х (рис. 2, д).
Участок стержня, охваченной прямой волной
- х) =2, испытывает деформации сжатия
(затемнённый участок стержня на рис. 2, д). Участок стержня, охваченной прямой волной
У'{(И — х) = 1, не испытывает деформации (бо-
лее светлый участок стержня на рис. 2, д).
На рис. 2, е показано состояние стержня, когда прямая волна в момент времени I = 31 / а достигла сечения х = 1 . Все сечения стержня
О < х < 1 охвачены прямой волной Г'(а! - х) = 2
и обратной волной ({Г'(а1 + х) = 1. Сечения стержня испытывают деформации сжатия. В этот момент времени в сечении х = 1 начинает формироваться обратная волна (¡Г(а1: + 1) = 2,
которая со скоростью а распространяется к сечениям х (рис. 2, е).
На рис. 2, ж показано состояние стержня, когда обратная волна в момент времени I = 41 / а
достигла сечения X = 0. Все сечения стержня О < х < 1 охвачены прямой волной ( '{дХ — х) = 2
и обратной волной + х) =2. Сечения
стержня не испытывают деформаций. В этот момент времени в сечении X = О начинает
формироваться прямая волна Г'(а1-0) =3, которая со скоростью а распространяется к сечениям л; (рис. 2, ж). Далее процесс распространения волн аналогичен предыдущим этапам.
* Рассмотрим изменение скоростей стержня. В качестве характерных стержня выделим сечения х = 0 , х = рость сечения X из (6)
^^=аГ(а1-х)+аФ'(а1 + *)> д\
^ = Г(а,-х)+ф<(а1 + х).
СЯ
Для сечения X = 0, учитывая (] 5) и (20)
^^ = Г'(а1 - 0)+<Г(а1 + 0) = (й -1), д\
(1 — 1 )21 /а < { <\2\/а.
Для сечения х = 1, учитывая (17) и (18)
ность материала стержня; pQ и А - const, по-
сечении сечений 1 . Ско-
du(\,t) = дг
'2(1 -1), (0 - 2)21 + 1)/а < I < (0 -1 )21 + 1)/а, 21, ((1-1)21+1)/а<1<(121 + 0/а. Рассмотрим движение центра масс стержня. Из теоремы о движении центра масс следует, что
1
t
Vc=Vc0+TTÎP0Adt'
M
о
где Усо = 0 — скорость центра масс стержня в начальный момент времени; М - масса стержня.
Учитывая, что М= рА1, р = Е/а^- плот-
лучим
у =^-Mt =
2ав
о
ЕА1
21/а
t.
В конце каждого периода движения при
t = i21/a (i = 1,2,3»—) Vc = 2iaso.
На рис. 3 показаны диаграммы, иллюстрирующие скорости характерных сечений стержня: сечения х = 0 (диаграмма 1), сечения х = 1 (диаграмма 2) и центра масс стержня (диаграмма 3). Точки оси абсцисс изображают относительной время t = t/(21/a), точки оси ординат изображают относительную скорость
V=V/(e0a).
Скорости сечений стержня изменяются ступенчато, сохраняя постоянные значения в пределах каждого интервала движения. В конце каждого интервала движения скорость сечения х = 1 совпадает со скоростью центра масс стержня. Чем больше число интервалов движе-ния 1, тем меньше относительная разница скоростей сечений х = 0 и х = 1 стержня, т. е. скорости сечений выравниваются.
Максимальная относительная разница скоро-
Рис. 3. Диаграммы скорости поперечных сечений стержня (1 - для *=0; 2 - для х: = /;
3 - для центра масс стержня)
стей сечений х = 0 и х = 1 составляет величину
ДУ=—, 1 = 1,2,3,...
21-1
При \ > 50 (соответственно, при I > 50-21/а)
ДУ составляет величину около одного процента и этой величиной ¡можно пренебречь, считая, что скорость сечений стержня практически одинакова.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Манжосов, В. К. Движение однородного стержня при действии постоянного давления на торце / В. К. Манжосов, Н. Б. Мартынова // Вестник УлГТУ. - 2001. - №3.-С. 88-91.
2. Саченко, А. И. О некоторых особенностях исследования процесса движения деформируемого твёрдого тела под действием силы, приложенной к его боковой поверхности / А. И. Саченко, В. С. Игропуло // Вестник Ставропольского государственного университета. - 1997. -№ 11.-С. 89.
3. Саченко, А. И. Описание ускоренного движения деформируемого твёрдого тела на основе волновых процессов, возникающих при воздействии постоянной силы на его поверхность
(торец) / А. И. Саченко // Вестник СевКавГТУ. Серия физико-химическая: Ставрополь. - 2003. Вып. 1(7).-С. 64-72. 1
Манжосов Владимир Кузьмич, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Теоретическая и прикладная механика» Ульяновского государственного технического университета. Имеет монографии и статьи в области динамики механических систем переменной структуры, продольного удара в стержневых системах, преобразования продольных волн деформаций в механических волноводах.
Саченко Александр Иванович, инженер-программист в НИПИ Статинформ Росстата (г. Москва). Имеет статьи в области динамики и кинематики деформируемых твёрдых тел (ДТТ), продольных волновых процессов в ДТТ типа стержней, описания движения ДТТ с позиции эволюции волновых процессов (продольных волн) в этих локальных физических телах.
Слепухин Виталий Владимирович, аспирант Ульяновского государственного технического университета.
удк 539.1
ю. н. санкин, н. т. гафуров
частотный метод динамического расчета
антенно-мачтовых сооружений как систем с распределёнными параметрами при произвольных ветровых возмущениях
Предлагается частотный метод решения задачи о колебаниях антенных опор сотовой связи, представляющих собой стержни переменного сечения, с учётом рассеяния энергии и сжимающих сил, при произвольных ветровых возмущениях. Данный подход позволяет решать нестационарные задачи динамики стержневых систем при произвольном ветровом нагруэюении.
Ключевые слова: опора антенная, стержневые системы, ветровые возмущения.
При ветровом воздействии в антенно-мачтовых сооружениях (AMC) происходят сложные колебательные процессы, зависящие от многих параметров, таких как особенности кон-
© Ю. Н. Санкин, Н. Т. Гафуров, 2007
струкции и тип нагружения AMC, тип основания AMC, форма ветрового воздействия и др.
В данной работе предлагается использовать частотный метод для решения задачи о колебаниях AMC с учётом рассеяния энергии при произвольном ветровом нагружении с учётом вышеперечисленных факторов.
