CC BY
15
ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ
УДК 629.113.075
10. Н. САНКИН, М. В. ГУРЬЯНОВ
частотный метод оценки курсовой
устойчивости автомобиля как системы с распределёнными параметрами при нелинейном
взаимодеиствии шин с дорожным покрытием
Рассматривается метод построения математической модели автомобиля как системы с распределёнными параметрами и нелинейном взаимодействии колёс с дорожным покрытием. Приводится методика определения критической скорости автомобиля с использованием нелинейного частотного критерия устойчивости.
Современный автомобиль представляет собой сложную систему, к которой предъявляется ряд противоречивых требовании. В настоящее время большое внимание уделяется активной безопасности автомобиля, во многом зависящей от показателей его курсовой устойчивости.
Поиск оптимальных технических решений на интуитивном уровне сопряжён с потерями как материальными, так и временными. Определение параметров устойчивости автомобиля, как объекта управления с использованием процедур моделирования, позволяет на всех этапах его проектирования и доводки активно влиять на этот процесс и вносить необходимые коррективы в принятые технические решения и, в конечном итоге, существенно, а иногда и на порядок уменьшить производственные потери.
Уравнения динамики линейной вязкоупругой системы, у которой зависимости между деформациями и напряжениями задаются линейными соотношениями, в операторной форме можно записать следующим образом [4]:
п д1и ди Во + К—- + Т--/ = 0;
с?(
д1
Ли
1 дг
(О
где а - вектор обобщённых сил или тензор напряжений; и - вектор обобщённых смещений; /? -матрица или тензор инерционных характеристик; Т -матрица или тензор внешнего рассеяния энергии; / - вектор-функция внешних нагрузок; С - матрица
или тензор упругих постоянных; С, - матрица или
тензор коэффициентов внутреннего трения. Граничные условия:
пПс = /, на 5,; пии = их на ,
(2)
Ю. Н. Санкин, М. В. Гурьянов, 2005
где п0 - оператор статической совместности на поверхности тела; пи - оператор геометрической совместности на поверхности тела; - нагрузка на участке поверхности 5,; ик- граничное перемещение на 52.
Условие совместности по напряжениям и перемещениям на границах конечных элементов:
=0 на
(3)
Знаки «+» и «-» соответствуют различным сторонам границы сопряжения элементов
= и^.
п„и+ = пИи_ на .
Начальные условия:
и
,=0= ;
ди
~д7
- а,
^=0
Операторы £> и £>* , сопряжённые в смысле Лагранжа:
\iDaYudV = \отО*и4У - \о/и5 <£5 , (4)
Г Г .V
где а, =яаа; и, = пыи ; V - объём конечного элемента.
В общем случае граница элемента Для пространственного тела:
О--»-; О"-I
да, 2
/
д д -+
\
да, да
\ 1
у
где ак - пространственные координаты; а = а,;;
и = щ; п = п,; С = Сик1.
Если исключить в уравнениях (1) обобщённые силы, то получим уравнение в перемещениях:
•л
пд и паи -
Я—-+В — + К и = /,
д(
д(
(5)
где В = Т + /)С,£>* - оператор рассеяния энергии; К = ОСИ * - оператор теории упругости.
Граничные условия
д
^C + qf-^W на Я,;
и = О на S1.
(б)
Начальные условия
Z/
,=о= ао ;
ди
dt
= а..
(?)
1=0
Преобразуем уравнение (5) по Лапласу при ненулевых начальных условиях:
р1 Ки 4- рВи + Ки = / + Я(ра0 +■а,) + Ва0 ,(8) где р - параметр преобразования Лапласа; и - г/(/?)
вектор обобщённых смещении, преобразованный по Лапласу.
Решение уравнения (8) при нулевых начальных условиях будет
и = (Мр2+Вр+СГ[Г(е), (9)
где М,В,С - соответственно матрицы масс, рассеяния энергии и жёсткости; /(е) - функция, определяемая жёсткостью шин и нелинейными характеристиками дорожного покрытия или грунта,
; е - вектор перемещения площадки кон-
т
и =
такта с дорожным полотном ет - |х. Oj.
Обратный оператор IV (р) = {Мр1 4- Вр + С) 1 определяет передаточную функцию упругой системы. При конструкционном трении предыдущее выражение перепишется в виде
Иг(р) = (Мр2 +С(ру + 1))~1.
Здесь как частный случай рассматривается плоская модель. Объединяя модель Рокара [3] и дифференциальные уравнения плоского движения упругой системы автомобиля (1), получим следующие уравнения движения:
МХр2 + 2(Нш1 +Ни12)Х + 2(Нш]а}-Нш2а2)0--2(Нш1 + Нш2)х-2(Нш1а1 -Нш2а2)0 +
+
Y,b;0[(xP+i;0fy) - (х,р+1'0Др)]+
г
JGp2 +2(Нш!а1 -Нш2а2)Х+2(Нш1а] + Нш2а2)& - 2(нш!а1 - Нш2а2)х - 2(Нм1а] + Нш2а2 )6+
+ [(Хр+1Ш ~ (*iP + Ч ®iP)l +
Г
t Yfi^o [(x+¡m - ш+ir0i)i - M,
r
/77,A',/ +bixip+^broi[(xip + ro,0ip)~
r
- (Xp+vH)0p)]+24 [(X, + Го,0, )-(x+гшв)]=о,
к, 0, P+E ВД, [{X, p+/£. ©, p) -
r
- (Xp+/;0 < /о, [(A',. + /о, ©) -
(10)
-(A+/;„©)] = o,
где /V/ - масса рамы автомобиля; m. - масса присоединённого агрегата автомобиля; ./ - момент инерции рамы автомобиля; Jf — момент инерции присоединённого агрегата автомобиля; X, Л', х,©,©,., 0 —
линейные и угловые перемещения соответственно рамы, агрегата и кузова и шин; Яг//1, Hw2 - боковые
жёсткости шин передней и задней оси; а], а2 - расстояние от положения центра тяжести до передней и задней осей; г - число упругих связей между рамой и агрегатом автомобиля. Для исследования собственного движения автомобиля, катящегося со скоростью
V , полагаем F= 0, М= 0.
Уравнения неголономной связи шин с дорожным покрытием записываются в виде [3j:
№ + (1 + Щщ)0 - fef - ±рх - Щф -& рв = 0,
' ' (П)
p2z -f (1 - )0 - р2*Р2^2е+= о,
где р,, р, - коэффициент деформации шин передней
и задней оси; V - скорость движения автомобиля. Заменим систему (9) матричным уравнением:
Мир2 + Вир + Си = f (е). (12)
Для простейшего случая матрицы имеют вид:
m
0
0 m р:
2 (#, +#2) 2(Н1а]-Н2а2) 2(Нхах-Н2а2) 2 (Я,^2+Я2в?)
функция /?0 =
по
2(Я, + #2) 2 {Нхах-Н2а2) 2 {Нхах-Нга2) 2{Нхагх +Н2а22)
своей структуре идентичная матрице жёсткостей С .
Суммарные жёсткости Я, и Я2 колёс передней и задней оси вычисляются с учётом жёсткости дорож-
Hu(\Hd _ HullI-Id
3 где
ного полотна Я, = .
1 Яш2 + Я<7
Яу - жёсткость дорожного полотна, определяемая
экспериментально из условия появления бокового заноса.
Передаточную функцию упругой системы автомобиля строим по АФЧХ в виде ряда по колебательным звеньям [4], полагая входным воздействием кинематическое возмущение 1К ? то есть, взяв за основу структуру модели Рокара:
N
Г (/со) = X
к.
5 -
(13)
где ^ ^ 11 ; w - g-я собственная форма коле-
<5 т ^
7'
СО
и.
башш; Ту 1 - постоянная времени демпфирования;
= 1/со?; Лг - число существенно проявляющихся витков АФЧХ. Постоянные времени колебательных
звеньев находим по характерным точкам ЛФЧХ. Произведение векторов и и* представляет собой
Л» Л
симметричную диадную матрицу второго порядка, поэтому число различных АФЧХ равно трём, а число членов в формуле для каждой составляющей АФЧХ равно числу витков АФЧХ.
Выделям вектор управляющих параметров
é'' =
из уравнении неголономной связи.
Уравнения силового воздействия имеют вид:
Д----- ^ —
а 1 + а2
а, +а2
■—- X--и,
а, + а
а. + а.
9-
K(i3t-р2) Уф{а]+\Ъгаг)
VI "1----
0-
û, +Û2
¿7, + а2
(14)
a, + a2
ax + a2
Таким образом, уравнение для вектора силового воздействия возьмём в виде [5]:
е-схи- /?/(е) 7 (15)
где И = /?0 с"1.
Согласно структуре (15) имеем:
=
а\ + а2
f7l + VŒa+haJ
а{+а2
+ °2
матрица обратные связей по перемещению, Уфха2+М Vaxa2( Р,-Р2)
а] + а2
а\ + °2
я.
- положительно
определённая симметричная матрица
управляющих воздействий, ет - |х, в| - вектор
управляющих воздействий.
Нелинейность удовлетворяет следующим условиям:
г
/(еу е> 0 при /(е) = 0 при е = 0,
|/(е)| < М, где М>0. Запишем операторное уравнение в виде:
de)
X, — Л*2 ,
¿2 = -M Вх2 - M Схх + M f(e) ;
где хг = 14 , х2 = 7V .
Рассмотрим функцию Ляпунова:
С/ = — JcjACc2 +
(17)
(18)
системы; — л-,7 Cv. -
9 1 1
потенциальная энергия
упругой системы.
Производная функции Ляпунова в силу уравнений движения :
и - -х27 Вх2 +х*№ + Де)гсхх1 -№ТИ№ .(19)
При знакоопределённой отрицательной и -движение будет асимптотически устойчиво, следовательно:
~х72Вх2 +х12/(е) + /(е)тс{х] -/(«)г А/(*) < 0 . (20)
Первое слагаемое отрицательно определённое, поэтому достаточно, чтобы
/{е)т[х2 + с]х]-Ь/(е)]<0 . Согласно этому выражению формируем частотный критерий устойчивости [5]: матрица
(21)
а
= /(] - д) - /Г1 Re[(/co/ + с, )fF(/œ)]
i.j-Л.»
должна быть положительно определённой. Здесь д малая величина, которая появляется при доказательстве, и которую можно положить равной ну-
лю.
Для определения критической скорости могут быть использованы два различных приёма. Первый из них основан на использовании критерия Сильвестра, согласно которому устанавливается поло-
ж и тел ь н ая о п р еде л ё нн о сть м атр и цы
а
/.7=1.»
В
этом случае необходимо необходимо проверить
а
п
а
\2
а.,
> 0. С этой
выполнение условий: аи >0,
Л21 "22
целью строим графики этих величин в зависимости от V - скорости движения и частотного параметра со, и выявляем область значений, меньшую нуля. Это область соответствует достижению критической скорости Укр (на рис.1 показана точками).
Согласно рис.1 критическая скорость V = 18 м/с.
Ч-
Второй метод определения критической скорости основан на определении собственных значений характеристической матрицы и использован в линейной постановке задачи курсовой устойчивости автомобиля [6].
Рассмотрим выражение - ИГ1 [(/со/ + с] о)] и
потребуем, чтобы характеристические числа этой матрицы не равнялись единице. Графически это означает, что годографы корней характеристического уравнения не должны охватывать единицу. Скорость, при которой годограф корня пересекает значение единицы,и есть критическая (рис. 2).
1
т
где — х' Мх
кинетическая энергия упругой
Рис. 1. График функции яи(а\Г)
Рис. 2. Годограф Хх
Оба способа дают одинаковые значения критической скорости, однако первый способ удобнее в оценке.
Вывод. Разработана частотная методика определения критической скорости автомобиля при нелинейном взаимодействии шин с дорожным покрытием, позволяющая сформулировать требования к условиям движения в неблагоприятной дорожной обстановке.
Б И Б Л И ОГРАФИЧЕСК И Й СПИСОК
1. Лурье, А. И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования /А. И. Лурье. - М.: Гостехтеориздат, 1951. - 2) б с.
2. Резван, В. Абсолютная устойчивость автоматических систем с запаздыванием /В. Резван. -Ш Наука, 1983.-360 с.
3. Рокар, И. Неустойчивость в механике. Автомобили, самолёты, висячие мосты /И. Рокар. - М.: ИИЛ, 1959. - 288 с.
4. Санкин, Ю. Н. Динамические характеристики вязко-упругих систем с распределёнными параметрами /Ю. Н. Санкин. - Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1977.- 312 с.
5. Санкин, Ю. Н. Частотный критерий устойчивости нелинейных замкнутых систем, включающих упругие звенья с распределёнными параметрами // Сб. докладов 1-го всероссийского семинара-совещания заведующих кафедрами теоретической механики вузов России. - СПб.: ВИККА им. Можайского, 1994. - С.159-170.
6. Санкин Ю. Н., Гурьянов М.В. Курсовая устойчивость автомобиля как системы с многими степенями свободы //Вестник машиностроения. - 2004. -№9.-С. 36-40.
Санкин Юрий Николаевич, доктор технических наук, профессор, действительный член ЛИП РФ и Академии нелинейных наук. Имеет публикации в области теории колебаний и устойчивости движения..
Гурьянов Михаил Владимирович, аспирант кафедры «Теоретическая и прикладная механика» УлГТУ. Имеет статьи в области устойчивости движения.
