Дивергенция крыла самолёта в дозвуковом потоке газа Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ

УДК 629.113.075

Ю. Н. САШСИН, К. В. ОЛЕЙНИКОВ

ДИВЕРГЕНЦИЯ КРЫЛА САМОЛЁТА В ДОЗВУКОВОМ ПОТОКЕ ГАЗА

Работа посвящена линейной постановке задачи дивергенции консольного крыла. Данная задача в настоящее время решается методом Бубного-Галеркина или при помощи метода конечных элементов (МКЭ).

Здесь предлагается вариант МКЭ, который называется методом перемещений. Этот .метод основан на точном интегрировании, когда для участка стержня решается краевая задача по нахождению краевых сил и моментов через вынужденные перемещения его концов. Затем составляются уравнения равновесия узлов. Нагрузочные члены также получаются точным интегрированием. Поэтому длина участка стержня неограничена, причём для крыла переменного сечения число участков может быть произвольным.

Ключевые слова: дозвуковой поток, дивергенция, крыло самолёта, метод перемещений.

Крыло с прямой осыо направлено перпендикулярно потоку и представляет собой упруг ий стер-ясень переменного сечения, жёсткость которого в направлении потока (ось у) максимальна и велика по сравнению с другой изгибной жёсткостью (ось х) рис. 1.

Деформация крыла характеризуется смещением центров изгиба, углами поворота. Эти смещения показаны на рис 2.

и

■XV

л.________

/

X

•• к-

у

Рис. 1

Рис. 2

Уравнения дивергенции крыла имеет вид [1, 2]:

а2<9

си,

дх

/л(х) = 0.

(1)

Здесь СУк - соответственно изгибная и крутильная жёсткости; ¡л - аэродинамический момент, отнесённый к единице длины крыла. Для /л имеется следующее выражение [1]:

М

2 с 4 с13

(2)

Санкин Ю. Н., Олейников К. В., 2011

В формуле (2) величины: С/ - коэффициент подъёмной силы; и - скорость набегающего потока,

р - пло тность воздуха; с - хорда крыла; *9 - угол атаки.

Подставляя величину // согласно формулам (2) в уравнения (I), получим:

—2

к

^= о.

дх1 2 с 4 г/,9

(3)

<19{ 0) Л

Граничные условия для уравнения (3): ¿'(О) =------= —— и •

с!х с!х~

Уравнения дивергенции крыла по методу перемещений, согласно (2), для одного участка с учётом граничных условий имеют вид

В уравнение (4) индексы соответствуют рис. 3 [3].

А2

(4)

J

Р

X

У

Рис. 3

Величины в квадратных скобках определяются аэродинамическим моментом, который в свою очередь зависит от угла атаки.

Рассмотрим применение метода перемещений для одного участка. Уравнение для кручения крыла имеет вид (4):

м 4 = WMQb = 0.

_ GJ, а ~ GJk acosa г-

где F = ■ • - ; О = —- • —. , а = Ыа\

1 sin а / sin а

1. dCL

Величина с?имеет вид: а-

[5,1 = 0.

Уравнение равновесия узла:

н с Г dS

2 • GJ,

Ü&=Q>

(5)

GJ. acosa _

где 0 = —;-= 0,

/ sin а тогда cos а — 0.

Отсюда имеем критическую скорость дивергенции для одного участка:

Uдив

тс ~2

2 • GJ,

UdCL

(6)

И с 4; d&

Для крыла с параметрами: / = 4 м, ^ = 4,524 • м4, Е = 72 ГПа, скорость дивергенции равна 83 м/с.

Для крыла переменного сечения, то есть для нескольких участков, решение задачи осуществляется следующим образом.

Рассмотрим случай одного элемента. Для кручения крыла имеем [3] (рис. 3):

Mxkj=[Mxkj\ + Q.&k-F-&p

(7)

г л г 1 rrm г a ^ bJk aco5a I

где Wxkj } = = -f- - , 0 = ■ т" — , a = Va ;

/ sma / sine?

Запишем условия равновесия узла 1 где =

Выражение для величин в квадратных скобках возьмем согласно работе [5]:

9 = (1 - s) ■ ,9„ + s • ,5> . (9)

т=7ЛГ- ■ Е "й1 - -о • =~~ к»

Цо 'Jk\0 л! Цо'^Ю ^ с 4 (Хх7 .

ft р■ и „

----С

^Ю'ЛгЮ 2 ^ о

I

о

--2

/10 /?•£/" о ,х() i dC, где А, ---^-------)--L;

Чо-Лю 2 с 4

Условие равновесия узла 1 принимает вид

^ю'Лю 2 с 4 d& Q

(10)

Отсюда находим скорость дивергенции, которая равна 93 м/с, при параметрах крыла / = 4 м, 4 - 4,524 • 1О^3 м\ Ж - 72 ГПа. Для двух элементов имеем:

= \ма, ] + 0 ■■ -9, - • .9,,

где =

Тогда уравнения равновесия узлов 1 и 2 будут:

Х.0 + = + 2,0' >9, - ■ -9„ + [М„2 ] + й, • - И ■ 9г = 0,

где [*„,] = ^о • И1. 1 = ', ] = Рп-Щ],

ОД] = ■ Е Й1 - ' Км (*)*,

Цо'Лю .у]

.у 2

(И)

^ • I

12 ¿12

И ]=т^т- ■ Е }/<(<) • Км о - ^ ■

12 ' к\2 л1

Выражение для аэродинамического момента имеет вид (2), тогда величины в квадратных скобках с учётом (9) примут вид:

[&0] = КГ ]#([-*)■ к1/М= К, • • ,

л! 0

52 1

] - К2 • |<9(1 - *)• к^ (*)<& = Кх • -&2 + (1- з) • ^). ,

л*1 0

л 2

где К, =

I2 по

Ст

^10 и /с 10

] "= * * Км 0 - = К2 ■ " ' ^ + * ^Я) ' (1" 5)С13 ,

р-и2

I

о

2 12

с 4 <18

2 4' " Оп^кп 2

Скорость, при которой имеет место дивергенция, получается из условия пересечения годографа для определителя системы (11) О(и), рис.4. Выражение для определителя имеет вид:

о(У) =

» 1 I

ад +0О + ГпК2|(1 - +Оп Р12К2 {(1 --

о

о

I

ГУ1К21(1 - - Р\2

о

о

I

о

5 -10' т

0(и)

-5!0' +

-мо3 -1-

и

Рис. 4

Отсюда находим скорость дивергенции, которая равна 86 м/с, при параметрах крыла /=4 м,

м

4, Е = 72 ГПа

Л = 4,524- 10" Выводы:

1. Разработан новый поход к решению задачи о дивергенции крыла в дозвуковом потоке газа.

2. На основе разработанной методики построен МКЭ, когда длина конечного элемента и их число неограниченны. Это позволит учесть переменность сечения крыла и его стреловидность.

3. Предложенный метод является точным в рамках предположений, положенных в его основу.

4. Данный метод является более компактным, благодаря чему снижаются вычислительные затраты.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1. Фын, Я. Ц. Введение в теорию аэроупругости / Я. Ц. Фын. - М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1959. - 524 с.

2. Болотин, В. В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости / В. В. Болотин. - М. : Государственное издательство физико-математической литературы, 1961. - 340 с.

3. Санкин, Ю. Н. Динамические характеристики вязко-упругих систем с распределёнными параметрами / Ю. Н. Санкин. - Саратов : Издательство Саратовского университета, 1977. - 312 с,

4. Санкин, Ю. Н. Частотные методы оценки устойчивости нелинейных систем с распределёнными параметрами / Ю. Н. Санкин // Российская академия наук Сибирское отделение, институт динамики систем и теории управления, труды IX Международной Четаевской конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением». - 2007. - Т. 2. - С. 195-208.

5. Санкин, Ю. Н. Нестационарные колебания стержневых систем при соударении с препятствием / Ю. Н. Санкин, Н. А. Юганова; под общ. ред. Ю. II. Санкина. - Ульяновск : УлГТУ, 2010. - 174 с.

©•©©©©в©©©©©©©©©©©©©

Санкин Юрий Николаевич, доктор технических наук, профессор УлГТУ.

Олейников Кирилл Владимирович, аспирант кафедры «Теоретическая и прикладная механика» УлГТУ.