Моделирование волновых процессов и восстановления скорости стержня при продольном ударе о жесткую преграду Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 622.233.6

В. К. МАНЖОСОВ, В. В. СЛЕПУХИН

МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ И ВОССТАНОВЛЕНИЯ СКОРОСТИ СТЕРЖНЯ ПРИ ПРОДОЛЬНОМ УДАРЕ О ЖЕСТКУЮ ПРЕГРАДУ

Рассмотрена задача моделирования волновых процессов и восстановления скорости стержня при продольном ударе о жесткую преграду.

Ключевые слова: моделирование, продольный удар, волны деформаций, восстановление скорости

При описании движения виброударных систем широко используется модель удара Ньютона, когда скорость движения ударной массы после удара определяется через коэффициент восстановления

скорости [3]. Величина коэффициента восстановления скорости изменяется в диапазоне (0 < Я < 1).

При Я = 0 удар абсолютно пластичный, при Я = 1 удар абсолютно упругий.

Представление данных о коэффициенте восстановления весьма проблематично, так как он зависит не только от материала соударяемых тел, но и от их формы и размеров.

Рассмотрим задачу продольного удара ступенчатого стержня массой т и длиной /, движущегося со скоростью У0, о жёсткую преграду (рис. 1). Стержень в общем случае состоит из множества разнородных участков длиной А/.

Движение поперечных сечений на у'-м участке стержня описывается волновым уравнением вида [1,2]

д2и ,0,0 1 д2и (х,0

О

2

зь

I »

•V

¡-1

N

Рис. 1. Схема удара ступенчатого стержня

дх

а

дг

- О,

х х <х<х^

О)

«,М = /у(* 1-х)+(р}{а / + 4 = "/у(а / + *)

где и^х,1)~ продольное перемещение поперечного сечения стержня на у'-м участке; /Ддг-*)-функция, описывающая прямую волну, распространяющуюся в направлении оси х; <ру(а/ + х)-

функция, описывающая обратную волну, распространяющуюся в противоположном направлении; /¡{а I -х,) и (а( + *,.)- производные функций.

Рассмотрим некоторое произвольное сечение у на /-м интервале времени. Это сечение является границей сопряжения у'-го и (/+1)-го участков. На сечение у слева падает прямая волна

сформированная на (/-1 )-м интервале времени в (/-1)-м сечении, а справа - обратная волна (р +1 (а/+ х+1), сформированная на (/-1)-м интервале времени в (/+1)-м сечении. Интервал времени

— равен времени распространения волны деформации на участке длиной Д/, * , и - ко-

а

ординаты (/'-1 )-го (/+ 1)-го сечений.

При преобразовании падающих волн в сечении у формируется прямая волна /;+| (а1 - х]), распространяющаяся от сечения у к сечению у'+1, и обратная волна (р ] (я/ + х}), распространяющаяся от сеченияу к сечению у-1. Причем производные функций определяются как [3]

В. К. Манжосов, В. В. Слепухин, 2007

где /л 2 - коэффициент прохождения волны fia t-x ), падающей на границу со

(о+О/о 7 ; 7

стороны у'-го участка; г _ ^ - отношение площадей поперечных сечений сопряжённых у'-го и

7 Л»

(/'+1 )-го участков; r (у) = -_— ~ коэффициент отражения волны + падающей на границу

Xj со стороны j +1 -го участка; ^ 2 - коэффициент прохождения волны (at + х} ),

х =

rJ+\

г -1

падающей на границу х = х. со стороны (/' +1)-го участка; г (>) = -1_ - коэффициент отражения

J г,+1

волны /-[м + х]), падающей на границу х = х] со стороны (/'-1)-го участка.

/

Изменение количества движения механической системы Q~Q0 = где ()0, Q-

о

количество движения механической системы в начальный и текущий моменты времени; Р(1Л) -

ударная сила в сечении х = I. Учитываем, что <20= тУ0, <2=тУс, Р(1,1)=ЕЫА н где Ус -

дх

скорость центра масс стержня; ЕЫАИ - продольная жёсткость поперечного сечения стержня на

участке, прилегающим к ударному сечению; -—-—-- продольная деформация в ударном сечении;

дх

т - масса стержня.

Если учесть, что на /-м интервале времени ^и» 0 (т - /) 4- <р'ы (л/ + /))13 что

дх

продолжительность удара равна Т = А/ -п (где п - число интервалов времени до завершения процесса удара), что на интервале времени А/ параметры функций и ^p'N(at + l)i

постоянны, то изменение количества движения за время удара

п

тУс -тУ0 = Е„А„ £(-/; (а/-/)++^(а/ + /)), А/,

/ = 1

а отношение

¥с=Ё <-/; ■+о),- •

Ко

/V

Масса стержня, состоящего из N разнородных участков длиной А/, определится как m = ^mJ ,

у=1

mj = pjAjAl. Материал стержня на всех участках одинаков (р, = const), поэтому имеем [3]

п

Д=1+ /=!__

у Hz* А

Û 7=1 Л

Из граничного условия = о следует (f'N(at-l))¡ + (<p'N(at + l))i= О,

(^¡у (я/ + /)), = - (/^ (а/1 - /)), и коэффициент восстановления скорости определится как

откуда

и

&=} /4, л ^ _ 1 a J An

" 7=1 у=1

»»I:

Прямая толпа Деформация

10.833 Обратная

Временные характеристики ударного взаймодейстеия

¡¡В ^«Ш

ШШ

\ДеФормации/Скорость /

Полученное выражение показывает, что коэффициент восстановления скорости Я существенно зависит от конфигурации стержня, так как падающие на ударное сечение прямые волны (а/-/)), и отношение площадей поперечных

А

сечений различных участков

к площади по-

перечного сечения участка стержня, прилегающего к ударному сечению, зависят от формы стержня.

Разработана методика моделирования продольного удара ступенчатого стержня о жесткую преграду [4]. Рассмотрим некоторые результаты моделирования удара двухступенчатого стержня. Соотношение площадей ступеней А\/А2 - 2, соотношение модулей упругости Е\/Е2 = 1, соотношение скоростей распространения волн в материале а\/а2 - 1, соотношение длин ступеней 1\/12 = 1.

На рис. 2 показано информационное окно на экране монитора, в котором воспроизведены схема стержня, поле волновых состояний участков стержня, значение коэффициента восстановления скорости. Горизонтальная ось на поле состояний определяет относительные координаты сечений стержня (5Г = х/Г). Вертикальная ось на поле состояний определяет относительные координаты времени (7 = я///).

Численные значения прямых и обратных волн, деформации и скорости сечений в процессе

ударного взаимодействия для любой области поля состояний при необходимости могут быть отображены в информационном окне, расположенном непосредственно на поле состояний. Окно появляется в результате активации кнопкой мыши интересующей нас области на поле состояний.

На рис. 2 активированная область является более светлой. В активированной области обозначено сечение стержня с относительной координатой х/1 = 0,65 (вертикальная линия). Длина вертикального отрезка в активированной области указывает на длительность состояния для рассматриваемого сечения с параметрами, изображёнными в информационном окне. Горизонтальный отрезок в активированной области указывает, какая часть стержня в данный момент времени охвачена волновыми состояниями области, изображёнными в информационном окне.

Рис. 2. Информационное окно на экране

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Алимов, О. Д. Бурильные машины / О. Д. Алимов, Л. Т. Дворников. - М. : Машиностроение, 1976. -295 с.

2. Алимов О. Д. Удар. Распространение волн деформаций в ударных системах / О. Д. Алимов, В. К. Манжосов, В. Э. Еремьянц. - М.: Наука, 1985г386 с.

3. Манжосов В. К. Восстановление скорости стержня при продольном ударе о жёсткую преграду / В. К. Манжосов // Вестник УлГТУ. - 2003-№ 3-4. - С. 22 - 24.

4. Манжосов В. К. Моделирование движения ступенчатого стержня при ударе о жёсткую преграду / В. К. Манжосов, В. В. Слепухин // Механика и процессы управления. - Ульяновск, 2007. - С. 39 - 45.

Манжосов Владимир Кузьмич, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой « Теоретическая и прикладная механика» УлГТУ.

Слепухин Виталий Владимирович, аспирант кафедры «Теоретическая и прикладная механика» УлГТУ.