Метод конечных элементов в задаче нестационарных колебаний тонких плит при внезапном нагружении Текст научной статьи по специальности «Физика»

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1. Deuling Н. J. Elasticity of nematic liquid crystals. // Solid State Physics Supplement. - 1978. - Vol. 14. - P.77-107.

2. ВаПнберг, М. М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений / М. М. Вайнберг, В. А. Греногин. - М.: Наука, 1969.-527 с.

Алексеева Елена Викторовна, аспирант кафедры «Высшая математика» Ульяновского государственного технического университета.

Логинов Борис Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Высшая математика» Ульяновского государственного технического университета. Имеет монографии и статьи в области нелинейного функционального анализа и его приложений.

УДК 539.3:534.1 Ю. Н. САНКИН, С. А. ЯВКИН

МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В ЗАДАЧЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ КОЛЕБАНИЙ ТОНКИХ ПЛИТ ПРИ ВНЕЗАПНОМ НАГРУЖЕНИИ

Предлагается частотный метод решения задачи о нестационарных колебаниях тонких плит с учётом рассеяния энергии при произвольном силовом нагружении.

Задача динамики тонких плит ставится следующим образом: согласно обобщённой форме МКЭ для вязко-упругой системы с распределёнными параметрами в пространстве преобразования Лапласа для произвольно расположенного треугольного элемента строятся матрга\ы масс, эюёсткостей, рассеяния энергии, а также правых частей уравнений с использованием L-координат. В нагрузочные члены, в зависимости от вида задачи, входят величины, зависящие от начальных условий. Решая полученную систему уравнений при р = /со, где р - параметр преобразования Латаса, со - частотный параметр, строим ам-плитудно-фазо-частотные характеристики (АФЧХ) для интересующих точек плиты. Поскольку все особые точки соответствующих выражений лежат левее мнимой оси, обратное преобразование можно осуществлять, полагая р = /со, т. е. используя построенные АФЧХ. При рассмотрении ударного взаимодействия задача по построению АФЧХ, где в качестве силового воздействия фигурирует поле начальных скоростей, умноженное на погонную плотность плиты, является вспомогательной. Обычно АФЧХ строятся от воздействия возмущающих сил, затем численным интегрированием или каким-либо иным способом осуществляется обратное преобразование Лапласа. Известно, что каждому витку АФЧХ соответствует один член ряда в разложении по формам колебаний [1]. Между экстремальными точками АФЧХ и коэффициентами соответствующих членов ряда существует однозначная связь, которая используется в настоящей работе для осуществления обратного преобразования Латаса. Описанный выше подход позволяет решать нестационарные задачи динамики тонких плит при произвольном силовом нагружении и ударном взаимодействии.

Аналогичным методом была решена задача о продольных колебаниях упругих стержней ступенчатопеременного сечения [4] и осесимметричных колебаний оболочек вращения при внезапном нагруэюении [5]. Ниже, в отличие от ранее рассмотренных одномерных задач [4, 5], решается двумерная задача динамики тонких плит при внезапном нагружении и ударном взаимодействии. Соответствующие соотношения метода конечных элементов, а именно матрицы жёсткостей и масс, а также вектор нагрузочных членов получены в символьном виде, с помощью компьютера. При вычислениях используется обобщённая

симметрия соотношений для треугольного конечного элемента плиты в L-координатах. Результаты работы [3] подтверждены компьютерными вычислениями.

Согласно [1], обобщённая форма уравнений ме- _(у + р^ + /ц + Ta0)]T}iijdV -

хода конечных элементов дается соотношениями:

где а •- вектор обобщённых сил, или тензор напряжений; и - вектор обобщённых смещений; Я -© Санкин Ю. Н., Явкин С. А., 2004 матрица инерционных характеристик, или удельная

масса: / - вектор-функция внешних нагрузок; С и С, - соответственно матрицы или тензоры упругих постоянных м коэффициентов внутреннего трения; /

- число степеней свободы конечного элемента; а0,а]

- соответственно поля начальных перемещении и начальных скоростей.

Из уравнения (1) получаем соответствующие выражения для элементов матриц жесткостей, рассеяния энергии. Масс и нагрузочных членов

Уравнения для коэффициентов матриц жесткостей, масс и правых частей для плоской плиты запишем следующим образом:

г ♦ 'г * ^ г Эм. ди;

к, = \(СО щ/О'и/В =

$

Се = \(СВ‘и,)тО'и/Г,

/д2и1 д2и. д2и. д2и -

+У (-------!-------- н------!-------- ) +

дх2 ду2 д^r дх2 '

<32м. . <32г/. <Э“г/.

н-----г------— + 2( 1 -■V/ ' ■ /с1хс1у,

ду ~ ду

дхду дхду

(4)

V

Сц = ¡(С,0'и,)тВ’и/¥, Т- = ¡(Т^/и/У,

V

/; = ,/\ • |/Г»; ,7/'

Г

Г

где и п =

И; ;

ди . ди .

дх ду

г

/, = ¡(/ + рК% +яа, +Та0)т В’и^У +

+

}('СО‘а0/£‘и/К+ =

V

ч

(2)

= //Р) + /и+/^^Р-

Здесь С - матрица упругих постоянных,

С = 1)

о

1 У 0

У 1 0

1 —У

0 0

Рассмотрим конкретные выражения (4) для треугольного элемента тонкой плиты в Ь -координатах. Функции формы берём согласно работе [2].

Нет необходимости вычислять все коэффициенты матриц жёсткости и масс, так как между ними существуют соотношения обобщённой симметрии [3].

Ниже приводятся девять коэффициентов матриц жёсткости и масс, три первых формулы для правых частей уравнений:

, £° =

Ек

Ш-О

Ки =

О

12Г

(А1‘ ++/4 );

/)° - цилиндрическая жёсткость при изгибе; Е модуль упругости; V - коэффициент Пуассона.

тЧ; *

Операторы V и V обладают свойством

В

Кп — ~7^т[~с2 (21? - / 4 + 3/34 + 2(1 ъ) +

Раи -а£)*и)с!8 =

48^

+ съ(21* +21А2-1ЛЪ+2(1,)] +

уР°(съ-с2)

6.Р

= \[(-

д2Мх д2Му д2МХ}

дх2 ду2 дхду

)м>+М

д2м?

12 Р

(1\ -211 -21?);

дх

Ч-

в

15

д2м? д2\\> с т

+ М.. —— - 2МХХ,------------] с1хс!у = - |а гигс1Г,

^ дхду 1 г г

48^3

4

/с, (211 -1*+2({2) +

ду2

+ с2 (6с13 -1; - 21; ) + сг (41* + Г2 +4^)] +

г

+

где £ - площадь плиты; Г - граница плиты;

т

(Т г, иг следуют из уравнений, приведённых в [6]. Граничные условия берём в виде

П

Кк =Т^Т[С2(Щ -4^3 -б/,4 -Ч-О-

а

г

г, ~ /г» 1г2~

г/

г •

(3)

Здесь Г, - часть контура, где заданы усилия, Г0 - часть контура, где заданы перемещения.

48.Р

с, (2/,4 + 2/4 - /34 - 6^ + с12)] +

у/) У с, +с2У) 6^

о

192^

—[с2 (51* + 5/:4 +13/34 -8с/, +12с/3 - /»,.з -(31с2/л -1 9с2£3 -19с3^ +Зк:Д)

10080

-16с/2) + с.,2(51; 41З/4 + 5/4 + 8с/3 +12г/, -16с!2) -- 2с2с3 (7,4 - 7/24 - 7/4 + 2с/, + 2й?3 +16с/2)] -

у£>уЗс,2 + 4с,с-У

»/,. - (13с.,с, -11с.с, ~25с,2 + 13с.с,) ——— >

10080

П

192 У7

12/7

[(Ъгсъ + с, /л ) х

/И3 - = (13с362 -11с,¿2 - 25с~Ь3 4- 13с, 63)

10080

х(7,4 - 7/24 -7/34 4-2с/, 4-2с/3 +16с/2;-

-с2/2Г5/,4 4-5/2 +13/34 -8с/, +1 2а?3 ~\6с1г)] +

4

VI)е (ЗЬхсх 4 2(Ь2с2 4- с2Ь3))

__ ,

Формулы правых частей уравнений учитывают действие сосредоточенных нагрузок внутри элемента, благодаря чему достигается высокая точность при меньшем числе элементов, по сравнению со случаем, когда нагрузка прикладывается в узлах:

к,5 =^т/%Г/,4 +/г4 -3/; -м, + <Иа;+ у; Ж+д^(х .у )_м ?*&Ь1

192^3

+ &с,(Ъ1\ + 3/^ —9/л — 8^ + 2^/, + 2(г/?) +

йх

д\:

+с;(

\>П°с,с

12 .

12/7

О

^^^Гз/,4-/,4-/4^ -

- бс/3;+V, Г9/34 _ 3/14 ~ 3/2 -8^ - И - И >>+

+с3 ^з4 - з/, - з/4; 4- ь3 с, р/34 - /; - /4+бег, -

аР

Уз ~ (^з ~ ^2) ~ 0-/^2(^7»-У/) —

24

ди2(х.;у.) ——м.— ' ‘

■Мх]

дх

У.\

ду

Я?

- )] +

у£>°62с,

12.Р

Здесь /р/,,/3 - длины сторон треугольника;

¿/, = (ЬХЬ2 4-с1с3/; б/, = (Ъ3Ь2 + с2с3) ;

¿з =(Ь3ЬХ + схс3)~.

/3 = (6, - 63) — + 2;м3 (л;,-; ) -

5н3(х.;>>.) 8и1(х];у-)

■М .-------- —— - М .-----------------;——

йх ду

Для построения АФЧХ формируем уравнение

121 1Г

т., =--------ц/7,

1,1 630

^1,2 — ТТТгС^з —

- Мсо2 4- (1 4- ?у ,)АГ = / ,

(5)

>«1,1 =

630 89

1260

17 - ■ 19 -Л.. С

^1,5 ~ ( 1Л^Л^З лглл

1260

2520

17 19

*!.»=(— ^2- — С>Л

где М,К - соответственно матрица масс и жёсткостей; / - вектор внешних нагрузок.

Рассеяние энергии учитываем в виде Е(1 + ¿у ), где у - коэффициент внутреннего рассеяния энергии. Решая систему уравнений (5), строим АФЧХ.

Математическая модель тонкой плиты формируется по характерным точкам АФЧХ в виде [Г]:

т.

1260 “ 2520 ; 2 =(31с2 -З8с2с3 +З1с32) ^

10080

/с.

У

у1 — Т-, уЮ_ + Т| у® / +1

.2

Г»

N l(f'

а

• г. • г.

I— I—

О

»>•

В

• •

UI*

Рис. 1: а) АФЧХ от воздействия единичной сильк приложенной в центре плиты; б) вещественная часть; в) мнимая часть

Рис. 2. Переходный процесс при импульсном единичном воздействии в центре несимметричной плиты с квадратным отверстием

Ти 1

Ь — А —Т -_______ Т —Т

К: — , 1 2 j — 5 -£ ] j J. 2 j

J

J

T

12j

0)

\

1-

\

®I/

\ J

1 \

- вертикальный размер витка АФЧХ.

Пример численного теста. Рассматривается задача колебаний шарнирно-опертой плиты с отверстием.

Следует отметить, что необоснованное измельчение сетки конечных элементов не приводит к увеличению точности расчёта (рис. 3).

Выводы: 1) Результаты расчётов показывают, что известное решение [6] получается с высокой точностью при небольшом числе элементов; 2) при решении задачи на собственные значения в пакете АШУБ 5.7 получается многократная погрешность по первой собственной частоте и ряд ложных собственных частот, причина возникновения которых пока не выяснена.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Санкин,Ю. Н. Смешанные вариационные методы в динамике вязкоупругого тела с распределенными параметрами // Учен. зап. УлГУ. Сер. Фундаментальные проблемы математики и механики. -1998.-Вып. 1 (5).-С. 124-132.

У

Рис. 3. Зависимость погрешности вычислений от числа элементов

2. Zienkiewicz,0. С. The Finite Element Method in Engineering Science. L.: McGraw-Hill, 1971 = Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. - М.: Мир, 1975.-541 с.

3. Санкин,Ю. Н., ЭлертцД О. Особенности вычисления матрицы жесткости треугольного элемента

тонкой плиты в L- координаты // Механика и процессы управления. Вариационные методы в механике. Межвуз. науч. сб. (вып. 2). - 1986. - С. 108.

4. Санкин,Ю. Н., Юганова,Н. А. Продольные колебания упругих стержней ступенчато-переменного сечения при соударении с жестким препятствием // ПММ.-2001.-Т. 65. - Вып. З.-С. 442-448.

5. Санкин,10. Н., Трифанов,А. Е. Осесимметричные колебания оболочек вращения при внезапном нагружении // ПММ. - 2002. - Т. 64. - Вып. 4. -С. 607-615.

6. Тимошенко,С. П. Статические и динамические проблемы теории упругости / С. П. Тимошенко. -Киев: Наукова думка, 1975. - 564 с.

Санкии Юрий Николаевич, доктор технических наук, профессор кафедры «Теоретическая и прикладная механика» Ульяновского государственного технического университета. Имеет монографии и

статьи в ооласти механики сплошных сред, теории колебаний и устойчивости движения;

г - • /

Явкин Сергей Александрович, аспирант Ульяновского государственного технического университета. имеет статьи в области динамики упругих систем.

УДК 621.382:538.915:532.529.2

Р. А. БРАЖЕ, О. Н. КУДЕЛИН

АТТРАКТОР ЛОРЕНЦА В НЕЛИНЕЙНОМ РЕЖИМЕ ТЕРМОЭЛЕКТРОГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ КОНВЕКЦИИ В ПЛОСКОМ СЛОЕ ПОЛУПРОВОДНИКА

Построено приближённое решение нелинейных уравнений электрогидродинамической конвекции в полупроводниках, сводимое к уравнениям Лоренца. Получен явный вид выражения для критического числа Рэлея.

В работах [1, 2] была рассмотрена теория электро гидродинамической конвекции (ЭГДК) в полупроводниках с учётом рассеяния носителей заряда на ионах и дефектах кристаллической решетки (через время релаксации импульса). Поставленная задача решалась путём линеаризации системы уравнений, описывающих данное явление. Хотя такое решение и позволяет определить необходимые условия для наблюдения ЭГДК в полупроводниках, оно не позволяет определить закономерности возникновения изучаемого процесса.

Здесь мы рассмотрим тонкий слой полупроводника, который помещён в постоянное, однородное электрическое поле. Дополнительно в нём создаётся градиент температуры. Запишем систему уравнений ЭГДК в приближении Буссинеска:

электрического поля; хр - время релаксации импуль-

I

са; а =------— - коэффициент объёмного расшире-

но дг

ния; (3 - градиент температуры; j - плотность электрического тока; х ~ коэффициент температуропроводности; t - время.

Будем считать, что движение носителей зарядов в поперечном направлении полупроводника отсутствует, тогда можно упростить нашу систему, положив v = 0. Применим, для исключения давления, к (1)

операцию rot rot. Вводя малый параметр |_г = (3 - $кр

и делая замену переменных и = ¡.ш,, vv = pw,, Т = р.7], получим

m

— + (vV )v =-I— Vp + vAv-—-a.T~,

dt m n0 xp

dT e v2

+ vVT = + —:—yE + — + |3v;,

dt

m с

Vv = 0,

(1)

где V - компоненты скорости; Т - отклонение температуры от стационарного значения Та = Т0 - ; п0 -

концентрация свободных носителей заряда; т - их эффективная масса; V - коэффициент кинематической вязкости; е - элементарный заряд; Е - напряжённость

ЭДм' . . Aw еЕ д2Т ---------vAAw н----------+ а

dt т.

• *"ч 2

m ох

d

= -p. — [uAw + wAu),

дх

Ллп *

——--------------------------— =

dt

m с

ґ

дТ дТ и2+w \iw-u------w------н------

N

Ч

дх

dz

у

ди dw . — + — = 0.

dx dz

(2)

© Браже Р. А., Куделин О. Н., 2004