Моделирование волновых процессов при разгоне ступенчатого стержня при действии постоянного давления на торце и последующим ударе о жёсткую преграду Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

В. В. СЛЕПУХИН

• Ч • • л - " '')'

•'Т.^гТ ■ V > • --- - • • »»«" •

]

л"

МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ РАЗГ ОНЕ СТУПЕНЧАТОГО СТЕРЖНЯ ПРИ ДЕЙСТВИИ ПОСТОЯННОГО ДАВЛЕНИЯ НА ТОРЦЕ И ПОСЛЕДУЮЩИМ УДАРЕ О ЖЁСТКУЮ ПРЕГРАДУ

Описаны процессы формирования и распространения волн деформации в ступенчатом стержне при разгоне стер жня в результате действия постоянного давления на торце и после столкновения с жесткой преградой. Рассмотрены результаты моделирования волновых процессов при различных значениях времени разгона.

Ключевые слова: моделирование, волны деформаций, продольный удар, динамика стержня.

В работе рассмотрен процесс формирования и распространения волн деформаций в ступенчатом стержне, когда на один торец действует постоянное давление, а другим торцом стержень наноси! удар по абсолютно жёсткой преграде после того, как переместится на расстояние .V. Схема ударной системы показана на рис. 1.

т Л * в Л

Ступенчатый стержень состоит из двух участков. 0 {

Площадь поперечных сечений участков соответственно Л] и А2. Длина первого участка равна |

/,, длина второго - I - /г Общая длина стержня Ь. В 0 Рис , Схеш ^риой системы момент времени /0=0 стержень неподвижен и не

деформирован, на левый торец стержня начинает действовать давление р0. Сечения стержня

начинают двигаться к жёсткой преграде. В момент времени правый торец, преодолев расстояние

л , наносит удар по абсолютно жёсткой преграде. В этот же момент действие давления рь прекращается.

Принята волновая модель движения стержня [] - 4]. Движение поперечных сечений описывается волновыми уравнениями вида

Э2а, (у) 1 д\ (х,/) _ д2и2{х,/) 1 д2и2(х,1)_

дх2 " а2 дг -"'У-*-'» * дх> / Э/2 V. '

при соответствующих начальных

= / = 12 (2)

дх д(

и граничных условиях

«,(/,,0 = н2(/,,0. = 0. (3)

дх ох ох

———- = 0, если ———-<0, —----= 0, если —=->0, (4)

5/ дх дх дх

где и{ (х,1) и «,(*,/) - перемещение поперечных сечений стержня, положение которых определяется

координатой .v, для соответствующих участков стержня; а - скорость распространения звука

© В. В. Слепухин, 2008

и материале стержня; Е - модуль упругости 1-го рода материала стержня; А} и /1, - площади поперечных сечений соответствующих участков стержня; / - время: - время района: /V)- Р0(ОД - сила (на интервале времени /П </ </у Р(1) = А)р{)(0 ~ А}р0 = ¡\ а при / > /

-41яо(/) = 0).

Решение уравнении (1) гю методу Даламоера представим в виде суммы двух функций

иХхА) = /]{а1 - х) + <р\ш + л*), / = 12 % (5)

где /](а1 - х) - функция, описывающая параметры волны, распространяющейся по направлению оси д- (назовём её прямой волной); ср((а1+х) - функция, описывающая параметры волны.

распространяющейся в обратном направлении (назовём её обратной волной).

Величина относительной продольной деформации в произвольном сечении участка стержня равна

+ + / = 1,2. (6)

дх

Скорости сечений могут быть определены как

= а['{а1-х) + а(р'{а( + х\ / = 1,2. (7)

д(

Начальные значения функций определяются из начальных условий (2) с учётом (6) и (7) для всех сечений стержней:

-/¡(а(0 ~*) + Ф, (а1о +х) = °> а/!(а1о ~ х) + ^/(^о + *) =0. (8)

Откуда следует, что

/!(ао-х) = 09 я(в/о + *) = 0. (9)

В сечении х = 0 формируется прямая волна /^(-х). Параметры этой волны определяются из граничного условия (3), откуда с учётом (6)

/Ха1 _ о) - фЦМ + 0) + ~~~~. (10)

ЕАХ

I

Для момента времени /0+ = 0 обратная волна из (9) (р[(а104 + 0) = <рЦа(1,)+ -—) + /,) = 0. откуда

а

Р(1)

следует (я/0+ - 0) = ——.

ЬА]

При дальнейшем рассмотрении на интервале времени /0</</5 функцию будем обозначать

как Р.

Перейдём к относительным единицам. Прямые и обратные волны будем представлять как

/ Р / Р

(\at-x)- /'(а(-х)--, ф'(м + х) = ф'(а1 + х)—. Деформацию и скорость

/ ЕА / ¥А

ё = -/'(а( - х) + ф'(а1 + х) и V = /'(а1-х) + ф'(а1 + х). В относительных единицах будем обозначать

/ - д

координаты сечений стержня х = х/Ь, и время /=//—.

/ а

Итак, в момент времени = 0 в сечении х = 0 сформировалась прямая волна /'(а1-х) = 1. Со скоростью <7 она будет распространяться к граничному сечению £ = /,/£ . Сечения стержня, охваченные

данной прямой волной, движутся со скоростью у = /'(£7/-д:) + ^1'(<з/ + х)=1 и испытывают деформации

сжатия - -/¡'(я/ - л-) + + Л') = -1. Достигнув сечения х = /, /I, часть волны отразится в виде новой

обратной волны, а часть пройдёт в участок 2 стержня в виде новой прямой волны.

Опишем более подробно процессы, происходящие на границе * = /,/£. В граничном сечении /,

формируются прямая /¡(а! -/,) и обратная <р,'(я/ + /,) волны, распространяющиеся по соответствующим участкам стержня. Из граничных условий (3) следует, что

2'Ь /;(а1-1,)+]т-^-ф'2(а{ + 1]),

г\: + 1

1 + г.,

г, > 4- ]

Г. «ч -ь 1

А л

(И)

(12)

где /\Xai-!,) - прямая волна, действующая на участке стержня 1 в сечении д~ = /ь ф'(а( + / ) -обратная волна, действующая на участке стержня 2 в сечении л' = 1\\ г} п - отношение волновых

сопротивлений участков стержня 1 и 2 (предполагается, что материал 1-го и 2-го участков одинаков); А/Ь - площади поперечных сечений стержня для 1-го и 2-го участков соответственно.

Сформированная на границе х = 1]/Ь прямая волна /2'(а/ -х) распространяется к -ударном) сечению Л' = I , вызывая изменение скорости поперечных сечений 2-го участка стержня. Достигнув сечения д- = 1 , прямая волна отразится без изменений в виде обратной волны ф\{ш -кат), которая, в

свою очередь, будет распространяться влево к граничному сечению х = 11/Ь.

Сформированная на границе х = 11/Ь обратная волна ф[(а1 + х) будет распространяться к

сечению х = 0 , достигнув которого, отразится в виде новой прямой волны /'(а/ -0) = ф[{и1 + 0) + 1 . Подобные процессы формирования волы будут происходить до момента времени / . когда

стержень столкнётся с преградой. В течение этого времени скорость поперечных сечений стержня увеличивается, происходит разгон.

Когда расстояние между преградой и правым торцом стержня станет равным нулю л=0.

изменяются граничные условия. На левый торец стержня перестаёт действовать давление р{], а

правый торец останавливается, так как его перемещение в направлении оси х ограничивается жёсткой преградой. В граничном сечении х = 1 формируется обратная волна, равная падающей на него прямой волне, но с противоположным знаком.

Ударное взаимодействие длится, пока деформации в ударном сечении не станут положительными. Рассмотрим результаты моделирования в двух случаях разгона ступенчатого стержня постоянным давлением на торце, с последующим ударом о жёсткую преграду. В обоих случаях рассматривается стержень с параметрами: соотношение площадей участков стержня

1 1 ¿1 3 = £, соотношение длин участков стержня —1— = —.

Лэ 2? ¿-/,2

Для первого случая при моделировании время разгона составляло /Л. = 5. На рис. 2 показаны диаграммы относительной продольной деформации и относительной скорости поперечных сечений в момент времени, предшествующий удару / =4,9. ч

На рис. 3 показаны диаграммы относительной продольной деформации для момента времени 7-5,9, когда в сечениях стержня возникают максимальные деформации ¿\:[ШК = -8,68. Если

соотнести разницу между максимальными ё0 тах = 0 и минимальными ¿0пЛ| =-1,35, деформации, возникающие в момент перед ударом, и максимальные деформации £упш =-8,68, возникающие при

£п -¿?Л - I |0 + 1,35|

О тлх 0 тт ' Л1С т

=и, ю. Гакже, если соотнести разницу минимальнои

ударе, то получим

^ у тах

|-8,68|

Ктп —5,08 и максимальной Утах =6 скоростей сечений перед ударом, получим

^ - ¿тп, 6-5,08

= 0,17.

V

них

Далее рассмотрим случай движения стержня, когда расстояние между правым торцом стержня и преградой 5 = 500 . На данное расстояние торец стержня переместится за время I = 100 .

I !а рис. 4 показана диаграмма деформаций; а на рис. 5 диаг рамма скоростей перед ударом для момента времени I -99.9 . На рис. 6 показана диаграмма деформаций для момента времени ( 102 когда деформации, возникающие в стержне, максимальны.

г—

5 <1;

3

4

о

-4

-8

-1.35

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

-V

1

а) относительная продольная деформация

V 16 » • • 1 ■ - • • • • V в • » V • , . * I • • • • • - - . • . • . . . • • « • П .

8 5,08 • •• ц • • - • • — » • * • • • • • • • • • • Г Г • • • • 6 в • • - -

0 • • • * * • .... • • •! * Л*

• • •

8 ------- - V- - * - ' ф - • - - - * - V • —--- -----. • • г...... • 1...... • • « | • • « • • • • • «

-16 • • • • Л •

1 • # • •

од 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,3 0,9 1 1

б) относительная скорость

Рис. 2. Диаграммы 8 и V для момента времени / =4,9

Рис. 3. Диаграммы относительной продольной деформации для момента времени / - 5,9

Рис. 4. Относительная продольная деформация для момента времени / - 99,9

Как в первом случае, соотнесём разницу между максимальными <с;(. пмч - 1 и минимальными деформациями, возникающими в момент перед ударом, и максимальные деформации

с

; тлч

= -171

, возникающие при ударе,

/- —г

('0 тлх °.0 тт

1-0|

8

у тлх

-171|

0,005. Также соотнесём разницу

между минимальной =115 и максимальной

= 116

скоростей сечений перед ударом, получим

V - V

»1В1\ тт

V

I 16-115

16

0.008.

Г

V*

160 80 о 80 160

115 116

• • ;............................ • д*

... • • А % • • • • • •• > • • 1 • • - • • « • • • • 1 1 . • , и* . | • - г • • • ' • • • • • 9 •

• •

од 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,3 0,9 1

Рис. 5. Относительная скорость поперечных сечений для момента времени / = 99,9

Рис. 6. Диаграмма относительной продольной деформации для момента времени / = 102

В обоих случаях скорости сечений во время разгона изменяются ступенчато. На рис. 7 показаны диаграммы изменения скоростей граничных сечений, а также центра масс в течение разгона до момента времени 7 = 8.

Из вышенаписанного можно сделать вывод. При небольшом времени разгона, при расчётах необходимо принимать в рассмотрение процессы, происходящие при разгоне стержня, поскольку деформации сечений стержня соизмеримы с максимальными деформациями, возникающими при ударе. Также существенно различие скоростей сечений стержня перед ударом.

Из результатов моделирования, при времени разгона /% = 5 , соотношение предударных

деформаций к максимальным деформациям при ударе составило 15%, различие же между скоростями сечений стержня в момент перед

ударом составляет 17%. рис 7 Диаграммы скоростей поперечных сечений

При достаточно большом времени разгона стержня: 1 - левый торец л- = 0 , 2 - правый торец х = К скорость — сечений--выравнивается, и 3-центр масс

ел постельная разница между скоростями сечении стержня, как показало модели-рованне, равна 0,008% при времени разгона / =100.

Отношение предударных деформации к максимальным деформациям при ударе равно 0,005% . I о сеть в ')том случае скорости всех сечений можно считать равными, а относительные продольные деформации сечений равными нулю. В масштабе, соответствующем максимальным деформациям и максимальной скорости сечений, на рис. 4 и 5 видно, что диаграмма деформаций пракпически совпадает с осью л\ а скорости сечений визуально одинаковы.

ВИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ С11ИСОК

1. Алимов, О. Д. Бурильные машины / О. Д. Алимов, Л. Т. Дворников. - М. : Машиностроение, 1976.-295 с.

2. Алимов, О. Д. Удар. Распространение волн деформаций в ударных системах / О. Д. Алимов, В. К. Манжосов, В. Э. Еремьянц. - М. : Наука, 1985. - 386 с.

3. Манжосов, В. К. Моделирование движения однородного стержня при действии постоянного давления на торце / В. К. Манжосов А. И. Саченко, В. В. Слепухин // Вестник УлГТУ. - 2007. -№2. - С. 22-24.

4. Манжосов, В. К. Моделирование движения ступенчатого стержня при ударе о жёсткую преграду / В. К. Манжосов, В. В. Слепухин // Механика и процессы управления. - Ульяновск. 2007. -С. 39-45.

ее0в0»ее»0вв*в900в0е

Слепухин Виталий Владимирович, аспирант кафедры «Теоретическая и прикладная механика» УлГТУ.