CC BY
9
ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ
УДК 517.988.67
Е. В. АЛЕКСЕЕВА, Б. В. ЛОГИНОВ
ОДНОМЕРНЫЕ БИФУРКАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ В ТЕОРИИ ЖИДКИХ КРИСТАЛЛОВ
Методы теории ветвления решении нелинейных уравнений применяются к задачам о поведении нематического жидкого кристалла при воздействии магнитного поля.
Рассмотрена задача о поведении нематического жидкого кристалла при воздействии магнитного поля. (Поддержка грантом РФФИ 01-01-00019 по второму автору).
Граничная задача для директора п в сферических координатах (ф - угол между п и плоскостью
ху, со - угол между осью у и проекцией п на плоскость ху)
пх = COS ф (z) sill со (z)
nY = cc^(z)cosco(z) nz =sir^(z)
имеет вид [1]
2(/с, cos2 ф + k3 sin2ф)+ (&3 - А,) х
dz
х sin 2ф
/ ch\>N \ dz /
- ((L -k-,)sin2ф cos2ф -
(k cos2 ф + k3 5іп2ф)зіп2ф)
d®
+
(1)
+ xrt#2(-sin20 sin20) 5іп2ф + sin20 x x cos 2ф sin со + cos" 9 sin 2cp) = 0,
2(k2 cos2 ф + k3 sin2 cp)cos2 ф
d2 со
dz2
+
. . . A ^
+ 2((A'3 - k2) sin 2ф cos" ф - (k2 cos~ cp +
/ 7 \ • о \ ^ф dd) 2
+ A:3sщ-ф)51п2ф)——— + XaH x
dz dz
x (sin2 0 cos2 cp sin 2co + ~sin 20 x
x sin 2ф coso) = 0,
Ф (o) = 0 = ф (d), со (o) = 0 = со (d).
Здесь d - толщина кристалла, H - напряженность магнитного поля, 0 - угол между Н и осью
© Алексеева Е. В., Логинов Б. В., 2004
г > Хя “ Хц “XI» X;| (Xх) - магнитная восприимчивость в направлении параллельном (перпендикулярном) директору, к],к^,к3- положительные
константы, связанные с тремя типами деформации нематика: поперечным изгибом, кручением, продольным изгибом соответственно.
Нами рассмотрены два случая: 0 = 0 и 0 =
л
2
1°. Пусть 0=0. Разлагая нелинейности в ряды при малых ф , 0) , получаем
d2<P ХМ2 к-к. , <т/2ф
м + —------ф=—----------1ф“
dz'’
к
і
к
і
dz2
к3 - А:, к
ф
daр
v dz j
+
къ - 2кг
Ф
'da'1
\ dz у
+
2 %аН2 з к- к, 4
+ -—----------ф3 —1--^ф —-
3 к, 3 к, dz2 3 к
d' ф 2 к—к ч---------- х
(2)
Хф
Ґ d£2 \dz у
2 5к-Ак, J da'
+ — З
V
2 хМ2 s ———ф +...,
15 кх
d2со к - 2к0 2 d2(o 2(к - 2к0)
- J -^
dz
к
dz2
х
к
Хф
<іф da 1кг - 6/с3 4 <і"со
dz dz
3 к,
Ф
dz1
\1к2 -13&з ^ з с/ф da
Ък2 dz dz
ф(о) = О =cp(cf)> ш(0) = 0 = <»(</). (3)
Собственными значениями линеаризованного оператора
В: С2+“ ([о, d]x [о, 4 -> С° ([о, d]x [о, 4
с периодическими условиями (3) являются
1аН- п~п
р;/ =------=------— с одномерными собственны-
]
(I
ми подпространствами
/
spcuv
ф„(г) =
sm
V
7771
~d
О
N
Полагая [3 = (3;) +8 в окрестности точек бифуркации, находим
^ О ^ ^
с1~ф 71~п~ к, - к, т с!~ф
■* о ф = ----3—-ф‘
di1 d1
к,
къ - кх
Ф
'!
2 + — 3
/ -у ?
я ~п~
v dz у
%
г > n2
к, - 2&, [ <г/со
+ -3-----------------ф
А',
c/z
+
Ч
d1
+ 8
у
ф
о к - к, 4 с/2ф
* - —-------^ф —4- +
ЗА',
dz2
(4)
х
2 к - з 3 к ( da > _ z^- ]ф3 J 1 ~ 2 ' diР Т J (гг 71 72
1 ^ ; 15
2 5А:, - 4к з
+---------=---------ф х
3 к
\
+ 8
<г/:(0 dz2
У
&3 - 2£, 2 rf2© 2(А:3 - 2&3)
Ф
dz2
А',
х
Л
с?Ф Jco 7 А:. - 6 к 4 с/"со
Хф---------------------£---------ф
<iz fife
ЗА:,
</z2
17А:, — 13Лг, з d(p da
------=-------ф —--------+ ...,
Зк2 dz dz
ф(0) = 0 = ф(б?)> со(о) = 0 = ю(^).
Применяя метод Ляпунова-Шмидта, построим эквивалентное нелинейной задаче (2), (3) (в смысле соответствия малых решений) уравнение разветвления (УР) [2].
Главная часть УР
ЦАе+1зЛ3 =о;
3к1 —к2 71 2 72 2
L L =
2 ’ 30
8&,
(5)
определяет два нетривиальных решения
§1,2 =±
2d
пп
/
л
\
ЗА:, - А:.
/
^zgnA:,(ЗА:, -к3)-signs .
Поэтому периодическая задача (4) имеет два нетривиальных решения
/ Л ф
vcoy
= +
2d
7X7?
Г
A:,s
v ЗА:, къ j
. пп sm— z
\
d
v
О
+
о(\
У
Если ЗА', = А', ( £30 — 0 ), то УР имеет вид
Z„48 + Z,,ags ^ +Z,3e8 J +/.31С 38 + /,*£ >= О,
L
1 ■» 9
L = - —
13 9 ’
А,
с/ ° — 671 2 /7 2
> -^50
Я "77“
4rf 6</
С помощью метода диаграммы Ньютона нахо-
/
дим решения УР: = ±
Зб?
\
+ 0
/ 1/> 8 ' 4
V У
При 8 < 0 задача (4) имеет два нетривиальных решения
V
2°. Пусть 0 = —. Граничная задача (2), (3)
2
/
3d2 Л/4
8
п
. 7172
sm — d
\
О
/
+ 0
/А
8
ч у
имеет вид
J~cp къ - А', 2 ^"ф къ - А,
б/z2
А:,
Ф
dz2
Ф
t/ф
\2
+
■Ф
к3 - 2кг к
rf2<a , %Ж-
dz2 к
с/со
2+^юй2
к
фСО " +...,
со = -
к - 2к i d~cd
dz1
к
Ф
2{к - 2к) d(D da
------+
к
+
ХдН
к
2 г 2
dz dz
\
(6)
ч
—СО3 +ф2СО
з
Ф (о) = 0 = ср ^), со (о) = 0 = со (с1).
Здесь критическими значениями бифуркацион-
о о Х«Я
ного параметра р являются р п =------------=-------—
к2 d~
с соответствующими собственными функциями ли-
2 2 2 71 72
неаризованной задачи
<p»(z) =
/ о 4
. Tin sm — z
ч
d
У
т Л
УР имеет тот же вид (5), где Ьи =-----------------,
2 2
у п п
Ь30 = ———. Помимо тривиального задача (6) имеет
4 d
два решения
чсоу
= ?.,аФ„(г) + 0(|Е|).
с. I, =+—(2е)-^, sign г >0.
тт-
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК
1. Deuling Н. J. Elasticity of nematic liquid crystals. // Solid State Physics Supplement. - 1978. - Vol. 14. - P.77-107.
2. ВаПнберг, М. М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений / М. М. Вайнберг, В. А. Треногин. - М.: Наука, 1969.-527 с.
Алексеева Елена Викторовна, аспирант кафедры «Высшая математика» Ульяновского государственного технического университета.
Логинов Борис Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Высшая математика» Ульяновского государственного технического университета. Имеет монографии и статьи в области нелинейного функционального анализа и его приложений.
УДК 539.3:534.1
Ю. Н. САНКИН, С. А. ЯВКИН
МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В ЗАДАЧЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ КОЛЕБАНИЙ ТОНКИХ ПЛИТ ПРИ ВНЕЗАПНОМ НАГРУЖЕНИИ
Предлагается частотный метод решения задачи о нестаг\ионарных колебаниях тонких плит с учётом рассеяния энергии при произвольном силовом нагружении.
Задача динамики тонких плит ставится следующим образом: согласно обобщённой форме МКЭ для вязко-упругой системы с распределёнными параметрами в пространстве преобразования Лапласа для произвольно расположенного треугольного элемента строятся матрга\ы масс, эюёсткостей, рассеяния энергии, а также правых частей уравнений с использованием L-координат. В нагрузочные члены, в зависимости от вида задачи, входят величины, зависящие от начальных условий. Решая полученную систему уравнений при р = /со, где р - параметр преобразования Латаса, со - частотный параметр, строим ам-плитудпо-фазо-частотные характеристики (АФЧХ) для интересующих точек плиты. Поскольку все особые точки соответствующих выражений лежат левее мнимой оси, обратное преобразование можно осуществлять, полагая р = /со, т. е. используя построенные АФЧХ. При рассмотрении ударного взаимодействия задача по построению АФЧХ, где в качестве силового воздействия фигурирует поле начальных скоростей, умноженное на погонную плотность плиты, является вспомогательной. Обычно АФЧХ строятся от воздействия возмущающих сил, затем численным интегрированием или каким-либо иным способом осуществляется обратное преобразование Лапласа. Известно, что каждому витку АФЧХ соответствует один член ряда в разложении по формам колебаний [1]. Между экстремальными точками АФЧХ и коэффициентами соответствующих членов ряда существует однозначная связь, которая используется в настоящей работе для осуществления обратного преобразования Латаса. Описанный выше подход позволяет решать нестационарные задачи динамики тонких плит при произвольном силовом нагружении и ударном взаимодействии.
Аналогичным методом была решена задача о продольных колебаниях упругих стержней ступенчатопеременного сечения [4] и осесимметричных колебаний оболочек вращения при внезапном нагруэюении [5]. Ниже, в отличие от ранее рассмотренных одномерных задач [4, 5], решается двумерная задача динамики тонких плит при внезапном нагружении и ударном взаимодействии. Соответствующие соотношения метода конечных элементов, а именно матрицы жёсткостей и масс, а также вектор нагрузочных членов получены в символьном виде, с помощью компьютера. При вычислениях используется обобщённая
симметрия соотношений для треугольного конечного элемента плиты в L-координатах. Результаты работы [3] подтверждены компьютерными вычислениями.
Согласно [1], обобщённая форма уравнений ме- _(у + рра^ + /ц + Ta0)]T}iijdV -
тода конечных элементов дается соотношениями:
где а •- вектор обобщённых сил, или тензор напряжений; и - вектор обобщённых смещений; Я -© Санкин Ю. Н., Явкин С. А., 2004 матрица инерционных характеристик, или удельная
