Устойчивость и бифуркации в динамических системах, описывающих ферромагнетики с упругопластическими деформациями Текст научной статьи по специальности «Математика»

НАУЧНЫЕ СТАТЬИ И ДОКЛАДЫ • ФИЗИКА

УДК 517:539.3

О. В. ЕМЧЕНКО, С. А. МАЯКОВА

УСТОЙЧИВОСТЬ И БИФУРКАЦИИ В ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ, ОПИСЫВАЮЩИХ ФЕРРОМАГНЕТИКИ С УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИМИ ДЕФОРМАЦИЯМИ

Исследована диссипативная динамическая система, описывающая ферромагнетик с локальным дефектом структуры. Проведен анализ устойчивости и бифуркаций решения возмущенной системы. Для конкретных видов деформации рассчитаны некоторые характеристики магнитной системы. Динамическая система; устойчивость; бифуркации

ВВЕДЕНИЕ

Пусть объемная плотность гамильтониана, описывающего магнитную систему, задается соотношением [1]

Ш = Ш,\ + Шми,

где ша— плотность энергии магнитной анизотропии, шми — плотность магнитоупругой энергии (табл.). Тогда гамильтонова система записывается следующим образом:

дф [ дш(х, у, г; ф, 0)

— = ] -----------—--------А,хА,уА,г;

п

дв Г дш(х, у, г; ф, в)

Ж = У '

(1)

дф

■ сіх сіу сіг,

где П С 5?3 — пространственная область рассматриваемой задачи.

В ранее проведенных исследованиях, результаты которых изложены в [2], было найдено стационарное решение (ф°, в0) системы (1) (грубое состояние равновесия) и исследованы его свойства. Известно, что динамическая система, зависящая от параметра, претерпевает бифуркацию, если некоторое ее качество изменяется скачком при непрерывном изменении параметра. В рассматриваемой системе таким параметром является пространственная координата. Связанное с координатой пространственное изменение локальной намагниченности изменяется скачком (фазовое превращение второго рода). Таким образом, в рассматриваемой системе мы можем ожидать возникновение бифуркаций.

Ограничимся только бифуркациями, связанными с устойчивыми состояниями равновесия. Используя полученные ранее результаты, исследуем устойчивость решения динамической системы (1) и рассмотрим вопрос о существовании точек бифуркации решения.

1. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ БИФУРКАЦИИ

РЕШЕНИЯ ГАМИЛЬТОНОВОЙ СИСТЕМЫ

Приведем систему (1) к матричному виду, введя следующие обозначения:

X =

Хи =

^ =

_ Г дш(х, у, г; ф, в)

/і І 5^/) ах йу йг,

/2 =

дв

Г дш(х,у г:ф,0) ^

} дф п

где X0 — векторное поле, определяющее стационарное решение задачи, т. е. распределение вектора локальной намагниченности вблизи возмущения, X — векторное поле, определяющее эволюцию вектора локальной намагниченности вблизи возмущения.

Исследуем устойчивость системы вблизи стационарного решения . В приведен-

ных обозначениях эволюция локального магнитного поля вблизи дефекта будет описываться соотношением

X = ^ (Х°) +ВР(Х^ Х°) + о (||Х - Х°||) , гд еВР=(%№'°)

Т аблица

Плотности энергии магнитной анизотропии и магнитоупругой энергии

Одноосный кристалл Двухосный кристалл

& л = hia2., ми = Bi(exx + eyy)al + В-2£--п2:+ +Вз(ехха1 + £yyoty + 2 ехуахау)+ + 1?4(бу~(Ху(Х~ + с ■/■:(*■/■(*:) U)А — &\\Cí%Cíy + (XyQL^ ~b mu = Bi(alexx + oty£yy + ale--)+ ~^B-2 {fXx(XyS Xy + (1: y (1: -y - + (1: - (1: ;r- ;r )

a(r) = (ах,ау,а-) = (cos в, cos ф sin в, sin ф sin в), ф — угол, отсчитываемый в плоскости (YOZ) от оси OZ, (ф £ [—^. %-]), в — угол между (5(f) И ОСЬЮ ОХ, (в G [0. 7Г]), Ki — первая константа магнитной анизотропии, Bi (i = 1.2.3.4) — константы магнитоупругой связи, Eij (х, у, г) — элементы тензора деформаций.

Собственные числа матричного оператора DF определяются из уравнения

dot

Ш± U0 дв \Ч- ■

дв \ч- ’0°)

А

= 0, (2)

решения которого Ах и А2 будут зависеть от параметров К\ и В{ (см. табл.). Однако решение уравнения (2) связано с определенными трудностями, заключающимися в существовании особых контуров [2], возникающих при построении стационарного решения. Плотность энергии о; внутри этих контуров не определена.

Поэтому вместо обобщенного уравнения (2) используем более строгое условие, полученное из (2) для фиксированной точки пространства:

dot

( д2ш(х, у, z; ф°, 9°)

дфдв д2ш(х,у,г:ф°,в°)

А

дф2

д2ш(х, y, z; ф°,в°)

д2ш(х, дв2 в0)

Уі^Ф і

дфдв

А

= 0, (3)

и А2 -

решения

которого будут зависеть уже не только от постоянных анизотропии и магнитоупругой связи, но и от координат, являющихся непрерывными параметрами динамической системы.

Таким образом, решения уравнения (3) определяют тип устойчивости решения системы (1) для фиксированной точки пространства (ж, у, г), а решения уравнения (2) — для всей области в целом.

Остановимся подробнее на решении уравнения (3). При фиксированных и получим следующее соотношение для :

А2 =

д2ш(х, у, z: ф°, в0) дфдв д2ш(х, у, z; ф°, в°) ~дф2 Х д2ш(х, у, z; ф°, в°) дв2

R. (4)

Если Я > 0, то Ах = —А‘2 = '/Я и (•ф°, в°) -седло,

если Я < 0, то Ах = —А‘2 = г\/Я и (ф°, в0) — центр,

если Я = 0, то Ах = А2 = 0 — необходимое условие бифуркации решений.

Таким образом, в системе дифференциальных уравнений (1) могут наблюдаться седлоузловые бифуркации. Достаточным условием существования бифуркаций для произвольной динамической системы является выполнение одного из следующих неравенств [3]:

№Я»И, УЯ= J, (5)

hi Є [Ü; 2тт], і = 1, 2,

где

Запишем достаточное условие существования бифуркации для рассматриваемой

обобщенной системы (1)

' д3ш(х, у, z; ф°,9°)

дф2дв ' длш(х, у, z; ф°, в°) длш(х, у, z; ф°, в°)

дфдв2

дф2дв длш(х, у, z; ф°, в0) дв2

<0;

(6)

' дАш(х, у, z; ф°, в0) ^

дф* ’ длш(х, у, z; ф°, в0) длш(х, у, z; ф°, в0)

дф2дв

дф*

длш(х, у, z; ф°, в0) дфдв2

<0.

(7)

Условия (6) и (7) для конкретного вида плотностей энергии и видов локальных дефектов рассмотрены ниже.

Исследуем теперь устойчивость обобщенной системы (1). Одним из методов определения зон хаотичности и количественной оценки степени интегрируемости орбит является расчет максимальных показателей Ляпунова

[4].

СистемаX = ^(Х), Х(0) = X0, Хей2 устойчива по Ляпунову, если Уе > 0 35 > 0, такое, что при внесении возмущения в начальные условия (где

) новое решение системы находится в -окрестности решения

невозмущенной системы:

.

Пусть Ai, А2 ла оператора DF,

= (Xfe^X.fe^),

+ <5i)eÄli,(X.f + 62)ех*1)

- собственные чис-тогда X (t) =

Хг (t) = ((X? +

|А/,|| = ||X(i)-Xi(i)|| = CJ(e

Ai/,

следовательно, система устойчива, если ReAi52 ^ 0, и неустойчива, если Ai > 0 либо А2 > 0. Очевидно, что гамильтонова система (1) устойчива при и неустойчива

при R > 0. На рис. 1 представлена сепаратриса, построенная для системы, описывающей двухосный ферромагнетик, отделяющая устойчивые решения от неустойчивых.

Найдем показатели Ляпунова для рассматриваемой системы (1). В общем случае показатель Ляпунова определяется как А(Х(0),До) = lim lim} ln Пусть

¿—»•оо <>'—)• О

До = (¿1,0), До = (0,<52), тогда Ai =

= X(X(0).Ak) = lim lim \ ln = A

u ¿->-00 —»0 <h

.

Рис. 1. Численное интегрирование системы (1), записанной для двухосного ферромагнетика с дислокацией, с начальными условиями в точке при следующих значениях параметров:

В\ = 1, В2 = —25,6, К\ = 0,002225 (все энергетические постоянные нормированы на В\, пространственные - на период атомной решетки)

Непериодическим решениям динамической системы могут соответствовать аттракторы сложной геометрической структуры, которые имеют, по крайней мере, один положительный ляпуновский показатель и, как следствие, дробную размерность, определяемую по формуле Каплана-Йорка [3]

г=1

D=j

IVhI

где - наибольшее целое число, для которого А1 + ... + А^- ^ 0. Размерность Б представляет собой одну из фрактальных размерностей множества и служит оценкой снизу для метрической размерности аттрактора. Применив указанную выше формулу к системе (1), получим, что в области, где , существует

предельное множество размерности .

2. РЕЗУЛЬТАТЫ

Применим приведенную классификацию устойчивости к некоторым конкретным видам плотности энергии и деформации структуры ферромагнетика.

Линейная дислокация Одноосный ферромагнетик

Для прямолинейной краевой дислокации, параллельной оси (ОХ), с вектором Бюр-герса, параллельным оси (ОУ), (рис. 2, а) га-

Рис. 2. Исследование устойчивости решения гамильтоновой системы, описывающей двухосный ферромагнетик с дислокацией ( , ,

= 0,002225 — все константы выражены в единицах Вх, координаты — в периодах

атомной решетки)

мильтонова система выглядит следующим образом:

-% = %= (к®< - й1> Е» - В- A-J х

х нт2ф + Вфуг cos 2ф^ sin2 в, дф дш ( тг 2 ,

~0t ~ ~ \№l£yy + B-¿£zz + Ai] COS ф +

[B-¿£yy] sin2 Ф + ^B^Eyz sin 2^ sin 26.

1

ф = -arctg 0o = тг/2.

В4Є.

yz

(В 1 — В3)єуу + B2ezz + Ai

Следовательно, щщ (ф°:6°) = 0. Отсюда, согласно уравнению (4), получим

А2 = 4([(Я3 - Вг) еуу - B2ezz - Ai] cos 2ф°-

— Вфуг sin 2ф0^ х х BiEyy + B2ezz + Ai] cos2 ф° +

+ [Вз£уу\ sin2 ф° + 0,5B4£yZ sin 2ф°'\ = R. (8)

Проверим выполнение условий (6, 7). По-

АЗ

скольку на стационарном решении щтщ = = ЩШ = Ш = °, то остается проверить, будет ли 0 ('¡/А 9°) < 0. Так, как || = ^40,

то ('¡/А 0°) = 0. В этом случае бифуркаций решения нет.

Двухосный ферромагнетик

Запишем гамильтонову систему для двухосного ферромагнетика

дв í

~Qt = (#1 (Єуу - Єгг) Sm2'0 + В2Єуг COS 2ф

h - Ai sin 4^ sin2 ej sin2 6, dtb (

— = [Ві(Єуу sin2 Ф + Ezz eos2 Ф)

T^B-2eyz sin2ф + ^Ai sin2 2ф sin2 6 Кл соа2б\ sin 26.

При этом ф° определяется из уравнения

В1 (еуу - £zz) sin2^° + B2£yz cos 2ф° +

+ ^Aisin4í/)0 = 0, (10)

.

Характеристическое уравнение для двухосного ферромагнетика задается соотношением

А2 = 4 j#i {еуу - ezz) cos 2ф° +

+ B-ityz «in2'00 + Ki cos 4^’° I x x |a"i + Bi(eyy sin2 ф° + егг cos2 ф°) +

+ ^В2£угтп2ф° + ^К18т22^0} = R. (11)

На рис. 2,6 построены области, для которых являются седловы-

ми точками ( ), точками типа центр

(Д < 0), а также контур А = 0. Найдем области, в которых есть бифуркации решения. Для этого проверим выполнение достаточных условий. На стационарном решении = = 0, таким образом,

дли

длш ______

дф-дв дфдв- дв'л

условие < 0 равносильно системе

Bi (еуу -e„)sin2ф° +

+ B2eyz cos 2ф° + ^Ai sin4'00 = 0, (12)

. A’i siti Ir" > ü.

Области, где обнаружены бифуркации решения рассматриваемой гамильтоновой системы, приведены на рис. 2,6 (выделены жирной линией).

Клиновая дисклинация

Одноосный ферромагнетик

Для клиновой дисклинации, приведенной на рис. 3,а, гамильтонова система имеет вид

дв (í

= ( (^1 Bl(£yy + £хх) B2£zz +

+ Btfyy) sin 2ф + Bá£yZ cos 2^ sin2 0, дф (

= Í [Bi£yy + B2£zz + Ai] cos2 ф +

1

+ [Вфуу] sin2 ф + -Вфуг sin 2ф -

- I sin 20,

,0 1

ф = -arctg

0° = n/2.

В±£.

yz

Bl{£yy + £-XX ) + B2£zz

~B% £yy + Ai /

Как и в случае дислокации, на стационарном решении

д2ш д3ш

д3ш д3ш д3ш

дфдв дф2дв дфдв2 двг дфг

= Ü.

Следовательно, собственные числа определяются из уравнения

А2 = é(^(Ki— Bi(£yy+ £хх) — B2£zz + B:i£yy) X х cos 2ф° — Вфуг sin 2ф0^ х X {[BlEyy + B2£zz + Ki) cos2 Ф0 + +B:i£yy нт2ф°+(15В4£уг sin2ф°-Вг£хх^ = R,

бифуркации решения нет.

Двухосный ферромагнетик

Для двухосного ферромагнетика с дискли-нацией гамильтонова система имеет вид

Эв í

-— = [ВI (£yy - £zz) sin2ф + B2£yZ cos 2ф +

+ ^ A"i sin4^ sin2 e'j sin2 6, dtb /

— = [Bi(£yy sin2 Ф + £zz cos2 Ф) +

+ ^B2£yZ sin 2ф + ^ A"i sin2 2ф sin2 в + + A"i cos 2в — Bi£xx^j sin20.

Как и для системы (9), стационарное решение определяется соотношением (10), а характеристическое уравнение имеет вид

А2 = 4{#1 (Еуу - £zz) cos2ф° +

+ B2£yZ sin 2ф° + K¡ cos4'0°|

X |a"i + Bi(£yy sin2 Ф° + £zz eos2 Ф

X

2

\b2£vz sin2'0° + ^Ai sin2 2'0o

Рис. 3. Исследование устойчивости решения гамильтоновой системы, описывающей двухосный ферромагнетик с дисклинацией (В1 = 1, В-2 = —25,6, Кх = 0,002225 — все константы выражены в единицах В\, координаты — в периодах атомной решетки)

Достаточным условием существования бифуркации является система (12). На рис. 3,6 приведены области, для которых (‘ф°(у., г), 0о(у, г)) являются седловыми точками ( ) и точками типа центр ( ),

указана область раздвоения решения (выделена жирной линией).

Анализ характеристических уравнений (11), (13) показал, что в точках пространства, находящихся вблизи источника деформации, функция и ее значение

на несколько порядков больше, чем в областях, удаленных от источника деформации. Это означает, что положительное собственное число вблизи дефекта больше, нежели вдали от него, соответственно направление векторов локальной намагниченности в зоне дефекта через определенный отрезок времени будет сильно отличаться от направления этих

векторов вне указанной зоны, т. е., несмотря на то, что магнитоупругие взаимодействия, обусловленные дефектом, гораздо слабее обменных, через некоторое время t > I = тр они окажут существенное влияние на распределение локальных магнитных полей рассматриваемой системы.

ВЫВОДЫ

Применение методов нелинейной динамики открывает широкие возможности в области моделирования магнитных систем. В рамках данной работы было проведено исследование структурной устойчивости магнитных систем и получены области, в которых возможно образование магнитных доменов. Эти области совпадают с областями седло-вой неустойчивости решения динамической системы, описывающей ферромагнетик.

Дальнейшими этапами развития этой задачи является изучение затягивания и потери устойчивости решения и возникновения магнитного гистерезиса при включении в динамическую систему уравнений, отвечающих за температурную и полевую зависимость.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Диченко, А. Б. Локальное изменение констант магнитной анизотропии, обусловленное линейными дефектами / А. Б. Диченко,

B. В. Николаев, А. П. Танкеев // ФММ. 1978. Т. 45, № 5. С. 958-967.

2. Емченко, О. В. Реализация модели Изин-га для магнетиков в случае слабого топологического беспорядка / О. В. Емченко,

C. А. Маякова // Вестник УГАТУ. Уфа, 2004. Т. 5, № 2 (10). С. 67-73.

3. Анищенко, В. С. Знакомство с нелинейной динамикой / В. С. Анищенко. М. ; Ижевск : Институт компьютерных исследований, 2002. 144 с.

4. Паркер, Т. С. Введение в теорию хаотических систем для инженеров / Т. С. Паркер,

Л. О. Чжуа // ТИИЭР. 1987. Т. 75, № 8. С. 640.

ОБ АВТОРАХ

Емченко Ольга Владимировна, доцент кафедры ВВТиС УГАТУ. Дипл. физик (БГУ, 1983). Канд. физ.-мат. наук. (физика магнитных явлений) (защ. в МГУ, 1991). Исследования в области физики магнетизма, теории упругопластических сред.

Маякова Светлана Алексеевна, ассист. той же каф. Дипл. математик, сист. программист (УГАТУ, 2004). Иссл. в обл. магнитных явлений, статистической физики, моделирования физических процессов.