Моделирование восстановления скорости однородного стержня при продольном ударе о жёсткую преграду Текст научной статьи по специальности «Физика»

ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ

УДК 539.3

В. К. МАНЖОСОВ, В. В. СЛЕПУХИН

дг

МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОССТАНОВЛЕНИЯ СКОРОСТИ ОДНОРОДНОГО СТЕРЖНЯ ПРИ ПРОДОЛЬНОМ УДАРЕ О ЖЁСТКУЮ ПРЕГРАДУ

Рассмотрена задача продольного удара однородного стержня о жёсткую преграду. Представлены результаты моделирования волновых процессов в стержне и восстановления скорости стержня после удара.

Ключевые слова: стержень, продольный удар, волны деформаций, коэффициент восстановления.

При описании движения виброударных систем широко используется модель удара, когда скорость движения ударной массы после удара определяется через коэффициент восстановления скорости [1, 2]. Величина коэффициента восстановления скорости изменяется в диапазоне (0< Д<1). При К = 0 удар абсолютно пластичный, при Я = 1 удар абсолютно упругий.

Рассмотрим упругий удар однородного стержня о жёсткую преграду (рис. 1).

Рис. 1. Схема продольного удара стержня

Движение сечений стержня описывается волновым уравнением [1, 3]

д2и(х,1) 1 д2и (х,0

дх

а

Ы

= 0,

(1)

с начальными и граничными условиями

д и (х , ¿0)

дг

= У0, и(х,?0) = 0,

(2)

д и (О,г) а и {1,1) д и (1,1)

- = 0, —I-= 0, если —--< 0,

где

д х ' д I д и (х ,/)

д х

Ы

, м(х,г) - скорость и продольное

В. К. Манжосов, В. В. Слепухин, 2007

перемещение поперечного сечения стержня; У0 — предударная скорость стержня; х - координата сечения; а - скорость звука в материале стержня, I- время.

Решение уравнения (1) представим в виде

и (х,/) = /(ш-х)+ф (<я/ + х), (3)

где — х) - функция, описывающая прямую волну, распространяющуюся в направлении оси д; ф (а1 + х)~ функция, описывающая обратную волну, распространяющуюся в противоположном направлении.

Введём относительные величины, характеризующие производные функций прямых и обрат-

ных волн:

V,

о

а

ф'(д/ + х)=ф'(я/ + х)/

V,;

о

а

Относительная продольная деформация в сечении и скорость этого сечения соответственно равны:

г(х,() = -/'(аГ - х) + ф '(а/- + х),

V (*,*)= -х) + ф'(а/+ х).

Перед нанесением удара начальные значения 7'(^0-х)=0,5; ф'(¿Й0+х)=0,5. Относительная продольная деформация в сечениях стержня при /0 =0 равна г(х^0) = 0, а относительная

скорость всех сечений равна V (х, /0) = 1.

> / прямая волна

зона сжатия

ноя волна

Шшшшк

Л V,-А*

стержень

ШШШШ:

Ш&ш

иштттш

тная волна.

/ прямая волна

зона сжатия

шшттшшшшшшв

обратная волна (р*(а1 + х)

'.V.у. Л

/ стержень

• V. л ,<7/ '/Л../. /'л»»,' . Ллл.'.л' < .тшю) чСФ

звил сжатия

Ш

гай

——- лппшг

Рис. 2. Схема стержня и диаграммы волн в момент нанесения удара по жёсткой преграде

На интервале времени 0 < / < / /а на сечение

х = / действует прямая волна /'(<# - /)= 0,5 и

формируется в этом сечении обратная волна ф '(а/ + /)= — 0,5 . В этот период продольная

д и (/,/) Уо

деформация в сечении х =

а её относительное значение е (/,/) = -1.

прямая волна / № - я^

обратная волна ср*(а1 +х)

-0.5

Рис. 3. Схема стержня, диаграммы прямой и обратной волн на интервале времени 0 < / < I / а

На рис. 3, 4 представлены диаграммы прямой и обратной волн на интервале времени 0 < Г < / /а. Затемнённый участок стержня охвачен прямой волной = 0,5 и обратной

волной ф ' (я/ + -0,5. Скорость сечений в

этой зоне равна у(х,/) = 0? а относительная

продольная деформация в этой зоне равна ъ(х^) = -1 (зона сжатия).

Рис. 4. Схема стержня, диаграммы прямой и обратной волн на интервале времени 0 < ¡< I / а

На интервале времени 0 < I < I / а на сечение х = 0 действует обратная волна ф'(я/+ 0)= 0,5 и формируется в этом сечении

прямая волна /'(я/ - 0) = 0,5 (рис. 3, 4).

На интервале времени / / а < / <21 / а на сечение х = 0 действует обратная волна Ф'(я/ + 0:)= -0,5 и формируется в этом сечении

прямая волна /'(яг- 0)=-0,5. На рис. 5 представлена начальная фаза формирования прямой волны в сечении х = 0.

В этот момент на участке стержня (более светлый. участок стержня на рис. 5), где

/'(а> - х)= -0,5 и ф ' (д/ + х)= -0,5, поперечные сечения приобретают скорость у(х^) = -1.

Рис. 5. Схема стержня, диаграммы прямой и обратной волн на интервале времени I / а < I <21 / а

Относительная продольная деформация в поперечных сечениях на этом участке г(х^) = 0

(более светлый участок стержня на рис. 5).

По мере того как волна /'(а/ - х)= -0,5

приближается к жёсткой преграде (рис. 6), состоянием у(х,Г) = -1 и г(х^) = 0 будет охвачен уже значительный участок стержня.

прямая волна • / (аЬ - х)

-0.5

зона сжатия

\

обратная волна Ф*(аЬ + х)

I ?

I

Рис. 6. Схема стержня, диаграммы прямой и обратной волн на интервале времени И а<1 <21! а

В момент времени / = 21 / а прямая волна и обратная волна имеют во всех сечениях параметры (рис. 7):

7' (я/ - х)= -0,5; ф' (я/ + х)= -0,5;

у(х,/) = -1 и = 0.

прямая волна /(а1-х)

•0.5

\

обратная волна ср '(а1 + х)

I

Рис. 7. Схема стержня, диаграммы прямой и обратной волн при г- 21 / а

Скорость всех сечений стержня, определяемая как

= а[/'(ш - х)+ц'(ш + х)],

<3?

д и (х ,/)

становится равной - = -Уо и при неси

удерживающей связи в сечении х = / стержень отрывается от жёсткой преграды (процесс удара завершен).

Для оценки коэффициента восстановления скорости стержня после удара в общем случае можно воспользоваться теоремой об изменении количества движения механической системы. В этом случае [4]

О-<20 = \Р(1,1)Ж, где <20, б - количество

о

движения механической системы в начальный и текущий моменты времени; Р(1,0 - ударная сила в сечении х = /.

Учитываем, что (30 = т Уо, О- тУс, д и (1,1)

Р(1,1) =ЕА-, где Ус - скорость центра

д х

масс стержня, ЕЛ - продольная жёсткость поперечного сечения стержня, т - масса стержня. Так как на интервале времени 0 < / < 21 / а продольная деформация в сечении х = /

д и (1,1) Уо

- =--, то изменение количества дви-

д х

а

жения стержня равно

тУс-тУо=-ЕАР±,

а

или

Ус

У

1

ЕА

I ■

о

т -а

Принимая во внимание, что Ус= - ЯУо, где Я -коэффициент восстановления скорости, что мае-

са стержня т- рА1, Е=а р, (Е - модуль упругости материала стержня, р - плотность материала, / - длина стержня, А - площадь поперечного сечения стержня), получим, что в момент завершения удара (£ = 21 / а).

п 1 а2 рЛ2/

к + 1 =-—, откуда Л = 1.

р А 1а2

Таким образом при ударе однородного стержня о жёсткую преграду коэффициент восстановления скорости Я = 1, т. е. удар является абсолютно упругим.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Алимов, О. Д. Удар. Распространение волн деформаций в ударных системах / О. Д. Алимов, В. К. Манжосов, В. Э. Еремьянц. - М. : Наука, 1985.-386 с.

2. Манжосов, В. К. Динамика и синтез кулачковых ударных механизмов / В. К. Манжосов. -Ульяновск : УлГТУ, 2006. - 219 с.

3. Манжосов, В. К. Модели продольного удара / В. К Манжосов. - Ульяновск: УлГТУ, 2006. - 160 с.

4. Манжосов, В. К. Восстановление скорости стержня при продольном ударе о жёсткую преграду / В. К. Манжосов // Вестник УлГТУ. -2003.-№ 1-4.- С. 22-24.

© © © © • © ©

© © © © ©

• ©

Манжосов Владимир Кузьмич, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Теоретическая и прикладная механика» Ульяновского государственного технического университета. Имеет монографии и статьи в области динамики механических систем переменной структуры, продольного удара в стержневых системах, преобразования продольных волн деформаций в механических волноводах. Слепухин Виталий Владимирович, аспирант Ульяновского государственного технического университета. Имеет публикации по моделированию продольного удара в стержневых системах.