Динамическая модель упругой системы автомобиля с учётом характеристик пассажиров Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 629.113.075

Ю. Н. САНКИ11, С. В. РОМАШКОВ

ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ УПРУГОЙ СИСТЕМЫ АВТОМОБИЛЯ С УЧЁТОМ ХАРАКТЕРИСТИК ПАССАЖИРОВ

Показатели плавности хода связаны с ощущениями или чувствительностью пассажира к воздействию окружающей среды. Комфортабельность езды зависит главным образом от колебаний автомобиля, которые могут возбуждаться различными источниками, включая неровности. аэродинамические сапы и вибрации двигателя и трансмиссии. Обычно неровности поверхности действуют как основной источник вибрации машины.

Целью изучения плавности хода машины является определение основных параметров колебаний машинЫу при которых ощущения пассаэ/сиров или дискомфорт не превышают определённого уровня. При этом валено знать реакцию человека на колебания автомобиля, характер этих колебаний и характеристики неровностей опорной поверхности.

Имея определение специфического критерия комфортабельности езды, конструкторы должны выбирать соответствующую систему подвески, чтобы обеспечить уровень колебаний машины ниже установленных пределов при эксплуатации в определённом диапазоне дорожных условий.

Ключевые слова: комфортабельность езды, колебания автомобиля.

При проектировании автомобиля необходимо оперативно оценивать влияние параметров конструкции. С этой целью создаются простейшие модели. Ранее таковыми являлись модели с двумя или тремя степенями свободы. С развитием вычислительной техники, когда система динамических уравнений формируется автоматически, подобной простейшей моделью уже можно, например, считать модели с 6 х 3 = 18 степенями свободы.

В работе рассматривается динамическая модель автомобиля в виде произвольной системы твёрдых тел, соединённых упругими элементами или стержнями. В стержнях учитывается их распределённая масса и рассеяние энергии.

Для динамического расчёта упругой системы автомобиля используется частотный метод, основанный на обработке АФЧХ упругой системы, построенной при помощи конечного элемента в виде двух сосредоточенных масс конечных размеров, соединённых либо стержнем, либо невесомой пружиной (рис. I).

Пример расчётной схемы автомобиля показан на рис.2.

Рис. 1. Конечный элемент, состоящий из двух масс, соединённых упругим элементом

Рис. 2. Динамическая модель автомобиля, состоящая их трёх основных элементов: два моста и кузов

© Санкин Ю. Н . Ромашков С. В.. 2010

^ *

е

Уравнение колебаний узлов в перемещениях, преобразованных по Лапласу, записывается в ел дующем виде [21:

гмьо2 +УЦа^х,ша, - У Цв:,иил. =

*• ^^^^ •••• •% «•• ¿ш^шшЛ 19 « и* ^ л•

(1)

где р - параметр преобразования Лапласа;

М„ =

т О О О О О ОтО ООО

0 0т 0 0 0

X

ООО Д..

Х2

о О О ]г

У*

матрица инерции узла;

к =

100 0 -Уш 100 0 2к, -Уи

010 0 Хт 010 0 Хк1

001 000 Уш 1 0 0 0 001 000 У к. 1 ~хк> 0 0 0

000 0 1 0 000 0 1 0

000 0 0 1 000 0 0 1

— матрицы переноса линейного перемещения, где X, у, Ъ - расстояние до центра масс соответствующего твёрдого тела.

Геометрический смысл матриц Ьп, Ц заключается в том, что с их помощью определяются поля малых перемещений точек твёрдого тела через три проекции малого перемещения полюса и три проекции малых углов поворота вокруг полюса (рис. 1).

Систему, представленную на рис. 1, и уравнения движения (1) можно рассматривать как конечный элемент в виде двух масс, соединённых произвольным количеством упругих стержней с распределёнными параметрами. Данный элемент можно использовать для описания упругого стыка, если рассматривать стык как некоторый фиктивный стержень.

Пусть твёрдые тела соединены между собой сосредоточенными жёсткостями:

Сх,Су,С/?С"\С"\С"\ Первые три жесткости препятствуют линейным смещениям, а три других - угловым. Тогда, с учётом линейных преобразований получим:

А0 =ЬГС1 * г=т ггт (2\

где С - матрица сосредоточенных жёсткостей.

Решая полученные уравнения при р = /■&), где ах - частотный параметр, строятся амплитудно-фазо-частотные характеристики (АФЧХ) для интересующих нас точек упругой системы автомобиля.

На комплексной плоскости точки вектора \¥(1со) образуют кривую, называемую АФЧХ системы.

Данная кривая может служить средством для исследования рассеяния энергии, а также для приближённого моделирования сложных механических систем. Аналогичные формулы могут быть получены при наличии одного или двух интегрирующих звеньев в цепи измерения, а также при снятии АФЧХ не по перемещению, а по скорости и ускорению.

У АФЧХ для упругой системы автомобиля и изображённой на рис. 3, доминирующими оказались два витка. Это свидетельствует том, что данная система ведёт себя как система с двумя степенями свободы.

С целью установления характера резонансных пиков АФЧХ сравниваем значения частоты первого и второго витков со значением соответствующих парциальных частот, так например, первая парциальная частота равна

¿у, =

С

™куз

= 10,6 с\

т

куз

Соответствующая частота на АФЧХ равна 9,6 с"1. Это позволят говорить, что первый виток АФЧХ соответствует колебанию кузова.

Второй виток АФЧХ близок к пашлиальной частоте пеоепнего моста

СО7 =

_ I с£ \

I

9 • С

^ ' ^ашн ~г ^ ^ ре с

I

I

г-

ч

т

■ • » » ( ГУ пч

3 4 +

= 31,6 с

-1

Соответствующая частота на АФЧХ равна 65 с"1. При этом можно говорить, что второй виток соответствует колебаниям переднего моста.

По установленным нормам частота колебаний кузова не должна превышать частоты шагов человека при ходьбе, которая примерно равна 0,8 Гц или 5,03 с"1. Соответственно нужно изменить жёсткость рессор, чтобы повысить комфортабельность автомобиля.

Для построения переходного процесса используется дискретное преобразование Фурье. Результат

получается численным интегрированием при .оо по формуле

1 00

и(хД) = - . (3)

ТС

о

На рис. 4 показаны переходные процессы, при различном демпфировании в амортизаторах, при наезде левым передним колесом на единичное препятствие.

0

1

5

--г

4 3 * • • >

-

6

о

• -Шя

Рис. 3. АФЧХ упругой системы автомобиля

С

Рис. 4. График переходного процесса

Кривая 1 имеет первую собственную частоту, равную 1,45 Гц, и неоптимальный относительный коэффициент демпфирования у = 0,145 . Подбираем коэффициент демпфирования из условия отсутствия максимума у коэффициента динамичности. Кривая 2 соответствует первой собственной часто-

те, равной 0,8 Гц, и демпфированию, когда V = —.

2

Если мы начинаем усложнять модель, варьировать свойствами материалов (пружин и т. п.), добавляя новые элементы, в том числе пассажиров, характеристики начинают изменяться, в зависимости от количества человек и их расположения в салоне машины [4].

Рис. 5. Модель упругой системы автомобиля при наличии пассажиров

4 3 // < 1 V-, ] ! ■»> к N ч 4—1 *

// / V N ) \ч N ( \

1 1, \ г

ч\ \ V у // 1

\ \ 0 6 -1Д> — — /

Рис. 6. АФЧХ упругой системы автомобиля после добавления в неё двигателя и пассажиров (четыре человека, сплошная линия)

Рис. 7. Графики переходных процессов: 1 - трёхмассовая модель; 2 - модель с учётом

динамических характеристик пассажиров и оптимальном демпфировании в подвеске

Соответственно изменились и АФЧХ, и характер переходного процесса, на котором явно стали заметны влияния новых элементов.

Соответственно для графика переходного процесса усложнённой динамической модели автомобиля (содержащей теперь двигатель и пассажиров) кривая 2 имеет первую собственную частоту, равную 1,05 Гц, и неоптимальный относительный коэффициент демпфирования у = 0,145. Подбираем

коэффициент демпфирования из условия отсутствия максимума у коэффициента динамичности и получаем кривую 1, которая соответствует первой собственной частоте( 0.8 Гц ) и демпфированию, ко-

72

гда у = —.

2

Так же мы можем получать характеристики каждого элемента системы. Ниже представлены АФЧХ и переходный процесс двигателя (двигатель не рассматривается как источник колебаний).

При проектировании автомобиля также необходимо оперативно оценивать влияние параметров конструкции на курсовую устойчивость.

Одним из способов повышения курсовой устойчивости является правильный выбор параметров подвески основных агрегатов автомобиля (кузова, двигателя) к несущему шасси.

Рис. 8. АФЧХ двигателя, встроенного в Рис. 9. График переходного процесса

упругую модель автомобиля двигателя

). ммдо

Одним из путей решения проблемы является применение частотного метода, основанного на преобразовании Лапласа. Дифференциальные уравнения преобразуются по Лапласу при ненулевых начальных условиях. Полученная система уравнений решается при р = ¡о , где р - параметр преобразования Лапласа; со - частотный параметр. Строятся амплитудно-фазо-чаетотные характеристики (АФЧХ). Переходный процесс определяется с помощью обратного преобразования Лапласа, используя численное интегрирование или представление АФЧХ в виде колебательных звеньев.

Основные допущения предлагаемой методики расчёта:

1. Колебания агрегатов, вызванные возмущением, происходят в направлении действия этого возмущения.

2. В силу малости перемещений центров инерции величины моментов инерции считаются постоянными.

3. Не учитываются упругие деформации агрегатов.

4. Агрегаты автомобиля представляются твёрдыми телом, установленным на абсолютно жёсткой раме с помощью упругих опор. Характеристики виброопор (жёсткость и демпфирование) линейные.

5. Пренебрегаем взаимными колебаниями агрегатов автомобиля, вызванных работой ДВС.

Неголономная связь шин с дорогой является важной характеристикой, описывающей боковое

скольжение шины по дорожному покрытию. Допустим, боковая сила Т7, приложенная к колесу, вызывает отклонение проекции центра колеса на дорожное покрытие от центра площадки соприкосновения с дорожным профилем на величину Л (рис.10). При определённой жёсткости Я колеса Л служит мерой силы У7 так как НА. Если колесо катится, то деформация Л порождает пропорциональный ей угол бокового увода колеса, который определяется соотношением с = ДД где /? - коэффициент, зависящий только от геометрии деформированного колеса.

Тогда уравнения неголономной связи шин с дорожным покрытием запишутся в виде [5]:

о V . / ; . о ~ \/г\ о ..

(32Х + (1-132а2)0-Р2х-

1_ск V (¡1

1 т

о ~ л

- V¡и¡V

— и

+ (32а2в +

^М- п.

V (И а, с/<9

= 0,

УЖ''' УЖ

где X, х,0,0 - линейные и угловые перемещения соответственно рамы и шин; а1, а2 - расстояние от положения центра тяжести до передней и задней осей; /?/, ($2 - коэффициент деформации шин передней и задней осей; V - скорость движения автомобиля.

Объединяя модель Рокара [2] и дифференциальные уравнения плоского движения упругой системы автомобиля, получим следующие уравнения движения:

А

Рис. ¡0. Боковая деформация шины

МХ + 2(Я} + Я2)Х + 2(Я1я1 -Я2о2)0-2(Я1 + Н2)х—2(Н]а]-Н^в+^Ж*+ ФУ

г

г

У0 + 2(Я,а, -Нга^Х + 2(Я,а,2 + Я/г)0--2(7/,¿2,-Н^х-ЦН^ +Н2а])в+

г г

г Г

(4)

где М - масса рамы автомобиля; т, - масса присоединённого агрегата автомобиля; У - момент инерции рамы автомобиля; У, - момент инерции присоединённого агрегата автомобиля; Хь <9, - линейные и угловые перемещения агрегата автомобиля; Я/, Н2 - боковые жёсткости шин передней и задней оси; г - число упругих связей между рамой и агрегатом автомобиля [6].

Для исследования собственного движения автомобиля, движущегося со скоростью К, полагаем

/г=0, М=0.

Модель Рокара соответствует первым двум уравнениям системы (4) без учёта дополнительных степеней свободы. Заменим их матричным уравнением: М —77- + В— + Си - 1\ , где М, В, С - соот-

(II

с/1

ветственио матрицы масс, рассеяния энергии и жёсткостей. Матрица М -

т О О тр2

В =

2у(Н, + Н2) 2у(Н,а,-Н2а2) 2у(Н1а,-Н2а2) 2у(Н1а2,+Н2а22)

,с =

2(Н, + Н7) 2(Н,а,- Н2а2) 2(Н,а, - Н2а2 ) 2(Н,а2 + Н2а] )

и - вектор перемещений автомобиля, и1 - X 6>|; Г, - вектор возмущающих сил в поперечном на-

правлении, равный произведению кинематического возмущения Iкг = х 0 на матрицу С :

А •

2(Н, + Н2) 2(Н,а, - Н2а2) 2(Н,а, -Н2а2) 2(Н,а2 + Н2а22)

Передаточную функцию упругой системы автомобиля строим по АФЧХ в виде ряда по колебательным звеньям [3], полагая входным воздействием кинематическое возмущение Iк, то есть, взяв за основу структуру модели Рокара:

- g-я собственная форма колебаний; Т^ - постоянная времени демпфирования;

г

где _ иии»

со

и.

Т52 = N - число существенно проявляющихся витков АФЧХ. Постоянные времени колебатель-

А ТТЛ/ГО "1 I /

ных звеньев находим по характерным точкам АФЧХ[2,3]. Произведение векторов представляет собой симметричную диадную матрицу второго порядка, поэтому число различных АФЧХ равно трём, а число членов в формуле для каждой составляющей АФЧХ равно числу витков АФЧХ.

Вторая передаточная матрица описывается уравнениями неголономной связи

X X

=

0 е

где

У(р1-а2+р2-а1) У(а1+а2+а1-а2-(р1-р2))

а1+а2

У(Р1~Р2)

а1+а2

а1+а2 У(Р1-а1+р2-а2)

а1+а2

х

х

ко

У(р1-а2+р2-а1) У-а1-а2(р1~р2)

а!+а2 У(р1-а1+р2-а2)

а]+а2

У(Р1~Р2)

а]+а2

ко-

4 а!+а2

-I

Общая передаточная матрица Я системы является произведением IV(¡со) и \У2:

Н = УУ(!со)-1У2.

Экспериментально математическую модель можно получить следующим образом: гармоническое воздействие прикладывается перпендикулярно продольной плоскости автомобиля в точке, принятой за полюс, измеряются кинематические параметры колебаний - перемещения центра масс и угловые колебания, затем прикладывается пара сил, действующая относительно полюса и также меняющаяся по гармоническому закону, и также измеряют кинематические параметры - перемещения центра масс и угловое колебание относительно центра масс [6]. Регистрируют амплитудно-фазо-частотные характеристики (АФЧХ) измеряемых кинематических параметров, в дальнейшем с помощью АФЧХ строят матрицу передаточных функций в виде

Кпасо) \Уп(ш) \У21(ш) Ф22(м) '

1¥ (¡со ) =

где Wjt(ico) - АФЧХ линейного перемещения центра масс; W22(\co) - АФЧХ углового перемещения центра масс; Wl2{ i со) и W2j (ico) - перекрёстные АФЧХ.

Фиксируют характеристики частоты - экстремальные точки АФчХ, соответствующие минимальному значению мнимой составляющей сопУ максимальному значению вещественной составляющей

со,7}::ах. По зафиксированным значениям со„ и (Ohmax определяют постоянные времени [3]:

/ N 2

Г ^ п! - /_

12 "" ? Т

^ птах п2

^ п max

К С°п ;

где Тп2, Тп! - инерционная постоянная и постоянная демпфирования n-го колебательного звена.

Передаточную функцию, являющуюся математической моделью упругой системы, получаем в соответствии с ранее изложенной методикой.

Однородная система уравнений, описывающая курсовое движение автомобиля, имеет вид

(WS2(p)-l)Ul=0s

где I- единичная матрица.

Условие равенства нулю определителя матрицы Ws(p) при р = ico представляет достаточное условие курсовой устойчивости динамической системы автомобиля в линейной постановке. Это означает, что ни одно собственное значение X - A,(ico) передаточной матрицы не должно равняться единице.

Рассмотрим динамическую устойчивость системы в линейной постановке [3]. При неустойчивости определитель матрицы И - /, где I- единичная матрица, должна равняться нулю. Если движение устойчиво, то ни одно собственное значение матрицы Яне должно равняться 1. Характеристическое

all-Я al 2

уравнение для рассматриваемого случая: = 0 .

а21 а22-Я

Раскрывая определитель, получим квадратное уравнение:

Л2 -(all + а22)Ял-(all-а22 -a21 •а!2) = 0. (5)

Построив АФЧХ Я/ и Л? согласно вышеуказанному уравнению, определяем, при каких параметрах системы АФЧХ соответствующего Я пересекает вещественную ось при значении, равном 1.

Годографы для корней характеристического уравнения (5) представлены на рисунке (рис, 11). Графически это означает, что годографы корней характеристического уравнения не должны охватывать единицу. Скорость, при которой годограф корня пересекает значение, равное единице, и есть критическая. Для численной проверки использовались исходные данные для автомобиля УАЗ 3160 [6] и была принята масса каждого человека 80 кг, всего 4. Согласно рис. 11 критическая скорость автомобиля без пассажиров (пунктирная кривая) FhV = 44,7 м/с (120,8 км/ч), а с пассажирами (сплошная кривая) FKT = 34,9 м/с (94,3 км/ч).

Ьи>Кч» Ь(Х01(ы»

Р.*ХКи)).Кс(>Л1М)

Рис. 11. АФЧХ А.,

Выводы:

1. Разработанная методика позволяет учесть влияние динамических характеристик пасеглакрсз ::урссную устойчивость автомобиля, а также зачесть влияние состояния дорожного покрытия.

2. Предложен метод определения критической скорости автомобиля в зависимости от загруженности его пассажирами. Как видно из примера, величина критической скорости автомобиля, после нагружения четырьмя пассажирами, снизилась с 120,8 км/ч до 94,3 км/ч.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Санкин, Ю. Н. Динамические характеристики вязкоупругих систем с распределёнными параметрами / Ю. Н. Санкин. - Саратов : Издательство Саратовского университета, 1977. - 312 с.

2. Санкин, Ю. Н. Нестационарные задачи динамики стержневых систем при внезапном нагруже-нии и соударении с препятствием / Ю. Н. Санкин // Вестник СамГТУ. Серия математическая. Самара. -№ 1(5).-2007.-С. 91-100.

3. Санкин, Ю. Н. Метод конечных элементов в динамике вязкоупругих систем в пространстве преобразований Лапласа / Ю. Н. Санкин // Труды Средневолжского математического общества. -2006 . - Т.8. - №2. - С. 22-33.

4. Вибрации в технике: Справочник. В 6 т. Т. 6. Защита от вибрации и ударов / под ред. К. В. Фролова. Ред. сов. : В .Н. Челомей (пред.). - М.: Машиностроение, 1981. -456 е., ил.

5. Рокар, И. Неустойчивость в механике. Автомобили. Самолёты. Висячие мосты / И. Рокар. - М. : Издательство иностранной литературы, 1959. - 288 с.

6. Санкин, Ю. Н. Курсовая устойчивость автомобиля / Ю. Н. Санкин, М. В. Гурьянов // Труды IX Между народной Четаевской конференции «Аналитическая механика, устойчивость и уравнение движения», посвященной 105-летию Н. Г. Четаева. Иркутск, 2007 г. - Иркутск, 2007. - С. 209-223.

Санкин Юрий Николаевич, доктор технических наук, профессор) профессор кафедры «Теоретическая и прикладная механика» УлГТУ.

Ромашков Сергей Владимировичу аспирант кафедры «Теоретическая и прикладная механика» УлГТУ. Область научных интересов - динамика автомобиля.

УДК 533.6.013.42

П. А. ВЕЛЬМИСОВ, Ю. А. РЕШЕТНИКОВ, Е. П. СЕМЁНОВА

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ УПРУГОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ

СИСТЕМЫ ТИПА «ТАНДЕМ» ПРИ ДОЗВУКОВОМ ОБТЕКАНИИ

Предложена математическая модель динамической системы двух упругих пластин типа «тандем», обтекаемых дозвуковым потоком газа (жидкости). Дано решение аэрогидродинамической части задачи, основанное на методах теории функций комплексного переменного. Получена связанная система уравнений, позволяющая исследовать динамику пластин.

Ключевые слова: аэрогидроупругость, динамика, упругая пластина, система типа «тандем», деформация, обтекание, дозвуковой поток.

Работа выполнена в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (2009-2013 гг.), гос. контракт №П1122.

Рассмотрим плоскую задачу аэрогидроупругости о малых колебаниях системы двух упругих пластин (типа «тандем») при дозвуковом обтекании их потоком идеального несжимаемого газа. Пусть в состоянии покоя пластинам в физической плоскости хОу соответствуют на оси Ох отрезки [-Ь-а]

и [а,Ь], Ь > а > 0. В бесконечно удалённой точке скорость газа равна К и имеет направление,

© Вельмисов П. А., Решетников Ю. А., Семёнова Е. П., 2010