Определение критических скоростей прямого крыла большого удлинения Текст научной статьи по специальности «Физика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2014. Вып. 3. С. 71-80 Механика

УДК 539.3

Определение критических скоростей прямого крыла большого удлинения

В. И. Желтков, Чыонг Ван Хуан

Аннотация. Рассматривается обтекание потоком газа прямоугольного крыла большого удлинения. Крыло рассматривается как тонкий стержень в рамках теории В.З. Власова. Внешние нагрузки предполагаются пропорциональными углу атаки профиля с коэффициентами, зависящими от параметров профиля и числа М потока. Предполагается, что эти коэффициенты определены экспериментально для до- и сверхзвуковых скоростей. Сформулированы уравнения изгибных и крутильных свободных колебаний. Анализ собственных частот позволяет определить точки смены типа корней характеристического уравнения с вещественных на мнимые, которые соответствуют потере устойчивости крыла: крутильным дивергенции и флаттеру.

Ключевые слова: тонкий стержень, линейная аэродинамика, дивергенция, флаттер.

Историческия справка. Обзор литературы

Аэроупругость изучает влияние аэродинамических сил на упругие тела [1]. Классическая теория аэроупругости имеет дело с напряжением и деформацией упругого тела под действием внешних сил, определяемых набегающим потоком газа, причем их величина определяется деформациями тела. Поскольку для заданной конфигурации упругого тела аэродинамические силы быстро увеличиваются с ростом скорости потока, то может существовать критическая скорость потока, при которой конструкция становится неустойчивой. Такая неустойчивость может явиться причиной чрезмерных деформаций и может привести к разрушению конструкции. Поэтому определение критической скорости имеет важное значение для таких отраслей техники, как строительство сооружений, кораблей на подводных крыльях и особенно в авиационной технике, в которых конструкции фюзеляжа, оболочки камер сгорания ракетных двигателей, крыльев являются упругими телами, взаимодействующими с потоком газа. По этой проблеме было много исследований, начиная с 30-х годов прошлого века, как в России, так и в других странах. Общая трудность

заключается в том, что при решении этих задач нужно строить систему уравнений состояния потока и объекта расчета и решать их. Например, в работах А.С.Вольмира [2], И.А.Кийко [3] рассматривается так называемая поршневая модель сверхзвукового потока, а объект расчета — тонкая пластинка переменной толщины. В работах В.В.Болотина [4] и более ранних крыло представляется стержнем постоянного сечения, а внешние нагрузки также определяются поршневой теорией.

Ряд современных беспилотных ЛА имеет раскрывающиеся крылья достаточно большого удлинения 5 и более), имеющие симметричный профиль малой относительной толщины (крылатые ракеты разных стран). Мы предлагаем использовать для моделирования поведения такого крыла уравнения теории стержней, а для определения аэродинамических нагрузок — расчетные и экспериментальные графики аэродинамических коэффициентов, например, приведенные в [5]. Так как эти графики распространяются и на дозвуковые, и на сверхзвуковые скорости, то возможности модели будут расширены.

Теория тонких стержней

Постановка задач теории стержней, учитывающая депланацию сечений, принадлежит В.З. Власову [6]. Основные гипотезы:

- плоское сечение, перпендикулярное оси стержня в начальном состоянии, не деформируется в своей плоскости, то есть сохраняет поперечные размеры и форму контура. Плоскость контура остается перпендикулярной к деформированной оси стержня; плоскость сечения испытывает депланацию;

- при этом система перемещений такова, что поперечные перемещения соответствуют поступательному движению плоскости сечения как абсолютно твердого тела и повороту его вокруг направляющего вектора оси, а продольные перемещения определяются поворотами сечения как абсолютно твердого тела вокруг главных центральных осей инерции поперечного сечения.

Эти гипотезы приводят к следующим выражениям для перемещений точек стержня:

{«(ж, у, г, Ь) = и(г, Ь) + Ь)г эш^); у(х, у, г, Ь) = ь(г, Ь) + ^(г, Ь)гео8(^);

г2 = ж2 + у2; еов(^) = Х; 8т(^) = У; (1)

г г

w(x, у, г, Ь) = -ш(г, Ь) — 0У(г, Ь)х — 0Х(г, Ь)у + й(г, Ь)ху.

Здесь и(г,Ь), -и(г,Ь), w(z,t) — компоненты вектора перемещения центра тяжести сечения, вУ(г,Ь), 0ж(г,Ь), — углы поворота сечения

относительно осей у и х и угол закручивания; г — расстояние от точки до центра тяжести сечения, й(г, Ь) — мера депланации. Функция

депланации принята в соответствии с В.З. Власовым в виде произведения ху. Приведенные следствия из кинематической гипотезы В.З. Власова включают в себя и гипотезу Бернулли; отличие заключается в дополнительной неизвестной функции с! — мере депланации.

Разрешающая система дифференциальных уравнений относительно компонент перемещения и угла закручивания при учете только инерции поступательного движения и поворота вокруг касательной к оси имеет вид:

+ рА

д 2и1

= Яг,

дМ2 2

д4и Тх + Ту д4< д2и

д.¥ + Юх2у 1у-Тх д.¡4 + рАд2 = Ь>

д4У Т + Ту д4< . д2у

дЦл + ЕТху2'

ЕТ

д4 < д¥

-а

Ту Тх д.

Тх + Ту д4< -

]Т—ТХ + рАд2 =Яу'

4ТХТу

(2)

д 2 < Тх I Ту д.

/ т \ д2< - р Тх + Т = т

дг2

Тх2у = / х2уйА; Тху2 = / ху2йА; Т = / х2у2йА,

А

А

А

где Ту, Тх — обычные главные центральные моменты инерции сечения, — компоненты распределенной вдоль оси нагрузки, т — распределенный вдоль оси крутящий момент.

Мера депланации с1(г,Ь) исключается из системы уравнений благодаря уравнению

а(Ту - Тх) дй + а (Тх + Ту) ^ + т = о, (з)

которое представляет собой условие равновесия крутящих моментов — проекций главного момента на ось стержня.

Модель нагрузок

Как известно из курса аэродинамики [5], подъемную силу У и момент тангажа Мг принято выражать через безразмерные коэффициенты подъемной силы Су и момента тангажа Мг, которые в рамках линейной теории представляются линейными функциями угла атаки профиля а:

рУ2 рУ2

У = С у а • ^ • Бк; Мг = Мах • а^ • Ьа • Бк. (4)

Здесь Суа, Ма — производные коэффициентов подъемной силы и момента тангажа профиля крыла; р — плотность воздуха или газов в кГ-с2/м4; У — скорость невозмущенного воздушного потока в м/с; Б к — площадь консоли крыла в м2.

Производные коэффициентов зависят главным образом от числа М и от формы крыльев в плане, характеризуемой для трапециевидных крыльев удлинением Л, сужением п и углом стреловидности Таким образом,

са = /1 (М,Л,п,х) , ма = /2 (М,Л,п,х). (5)

Отметим, что для стержневой модели крыла подъемная сила — поперечная нагрузка, приложенная в центре тяжести профиля, а момент тангажа — распределенный по длине крутящий момент.

Для крыльев беспилотных ЛА характерны симметричные профили. Поэтому из полной системы уравнений состояния стержня используем два уравнения 4 порядка для изгиба поперек плоскости симметрии и кручения:

—4 , . . —2 , , —2 —2

г р.У2

Е • Зх • —4 v (г,^ + р • А • -2 v М - р • 7 • ^ -2 « М =

= Су« (М) • (а + в (г,*)) • , (6)

Е • ^ • в ^*) - С • ^ • ¿2в ^ - р • 7 • в (г,*) +

—2 С; Ь Р V2

+г • А • в (г, *) = (М) • (а + в (г, *)) • • , (7)

где ^ — продольная нагрузка; гх, гу — моменты продольной нагрузки относительно поперечных осей; г^ — бимомент продольной нагрузки; ду — поперечные нагрузки, т — распределенный крутящий момент. Нагрузки не зависят от продольной координаты, так что производные по г в предыдущих формулах равны нулю.

Рассмотрим крутильные колебания (последнее уравнение) и приведем его к безразмерному виду, для чего введем безразмерную продольную координату £ = ж/£ и разделим левую и правую части на произведение

—'4 ^ / ч —2 ^ . . Р^Ш Ь4 —2 —2 ^ . . . ч

^в(г,*) - "ТГ • Е^ • ^в(г,*) - ТГ • Е^? • ^в(г,*)+ (8)

+р-г2- А • • в (г,*) = М« (М) • (а + в (г,*)) ^ 2 ^

Е^ 4 ' ' ¿«V ; VI ч > ^ ь 2

С • 7 Ь4 Е • Ь4 7 • Ь2

Ь2 Е-^ 2 • (1 + и) •Ь2 2 -(1 + и)'

7 • Ь2 2 + 7у Т 2 7х + 7 У _ т

^ =2-^-(1+ и), Г = А , Ь - =

Бкр ■ Ь рУ2 Ь4_ = Бкр ■ Ь ■ Ь3 /Кего (Н)\ 2 М2

2 ' \ Укр

7--:--= -?--I -I ■ М2 = К* (Н) ■ М2.

Ь 2 2 • . \ Укр )

Здесь Уаего(Н) — скорость звука на высоте полета — из таблиц стандартной атмосферы; Укр — скорость звука в материале крыла: Укр = Ер. Уравнение кручения в безразмерном виде запишется так:

£6 ) - ^ ■ $6 (<'Т) " (£ £6 (<'Т0 + ■ £6 К'Т) = (9) = Мга (М) ■ (а + 6 Т)) ■ К, (Н) ■ М2.

Примем, что начальный угол установки крыла а = 0 и рассмотрим уравнение свободных крутильных колебаний, в котором предположим существование гармонических колебаний

0 (С,Т) = 0а (С) еШт. (10)

В этом случае уравнение относительно форм свободных крутильных колебаний принимает вид:

-4 -2 -2

^ 6а (С) - ^ ■ ^ 6а (С) + О2 ■ ^ 6а (С) - О2 • ^ ■ 6а (С) = (11)

= Мха (М) ■ 6а (С) ■ К, (Н) ■ М2. Сгруппируем подобные члены

¿4 ¿2

^ 6а (С)+(О - ■ 6а (С) -

- (Мга (М) ■ К, (Н) ■ М2 + О2 ■ .]хщр) ■ 6а (С) = 0 (12)

и обозначим

2 ■ а (О)2 = О2 - , Ь (О, М)4 = Мга (М) ■ К, (Н) ■ М2 + О2 ■ .

Уравнение свободных колебаний — обыкновенное линейное уравнение четвертого порядка с постоянными коэффициентами

¿4 ¿2

^ 6а (С) + 2 ■ а2 ^ 6а (С) - Ь ■ 6а (С) = 0. (13)

Перейдем к системе уравнений первого порядка

в

^9а (С)= Фа (С) ,

где фа — угол закручивания на единицу длины (безразмерная крутка); безразмерный бимомент

в

— Фа ( 0= ва (С) ва; безразмерный изгибно-крутильный момент

в

~^ва (0 = Па (0 Па;

в

-Па (0 = -2 ■ а2 ■ в (0 + Ь4 ■ 9а (0 .

Перейдем к матричной записи, вводя вектор состояния [7]:

Ф (0 = (9а <^а ва Па Г . Безразмерная система уравнений принимает вид

(14)

в т — ф

вс

01 0 0

00 1 0

00 0 1

V ь4 о 2 а2 0

(15)

Найдем ее решение, применяя преобразование Лапласа по координате (:

уь (р) =

■ 0 1 0

р ■ I — 0 0 1

0 0 0

V Ь4 0 2а

0 \

0

1

о/

-1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

(16)

2-а2-р+р3

2-а2+р2

Уь (р) =

2-а2-р2 -Ь2+р4 4 2 а2р2-Ь2+р4 2-а2-р+р3 2 а2-р2- Ь2+р4 р2 2^р2-Ь2+р4 р

2-а2-р2 -Ь2+р4 2 а2р2-Ь2+р4 2 а2^р2-Ь2+р4 р3 2-а2-р2-Ь2+р4 р2

Ь ■р Ь4

2-а2-р2 Ь4 -Ь2+р4 ■р2 2 а2р2-Ь2+р4 Ь4 ■р 2 а2^р2-Ь2+р4 Ь4-2^р2 2^р2-Ь2+р4 р3

Ь ■р_ Ь ■р Ь -2-а ■р _р_

\ 2-а2-р2-62+р4 2-а2-р2-62+р4 2-а2-р2-62+р4 2-а2-р2-62+р4 '/

(17)

Оригинал (16) найдем путем обратного преобразования Лапласа по р: Уь (Оо.о = ■ (сЬ ( С ■ Р1) ■ Р2 + сов (( ■ Р2) ■ Р1) ,

2.Я

Уь (Оо,1 =

8Ь(( ■ Р1) ■ (02 + 1) 81п(с ■ Р2) ■ (§■ -1)

2- Р1

2- Р2

2

1

р

т/ ^ Sh( Z +S14 Z p2) P2 Sh (Z ■ pi) - pi. Sin(Z ■ P2)

Vl (z 2=-Z-' Vl (z)o'3 =-WSTZ-■

Vl (Z)i,0 = b4 ■ Vl (Z)O,3 , Vl (Z)m = Vl (Z)O,O , Vl (Z)i,2 = Pi sh(Z ■Pi) +I2 s1n(Z ■P2), Vl (Z)i,3 = Vl (Z)O,2 ,

Vl (Z)2,O = b4 ■ Vl (Z)O,2 , Vl (Zki = Vl (Z)I,O ,

Vl (Z)2,2 = PiCh(Z ^Pi) + Z2 ^ COS(Z ^P2), Vl (Z),3 = Vl (Z)i,2 , Vl (Z)з,о = b4 ■ Vl (Z)i,2 , Vl (Z)з,1 = Vl (ZЬ,о ,

fp2 ■ (2 ■ a2 + b4 - 2 ■ a2 ■ Z) ■ Sh (Z ■ ppi) VL (Z)3,2 = - -ö—^--+

+

2 ■ л/54 ■ Z

Pi ■ Sin (Z ■ P2) ■ (2 ■ a2 + b4 + 2 ■ Й2 ■ Z) 2 ■ У54 ■ Z

Vl (Z)з,з = Vl (Z)

3,3 _ ^/2,2 •

Нетривиальные решения системы существует, когда равен нулю определитель матрицы, выражающий граничные условия. Для консольного крыла с началом координат в центре тяжести бортового профиля равны нулю кинематические параметры в начале координат (угол закручивания и крутка), а на конце консоли — силовые параметры (крутящий момент и бимомент). Тогда для определения частот свободных колебаний имеем уравнение

У ) =

Vl (1)2,2 Vl (1)2,3 Vl (1)3,2 Vl (1)3,3

0. (18)

Решена задача о свободных колебаниях стального крыла прямоугольного сечения L = 1м, b = 0.1м, h = 0.01м, Mza = 0.02M, Lt = 1, bt = 0,1, = 2x X1011, Vst = 0, 3, pst = 7850.

Безразмерные параметры крыла: At = L = 10 — удлинение крыла; ct = h =0,1 — относительная толщина; Sfcpt = At ■ bf = 0,1 — площадь крыла; A = ct ■ bf = 1 x 10-3 — площадь профиля;

3у1 — 42т = 8> 333 х 10-7' = ¥ = 8> 333 х 10-9>

•с3 — 3 3 V 10-8 Т . — •с3 — 6 044 V 10-12

— — 3 ,3 х 10-8 , ^ — — 6 ,944 х 10-

З<рЬ • (иа

^ — 2Л+Г) — 1> 828 X 103,

ГА . 3402-Еа

Коэффициент момента тангажа принят следующей функцией числа М:

3ху<? — Ь2 • {'Луь) — 1, 212 X 105, Ки — а*2Ь.УЬ • 3402а^ — 3, 267 х 106.

ал Г 0.03 при М < 1,

(М) —\ -0, 015.М - 0М5 при М > 1.

Для представления решения используем разложение по формам свободных колебаний (модальное разложение)

4

у(£,т) —£ Ук (х)еп*т, к= 1

где 0,к — частоты свободных крутильных колебаний.

Графики зависимостей вещественной и мнимой частей корней характеристического уравнения от числа М набегающего потока приведены на рис. 1, 2.

Вещественная часть корней

I -—■ Первый и второй " ■ ■ ■ ■ Третий и четвертый - - -. _

м

Число \Т

Рис. 1. Зависимость вещественной части корней характеристического уравнения от числа М набегающего потока

Критические скорости определяем следующим образом: пока все корни вещественные, происходят свободные устойчивые по Ляпунову крутильные колебания. При значении М, при котором появляется чисто мнимый корень, одна из форм начинает развиваться апериодически (М — 1.125), вокруг этой формы совершаются устойчивые колебания по форме, соответствующие

Манная часть корней

гв1(1Лй) Е —

zK(l,Mc)"

— Первый и второй — Третий и четвертый

/

>

г

Мс ЧислоМ

Рис. 2. Зависимость мнимой части корней характеристического уравнения от числа М набегающего потока

другой паре корней (см. графики первого и второго корня). Вторая критическая скорость (М = 2.58) соответствует появлению двух пар комплексных корней, причем второй и четвертый корни соответствуют развивающимся гармоническим колебаниям. Таким образом, меньший корень соответствует крутильной дивергенции, а больший — крутильному флаттеру. Интервал дивергенции 1.125 ^ М ^ 2.58, интервал флаттера 2.58 < М < оо.

Список литературы

1. Введение в теорию аэроупрогости / Я.Ц. Фын [и др.]. М.: Физматгиз, 1959. 522 с.

2. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967. 984 с.

3. Алгазин С.Д., Кийко И.А. Флаттер пластин и оболочек. М.: Наука, 2006. 248 с.

4. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: Физматгиз, 1961. 338 с.

5. Лебедев А.А., Чернобровкин Л.С. Динамика полета беспилотных летательных аппаатов. М.: Машиностроение, 1973. 616 с.

6. Тонкостенные упругие стержни / В.З. Власов [и др.]. М.: Физматгиз, 1959. 565 с.

7. Прикладные задачи механики деформируемого твердого тела. Ч. 1. Статика стержней / М.В. Грязев [и др.]. Тула, Изд-во ТулГУ, 2011. 112 с.

Желтков Владимир Иванович ([email protected]), д.ф.-м.н., профессор, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.

Чыонг Ван Хуан ([email protected]), аспирант, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.

Determination of critical speeds of the direct wing of big lengthening

V. I. Zheltkov, Truong Van Huan

Abstract. Rectangular wing of the big lengthening is placed in the air stream. The wing is considered as a thin rod within Vlasov's theory. External loadings are supposed proportional to angle of attack of profile with the coefficients depending on parameters of profile and number M of air stream. It is supposed that these coefficients are defined experimentally for to - and supersonic speeds. The equations of flexural and shifting free oscillation are formulated. The analysis of own frequencies allows to define change points type roots of the characteristic equation with material on imaginary which correspond to loss of stability of the wing: torsional to a divergence and flutter.

Keywords: thin rod, linear aerodynamics, divergence, flutter.

Zheltkov Vladimir ([email protected]), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of mathematical modelling, Tula State University.

Truong Van Huan ([email protected]), postgraduate student, department of mathematical modelling, Tula State University.

Поступила 16.09.2014