Волновые процессы при продольном ударе стержня с гиперболической образующей боковой поверхности о полуограниченный стержень Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

В. К. МАНЖОСОВ, В. В. СЛЕПУХИН

ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ ПРИ ПРОДОЛЬНОМ УДАРЕ СТЕРЖНЯ С ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ОБРАЗУЮЩЕЙ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ О ПОЛУ ОГРАНИЧЕННЫЙ СТЕРЖЕНЬ

Рассмотрена задача продольного удара гиперболического стержня о полуограниченный стержень. Представлены результаты моделирования волновых процессов в гиперболическом стержне, диаграммы продольных деформаций в поперечных сечениях и скорость поперечных сечений в различные моменты времени

Ключевые слова: гиперболический стержень, продольный удар, волны деформаций, моделирование

Задача продольного удара стержня с гиперболической поверхностью о полуограниченный стержень была поставлена Дворниковым Л. Т. в работе Мясникова А. А. [5], продолжена ими в работах [3, 6]. Исследования продольного удара гиперболического стержня о полуограниченный стержень выполнены Алимовым О. Д., Еремьянцем В. Э., Манжосовым В. К. [1, 2, 4].

В данной работе представлены результаты моделирования волновых процессов при продольном ударе стержня с гиперболической образующей боковой поверхности (далее гиперболический стержень) о полуограниченный стержень. Схема ударной системы изображена на рис. 1.

X

Рис. 1. Схема ударной системы

Гиперболический стержень 1 длиной / движется в направлении продольной оси х со скоростью у0 и своим торцом наносит удар по однородному полуограниченному стержню 2.

Движение поперечных сечений стержня 1 описывается дифференциальным уравнением

г)2и.(х/Л г)А(хЛ rhj.fr. Л А(г) Л

, 0 <*</, .(О

дх

дх

А (*) =

ТС

/

А.

дх

\2

а,

к

/

Г

1-

ч

д(2

\

1

'V

я. -

А р\

где Е] - модуль упругости 1-го рода материала стержня А\(х) - площадь поперечного сечения; О0 - диаметр поперечного сечения при л; = 0; — коэффициент, учитывающий интенсивность изменения диаметра поперечного сечения в зависимости от*; р] - плотность материала; (х,/) - продольное перемещение поперечного сечения; I - длина стержня; х - координата поперечного сечения;

ди\ (Л') , . д\(х,Л ; --—- = 0 - продольная деформация в поперечном сечении; -—I -

дх 2

/ - время

поперечного сечения; я, - скорость звука в материале стержня. Начальные условия при / = 0 :

ускорение

Манжосов В. К., Слепухин В. В., 2011

и(х9 о) = О,

ди(х,0) _

д1

= V

о

Граничные условия характеризуют отсутствие деформаций в начальном сечении х = 0, равенство перемещений в ударном сечении х = / стержней 1 и 2 (если имеет место взаимодействие стержня 1

дщ {и)

со стержнем 2, когда

дх

< 0), отсутствие деформаций в ударном сечении х = / (если происхо-

дит разрыв контакта стержня 1 и стержня 2):

диЛиЛ диЛ1,(\ , ч , ч диМА

Е]А](/)- ]}9 2} \ «1(Л/) = м2(/»/), если ;<0,

^х

о

дх

дх

дх

—= если —

дх дх

Масса гиперболического стержня в зависимости от диаметра ударного сечения , длины стержня / и коэффициента определится как

I г>2

Г Л / Ч / 71 ' Р' 1 тг ~ \рЛ =--—" • тзут-

о 4 1 £г/

Если анализировать влияние коэффициента на характер ударного нагружения стержня, то для различных необходимо сохранить постоянными значения предударной скорости у0 гиперболического стержня и массы стержня тг. В этом случае при нанесении удара будут сохранены значения как кинетической энергии стержня, гак и его количество движения.

0

Рис. 2. Модель гиперболического стержня

ВсШ / ,¿7 V

м

г--"

1

Рис. 3. Схема /-го участка стержня

Представим гиперболический стержень в виде и-го количества цилиндрических последовательно сопряжённых конечных элементов (рис. 2).

Чтобы конечные элементы моделировали с достаточной степенью приближения гиперболические участки, длина участка должна быть малой (если, например, А/= 0,025/, то погрешность не превышает 0,2 %). Диаметр поперечного сечения участка должен учитывать изменение диаметра сечения гиперболического стержня по длине, масса цилиндрического участка должна быть равна массе соответствующего гиперболического участка.

На рис. 3 представлену'-й участок гиперболического стержня длиной Д/, ограниченный сечениями /-1 и у (/)•_, и /) -диаметры соответствующих поперечных сечений гиперболического участка).

-г

Перемещение произвольногоу-го сечения представляем в виде сумы двух функций

и. (х,*) = fj [а/ -х) + (р] (а/ + х), хн <х<х],

первая из которых /^ау!-х) описывает прямую волну деформации, а вторая ф.(а^ + х) - параметры обратной волны. Здесь а) - скорость звука в материале стержня нау'-м участке.

Начальные деформации в поперечных сечениях и скорости сечений при / = 0

дх

Граничные условия на участках стержня

дич{х, 0) ди^(х, 0)

д1

— ^о' у = 1,2...,и.

(2)

(/,,/) ЭыД/,., О

¿4(0,/) Эх

-

а/

эг

э« (/ /) а«.(/.,/)

Л ----- = ЕЛ:

дх

Ы д(

В^ЗиЛМ ди^Ь,,)

J J

дх

У = 1,2 ...п,

п п

дх

дх

диЛЬ О л

если —---<0,

дх

= 0, если№^>0,

дх

где и иХх,/) - перемещения сопряжённых поперечных сечений (/ - 1)-го и /-го участков,

положение которых определяется координатой х/; £ и £ - модуль упругости материала стержня

соответственно на (у'-1)-м и у'-м участках; ди\ - продольная деформация на 1-м участке

Эх

стержня в сечении х = 0 ; 0~ продольное перемещение ударного сечения стержня 1, положе-

ние которого определяется координатой хп; ~ продольная деформация в ударном сечении

дх

стержня 1; ^ип+\(хп+\>0 - продольная деформация в ударном сечении полуограниченного стержня 2.

дх

Начальные значения функций /.(ау/0 -х), ср)(а/0+х) и их производные //(л/0 -х), (р ' (а /0 + х) определяются из начальных условий (2) и при /0 = 0

у

Целесообразно перейти к относительным величинам, характеризующим прямые и обратные волны:

/;(а/ -х) = /;(а/ Ф', {а/ + х) = ф.(а/ +

¿г

Диаграмма прямых вол»

деформацию ё)(х,() = -/'1(а/-х) + ф', (а/+ х^ , скорость V=/'^а/-х) +(р'][а]7+х). Тогда

начальные прямые и обратные волны }'. {а^-х} - 0,5; ^ (а;/0 + х) = 0,5.

Диаграммы начальных прямых и обратных воДн изображены на рис. 4. Последующие значения функций /¡{а/ -х) и

фУ (а^ + х) определяются особенностями распространения прямых и обратных волн на у -м однородном участке стержня и преобразования волн в у'-м сечении, где сопряжены у -й и (у +1 )-й участки стержня (у = 1,2,...,/7-1).

При сопряжении у -го и (у +1 )-го участков стержня в у'-м сечении, на которое падают прямая

волна fj (я 7 - х/) со стороны у-го участка и обратная волна ф/+1(ау+1/ + хг) со стороны (уЧ1)-го участ-

л*

ка, формируются прямая — Ху) и обратная

ф] {а^ + х]) волны.

Диаграмма обратных воли

Рис. 4. Прямые и обратные волны в гиперболическом стержне перед ударом

Параметры этих волн удовлетворяют граничным условиям (5). Из этих условий следует, что

Ли' (¿W ~Xj) = rj(ppj+; (aj+]t + Xj) + q jj/J (а/ -xy ), j = 1,2,..., n-1;

fj {aS + xj) = rjjf¡ {а/ ~xj) + [ajJ + */). ./ = 12,...,/7-1;

где r - коэффициент отражения от у-го сечения падающей обратной волны ф\ Ла + х.) ;

У+1^ У+Г

Л*

- коэффициент прохождения через у'-е сечение падающей прямой волны /¡{а/ --*,-); г^ -

коэффициент отражения от у -го сечения падающей прямой волны / (д./ ; - коэффициент прохождения через у -е сечение падающей обратной волны .+1/ + х,) .

Значение коэффициентов прохождения и отражения волн в у -м сечении определяются как

„ - 2гУ.У+. а1 п _ 2г/.у>1 ^ун. - ~—ГТ'Т-

, = ГЛУ-м ~1 =!мН г = Е>А> г -

А/ V + Г у> г + Г yj+1 £ Л Л ' J+u Е А а '

О.У+1 ^ 1 0+1.7 ^ 1 Л/+1Л/+1 j j 1

где r/J+1 - отношение волнового сопротивления у -го участка к волновому сопротивлению ( у +1 )-го

участка; г/+1 - отношение волнового сопротивления ( /' + 1 )-го участка к волновому сопротивлению у -го участка.

В сечении стержня jc = О 1-го участка из граничного условия (3)

- Да/-0)+ #(*,/ + ()) = О,

следует, что в этом сечении формируется прямая волна /¡'(<V 1 + 0)> паРаметРы которой

соответствуют параметрам падающей на это сечение обратной волны ф[ (я, t + 0) . В ударном сечении стержня л' = хп П -го участка из граничных условий

^Ч, (**>') Л дии{х»>*) дип{хп>*) л ¿4, ^ л -1-- = 0, если -1--<0, ---- = 0, если -1-

д( дх дх дх

следует, что в этом сечении формируется обратная волна

<p'„(aj+х„) = -/;("„'если

параметры которой определяются параметрами падающей на это сечение прямой волны ~f'n(ant-хп).

Процедура решения задачи продольного удара гиперболического стержня о полуограниченный стержень связана с анализом процесса формирования и распространения прямых и обратных волн деформаций от сечения к сечению по всей длине гиперболического стержня.

Далее представлены результаты моделирования волновых процессов в виде диаграмм прямой и обратной волн при столкновении гиперболического стержня (£г =3,26) с полуограниченным стержнем в виде диаграмм прямой и обратной волн, а также деформированного состояния в поперечных сечениях стержня. Моделирование производится при помощи проблемно-ориентированной программы [7], написанной в среде разработки Turbo Delphi. При моделировании предполагалось, что материал всех участков одинаков ( = Е2 =... = Еп = Еп+1 = Е ; я, = а2 =... = ап = ап+] =а). Предполагается, что площади ударных сечений гиперболического стержня и полуограниченного стержня одинаковы

( А = А+1 )•

j—1_| n ( #

На рис. 4, при / = 0 (за единицу времени принимается время t. -——), как было показано ранее,

lia

стержень недеформирован, скорость сечений постоянна и равна v0, значения прямых и обратных

волн во всех сечениях равны 0,5. Сверху над стержнем показаны диаграммы прямых волн. Снизу -диаграммы обратных волн. При построении введены относительные координаты х = х/1.

После столкновения с полуограниченным стержнем в ударном сечении (х=\) формируется обратная волна, распространяющаяся к левому торцу стержня.

Отметим, что в начальном сечении действуют граничные условия, соответствующие свободному торцу, и формируемая в этом сечении прямая волна равна обратной, а деформация всегда равна нулю.

а) прямые и обратные волны

б) диаграмма деформаций

в) диаграмма скоростей

Рис. 5. Диаграммы ф^ ¿\ V для момента времени / =0,32

На рис. 5, а показаны диаграммы прямых и обратных волн для момента времени / =0,32. В этот момент обратная волна достигла сечения х = 0,68 и имеет значение ф = 0,\2, в этом же сечении прямая волна приблизительно равна своему начальному значению. В сечении х = 1 значение прямой

волны равно / = 0,56. На рис. 5, б и 5, в показаны диаграммы относительной продольной деформации и относительной скорости сечений. Участок стержня, охваченный сформированной обратной волной, испытывает деформации сжатия, деформации изменяются в пределах £=-0,378 до ¿г =-0,567.

/V

К моменту времени / = 1 (рис. 6, а) обратная волна достигает левого торца стержня, имея при этом значение = 0,374, прямая волна имеет значение ч/ = 0,5. В сечении х = 0,5 действуют волны

б) диаграмма деформаций

а) прямые и обратные волны

в) диаграмма скоростей

Рис. 6. Диаграммы f у ф9 £9 v для момента времени t = 1

Зона сжатия

=.0,234 и / = 0,596.. В ударном сечении х = \ значение обратной еГолны равно нулю, а значение

прямой равно / = 0,738 . Значения волн внутри стержня изменяются плавно без скачков.

Весь стержень испытывает деформации сжатия, и, как показано на рис. 6, б, деформации изменяются от ¿ = -0,125 при х-0 до ¿ = -0,728 при х = \ . Сечения стержня продолжают двигаться с положительной скоростью (рис. 6, в).

На рис. 7, а показаны диаграммы прямых и обратных волн в момент времени I = 1,5, когда обратная волна, отразившись от свободного горца, в виде новой прямой волны начала распространяться в сторону ударного сечения.

/V - х)

0.73

0,88

€ * £ • .. ... • » • :.....• \..... ч

• • • • « » « • • « •

о,з 0-----:................. % ■ • • • • » • • • •

0 ...... -0,142 • • »X

• •

0,8 • • • • • 1 ---- : • 4 -0.8В1

-1 /у • 1 • • » « . 1 - * > « • •

• 1 1 0,067 0,13 оД • • • • 0,27 ОДЗ 0,4 0,47 03 С ),6 0 ,67 0,73 6Ж 0,87 0,93 1

б) диаграмма деформаций

<р\ш+х)

а) прямые и обратные волны

V 1,6

0,8

0

0,8

-1,6

0.71Л

• » ■ » ■ '

. .1.-0996 ....

0.688-.-

* •» • • •«

N......» 14

I.. »

• • • »

- 0.851

-Г

0,067 0,13 ОД 0,27 0,33 0,4 0,47 0,53 0,6 0,67 0,73 0,8 0,8 7 0,93 1

в)

диаграмма скоростей Рис. 7. Диаграммы /, ф, ё, v для момента времени / = 1,5

В этот момент новая прямая волна / = 0,42 достигла сечения х = 1,5, значение прямой волны в

этом сечении изменяется скачкообразно до значения / = 0,73 . Далее значение прямой волны плавно

возрастает до / = 0,88. Значение обратной волны изменяется плавно от ф = 0 при х = \ до <р = 0,348 при л-= 0 . Деформация сечений стержня в сечении Зс~ 0,5 (рис. 7, б) также изменяется ступенчато от значения £ = -0,142 слева от сечения до значения ё- -0,449 справа от сечения.

К моменту времени / =1,98 прямая волна (рис. 8, а) практически достигает ударного сечения. В ударном сечении возникают деформации ¿ = -1,05, по величине близкие к максимальным при

/ = 1,05. В момент времени I —>2 в ударном сечении возникают максимальные по модулю деформации. В сечении х = 0,98 значение прямой волны изменяется скачком от / = 1,05 до / = 0,56. Значение обратной волны изменяется плавно от ф- 0 при х = \ до ф- 0,31 при х = 0 . Диаграммы про-

ч

дольной деформации и скорости показаны на рис. 8, б, в.

Г, • « .......:......з..... • * * • • • 4 • • . • » • •А...... ... • ■ • • • » * • .. .......V. ... .. •

1,6 • " г • • • • •

• • • • • • • • • • • •

0,8 0

• • • * • • ! < ■'■ ■ " _- • « - -0.66 •

-0,8 « | * , • • • • • ♦ • « • • 1 * * 1

• • • 1 • • • . .

1 ✓ * • • • » • » » » «

-1,6 • » • • « • 1 • • • « * « « • * 1 I • * • • • « • »

0,067 0,13 ОД 0,27 033 0,4 0,47 0,53 0,6 0,67 0,73 0,8 0,87 0,93 1

б) диаграмма деформаций

ф\сп + л*)

а) прямые и обратные волны

V • • . а • • • • 1 • * - • • • » » ' • . • 1 • » . _ • • 1 . 9 I ......>.......с......И

• « ' • • . 1 ' » • ........ .. ^ . , • • . *

1,6 • • • • . • • % • • лоб

0,8 А 0,64 ::•:::: "."о : : •.

0 • ► • • »у • • • • • • »

-0* • » • • • » • • • • "1 ........ - • • • " •* » • 1 •*• * • ■ 1 : а • . • • 1 . . .. . .«• . . . . .. 4 . . ... » .».».. • . . • Л • • • • 1 • * • г- • • • • • ■••« • • • • • ■ • - в.....N * • 1 1

-1,6 * • « • • • 1 • * • »111 1 • • • • 4 • • •

0,067 0,13 0,2 0,27 ОДЗ 0,4 0,47 0,53 0,( & 0,67 0,73 0,8 0,37 0,93 1

в) диаграмма скоростей Рис. 8. Диаграммы /, V для момента времени / = 1,98

ШШЩШ

Шт

Далее процесс распространения волн протекает с уменьшением значений прямой и обратной волн до того момента, когда деформация в ударном сечении становится равной нулю. Моделирование показало, что это происходит в момент времени 7 » 2,4 .

Для установления зависимости параметров ударного взаимодействия от коэффициента было

выполнено моделирование продольного удара различных гиперболических стержней при условии равенства их масс, диаметров ударных торцов и предударной скорости. Массы стержней и диаметры ударных торцов гиперболических стержней соответствовали массе цилиндрического стержня длиной

/0= 1 м, диаметром Ос= 0,025 м. Поскольку диаметр ударных торцов всех рассматриваемых стержней одинаков, а также одинакова масса, то при изменении коэффициента изменяется длина гиперболических стержней /г. Длина гиперболических стержней находится из решения уравнения

* / п ^ \2 71 " А2

1

0

4 1 - 4

Уравнение решается на ЭВМ численным методом. Стержни разбивались на 100 цилиндрических последовательно сопряжённых участков. Значения максимальных по модулю относительных деформаций, а также соответствующие длины стержней показаны в таблице 1.

Таблица 1

Характеристика поверхности цилиндр С =0,52 £г =0,91 =2,02 £-=3,26 £ =4,3

Длина гиперболического стержня /г 1 0,6578 0,523 0,331 0,234 0,188

Максимальная деформация в ударном сечении £ 0,5 0,69 0,79 0,95 1,05 1,1

о 0,5 I 1.5 2

Рис. 9. Диаграммы, характеризующие изменение относительной продольной

деформации во времени

На рис. 9 приведены диаграммы, характеризующие изменение относительной продольной деформации в ударном сечении (соответственно ударной силы во времени).

При ударе цилиндрического стержня относительное значение продольной деформации в ударном

сечении равно \ё\ = 0,5 для интервала времени 0 < / < 2 .

При анализе полученной информации установлено, что при увеличении значение максимальной деформации в ударном сечении увеличивается на всём диапазоне изменения £. При значении

большем 3, максимальное значение относительной продольной деформации превышает максимальную деформацию, возникающую в цилиндрическом стержне, в два раза и более.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Алимов, О. Д. Метод расчёта ударных систем с элементами различной конфигурации / О. Д. Алимов, В. К. Манжосов, В. Э. Еремьянц. - Фрунзе : Изд-во «Илим», 1981. - 71 с.

2. Алимов, О. Д. Удар. Распространение волн деформаций в ударных системах / О. Д. Алимов, В. К. Манжосов, В. Э. Еремьянц. - М.: Наука, 1985. - 386 с.

3. Дворников, Л. Т. Формирование ударного импульса в полубесконечном стержне бойком, имеющим форму гиперболоида вращения / Л. Т. Дворников, А. А. Мясников // Труды Фрунзенского политехи, ин-та. - Фрунзе. - 1977. - Вып. 104. - С. 70 - 82.

4. Манжосов, В. К. Продольный удар / В. К. Манжосов. - Ульяновск, 2007. - 358 с.

5. Мясников, А. А. Обоснование рациональной конструкции механического генератора волн продольных колебаний машин ударного действия для разрушения горных пород: автореф. дисс...канд. техн. наук / А. А. Мясников. - Алма-Ата, 1983. - 19 с.

6. Мясников, А. А. Импульс продольных колебаний, генерируемый бойком, имеющим форму гиперболоида вращения, в стержне постоянного поперечного сечения / А. А. Мясников // Материалы 6-й науч.-практ. конф. по проблемам машиностроения, металлургических и горных машин. - Новокузнецк : Сиб. гос. горно-металлургическая академия, 1997. - С. 55 - 67.

7. Слепухин В. В., Манжосов В. К. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2009610124 МоёеКос! 01, зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 11 января 2009 г.

Манжосов Владимир Кузьмич, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Теоретическая и прикладная механика» Ульяновского государственного технического университета. Имеет монографии и статьи в области динамики механических систем переменной структуры, продольного удара в механических волноводах.

Слепухин Виталий Владимирович, старший преподаватель кафедры «Теоретическая и прикладная механика» Ульяновского государственного технического университета, Имеет статьи в области продольного удара в механических волноводах, моделирования волновых процессов при продольном ударе.