CC BY
78
УДК 537.611
АВТОРЕЗОНАНСНОЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ВОЗБУЖДЕНИЕ МАГНИТНОГО БРИЗЕРА
© М. А. Шамсутдинов1, Л. А. Калякин2, А. Т. Харисов1, В. Н. Назаров3*
1 Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 450074 г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.
2Институт математики с вычислительным центром УНЦ РАН Россия, Республика Башкортостан, 450077 г. Уфа, ул. Чернышевского, 112.
3Институт физики молекул и кристаллов УНЦ РАН Россия, Республика Башкортостан, 450075 г. Уфа, пр. Октября, 151.
E-mail: khantaf@mail.ru
Рассматривается нелинейная динамика локализованных магнитных неоднородностей в ферромагнетиках и слабых ферромагнетиках во внешнем переменном магнитном поле. Показана возможность параметрического авторезонансного возбуждения магнитных бризеров переменными магнитными полями небольшой амплитуды, а также звуковыми волнами. Определены зависимости порога авторезонансного параметрического возбуждения от затухания и фактора качества магнетика.
Ключевые слова: магнитные неоднородности, магнитный бризер, параметрический авторезонанс, переменное магнитное поле, звуковая волна.
Введение
Возбужденные состояния магнитоупорядоченных сред можно описать в терминах газов квазичастиц трех сортов: элементарных возбуждений (линейных спиновых волн), доменных стенок и бризеров, которые могут взаимодействовать друг с другом [1]. В настоящее время достаточно хорошо разработаны методы параметрического возбуждения спиновых волн и их теоретического описания [2-3]. Имеется множество работ, посвященных исследованию динамических доменных структур (см., например, работу [4] и список литературы в ней), возникающих в переменных низкочастотных полях. Можно отметить сильно возросший интерес исследователей к изучению солитонов огибающей нелинейных спиновых волн в ферромагнетиках [5-9] и магнитных бризеров [10-15]. Проблема генерации бризеров, представляющих собой наиболее общий тип солитонных возбуждений, включая спиновые волны и доменные стенки как предельные случаи, относится к наименее изученной области как в экспериментальном, так и теоретическом отношении. Можно указать работы [12-13] и обзор [11], где излагаются результаты теоретического изучения условий генерации бризеров пространственно локализованным импульсным магнитным полем. В этих работах отмечается возможность стабилизации таких бризеров при наличии диссипации с помощью параметрической накачки. Как известно, вопрос о генерации локальных магнитных неоднородностей тесно связан с проблемой неоднородного перемагничивания [16-17], решение которой имеет как фундаментальное, так и прикладное значение.
В настоящей обзорной статье рассматривается авторезонансный метод генерации локализованных магнитных неоднородностей в форме бризера. Под авторезонансом понимается явление автоматической подстройки собственной частоты динамической системы под частоту внешнего воздействия
(накачки). Возникающий таким образом резонанс, удерживаемый в течение долгого времени, может приводить к значительному изменению энергии системы даже при малой вынуждающей силе. Эффекты, связанные с авторезонансом, обнаруживаются в колебательных системах различной природы [18]. Впервые явление авторезонанса (иногда используется термин «автофазировка») было использовано в ускорителях релятивистских частиц в соответствии с идеей, высказанной Векслером и Мак-Милланом в 1944-1945 гг. [19-21]. Позднее эта идея использовалась в экспериментах по разогреву плазмы с теоретическим обоснованием в работах Голованевского в начале 1980-х гг. [22]. Систематическое исследование математических моделей авторезонанса, представимых в форме дифференциальных уравнений, началось с работы Фрид-лянда и Меерсона [23]. К настоящему времени хорошо разработаны математические основы авторезонанса в колебательных системах при отсутствии затухания [24-27].
Явление авторезонанса в магнетиках как в экспериментальном, так и теоретическом отношении остается малоизученным [28-29]. Одной из причин, задерживающей развитие методов авторе-зонансного возбуждения, является тот факт, что в магнитной системе всегда имеет место диссипация энергии, приводящая к уменьшению угла прецессии и тем самым нарушению условия авторезонанса в нелинейной колебательной системе. Немаловажным фактором являются и трудности технического характера, стоящие на пути реализации условий авторезо-нансной накачки при высоких частотах возбуждения.
В переменном магнитном поле, параллельном намагниченности, в режиме параметрического авторезонанса возможно появление эффектов, связанных с нарастанием со временем амплитуды осциллирующего решения возмущенного уравнения синус-Гордона от малой величины до значений по-
* Шамсутдинов Миниахат Асгатович — д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой теоретической физики БашГУ.
Калякин Леонид Анатольевич — д.ф.-м.н., профессор, заведующий отделом дифференциальных уравнений ИМ с ВЦ УНЦ РАН. Харисов Анвар Тафкильевич — к.ф.-м.н., доцент, доцент кафедры теоретической физики БашГУ.
Назаров Владимир Николаевич — к.ф.-м.н., научный сотрудник ИФМК УНЦ РАН.
рядка единицы [30-31]. Для уравнений в частных производных существуют подобные работы [32-34], посвященные анализу эффектов прямой накачки.
Характерной чертой рассматриваемых решений оказывается совпадение их частоты с половиной частоты поля внешней накачки. В линейных системах такое соотношение (собственная частота равна половине частоты накачки) представляет собой условие параметрического резонанса, выполнение которого приводит к решениям с нарастающими амплитудами. В нелинейных системах подобное явление называется параметрическим авторезонансом. Отличие от линейного случая состоит в том, что резонансное соотношение, будучи выполненным в начальный момент, вовсе не гарантирует значительного роста амплитуды. Это обстоятельство связано с тем, что в нелинейной системе собственная частота зависит от энергии (амплитуды), поэтому с ростом амплитуды резонанс, как правило, не сохраняется. Тем не менее решения с растущей амплитудой иногда могут возникать при подходящем изменении частоты внешнего возмущения. При этом сохранение резонансных условий в течение продолжительного времени должно будет приводить к возбуждению локализованных нелинейных колебаний намагниченности с большой амплитудой при малой амплитуде переменного поля.
Возбуждение бризера в двухосных магнетиках
Исследуем параметрическое авторезонансное возбуждение магнитного бризера в магнитных пленках с перпендикулярной анизотропией. Рассмотрим двухосные магнитные пленки с развитой поверхностью ZY, нормальной к оси легкого намагничивания, параллельной оси Z. Исходим из плотности энергии:
f = - Km2 + Km2 -2Мошит -Моши,
где A - параметр неоднородного обменного взаимодействия, ш = M /М0, М0 =| M | - намагниченность насыщения, K , K - константы магнитной
u ’ p
анизотропии, и = H(t) - внешнее магнитное поле, параллельное оси легкого намагничивания, и ш -
магнитостатическое поле, определяемое из уравнений магнитостатики. Магнитостатическое поле складывается из поля магнитных зарядов на поверхности образца и поля зарядов в объеме доменной стенки. Рассмотрим одномерные магнитные неоднородности блоховского типа параллельные плоскости ZX и положим
ш = (sin 0 cos j, sin 0 sin j, cos 0^ где 0 = 0(Y), j = j(Y). В дальнейшем рассмотрим случай, когда
Kp >>Ku >2лМо2.
Тогда намагниченность слабо отклоняется из плоскости ZY магнитной неоднородности, т. е. угол j
является малым (ф<< 1). В случае пленок на структуру и динамику магнитных неоднородностей могут оказать влияние поверхностные магнитные заряды. Проведя вычисление энергии полей рассеяния Wm согласно Дитце и Томасу [35] (а также см. [36]), получим
- - оо оо
W-= Т5Ptd Ь(Ym(Y)h'
-£-• U —¥ —¥
1 +
L Y — Y
где <2 = Ки/2рМо2 > 1, aw = , §0 ,
Ь - толщина пленки. Структура и динамика магнитных неоднородностей описывается интегро-дифференциальным уравнением:
■uxx + sin U :
■Ро(и),
P0(u) = 2h sin - — but - „ , Í
2 2pQd0 — ¥
где d0 = L /80, u = 20
. u(x) u(x),
sin---cos--In
22
1 +
dx,
h = M0H / 2Ku,
b = a jKp / Ku , a - параметр затухания Гильберта. При этом произведено переобозначение Y/60 ® x, Y /80 ® x, two ® t (w0 = 2j^lKpKu /M0). В случае толстых пленок L >> 60 нелокальная часть P0(u) исчезает. В случае тонких пленок когда L ~ 60 влияние нелокальной части P0(u) может
быть существенным. Видно, что поле рассеяния поверхностных магнитных зарядов сильно зависит от фактора качества. С ростом фактора качества Q влияние поверхностных магнитных зарядов на характеристики локализованной магнитной неоднородности ослабевает. В дальнейшем ограничимся рассмотрением толстых пленок и пластин с большим фактором качества.
Рассмотрение параметрического авторезо-нансного возбуждения магнитных бризеров внешними переменными полями проводим исходя из возмущенного уравнения синус-Гордона:
utt - uxx + sin u = 2h sin u - bu. (1)
Это уравнение описывает динамику магнитных неоднородностей как в ферромагнетиках типа «легкая плоскость», так и в слабых ферромагнетиках [30-31]. Ограничимся рассмотрением слабой диссипации (b << 1) и слабого внешнего магнитного поля:
h = h0 + h1 cos(Wt - m2 /2),( h), h1 = const << 1), (2) частота которого w~ - mt медленно меняется со временем (при | m |= const << 1). При hj = 0 и h0 > 0 ферромагнетик находится в метастабильном ( m ti h0X а при h0 < 0 - в стабильном ( m tt И0) состояниях.
Если ограничиться исследованием влияния возмущения на локализованные неоднородности, то в качестве невозмущенного состояния естест-
2
u
2
d
x
венно взять бризер. Такие состояния представляются посредством специфического решения невозмущенного уравнения синус-Гордона вида:
u = 4arctg
A sin c w ch( Ax)
(3)
A = V1 - w2 - c = wt + c0, (4)
где A - %0 - const- W - собственная частота системы.
В адиабатическом приближении при наличии возмущений, описывающих диссипативные процессы и внешние воздействия, полагая в (3), (4) A = A(t) - c = c(t) неизвестными функциями времени, можно прийти к системе уравнений в виде [37]:
dA2
dt
dc
= 2A2w21 — sin c-bcosc
1 + Г( A, c)
i—^—2 cos c
1 - A2 cos2 c
(h . „ ^ 1 + A cos ГГ(A,c) ■
= w- \— sinc-bcosc I--------------------------—sinc.
dt ^ w ) 1 - A2 cos2 c
(5)
Здесь
Г( A, c) =
w2arsh( Asin c / w) A sincV 1 - A2 cos2 c
(6)
является р -периодической функцией по С .
Когда внешнее поле постоянно ^ = ^, никакого значительного роста амплитуды А(г) получить нельзя. Наличие диссипации приводит к уменьшению амплитуды бризера А(г) [10-11, 14].
В случае переменного внешнего поля возможно появление резонансных эффектов, которые приводят к более значительному изменению амплитуды. При постоянной частоте накачки й и в отсутствие диссипации (р = 0) возможно изменение амплитуды А(г) на величину порядка о(). Т акого
типа решения строятся при условии параметрического резонанса
- a0 = w,
и с ними связан термин «нелинейный параметрический резонанс». Анализ похожей задачи о нелинейном резонансе приведен, например, в книге [38]. Достичь изменений амплитуды на величину порядка единицы при малой амплитуде накачки (| к1 |<< 1) на этом пути невозможно: при больших
изменениях А(г) нарушается резонансное условие из-за зависимости собственной частоты от амплитуды й = V1 - А2 .
Ниже излагаются результаты анализа уравнений (5) при переменной частоте накачки, равной й -цг, (ц^ 0). Здесь при малых ц, обнаруживаются приближенные решения со значительным изменением амплитуды. Эволюция во времени квадрата амплитуды А (?) на таких решениях определяется из резонансного условия
2лА - А2 = й -цг. (7)
Это соотношение интерпретируется как захват системы в параметрический резонанс. Алгебраическое уравнение (7) дает приближенное решение для А(?) на далеких временах с характерным масштабом цг» 1. Вблизи начального момента (ц г << 1)
имеется погранслой, в котором приближенное решение определяется из дифференциальных уравнений. Эти уравнения получаются из (5) методом усреднения. Основные результаты данного раздела связаны с исследованием усредненных уравнений. Для них в работах [30-31] доказано существование двухпараметрического семейства решений с растущей на бесконечности (на выходе из погранслоя) амплитудой. Именно эти решения соответствуют захвату в резонанс. Помимо того, существуют решения с амплитудой, ограниченной на выходе из погранслоя, которые соответствуют отсутствию захвата в резонанс. Разные классы решений разделяются по начальным данным А0, %0 .
Уравнения главного резонанса
Рассмотрим наиболее интересный случай, когда начальная амплитуда мала а0 << 1, а резонансный захват приводит к нарастанию амплитуды до величины порядка единицы. Резонансный захват обнаруживается при медленном уменьшении частоты накачки.
Анзатц для асимптотического решения уравнений (5) берется в виде
A2 = e[R(t) + о(1)], t = e t, 0 <e<< 1, c = 1 [w t - m t2 /2 + Y(t)]+ o(1),
(8)
где Л(х), ¥(Х) - функции, медленно меняющиеся со
временем. Главный член квадрата амплитуды А входит здесь с малым множителем 0 < е << 1 и строится, как и в предыдущем случае, в виде функции Я(е г), медленно меняющейся по времени. При выполнении резонансного условия в началь-
ный момент
2w(0) = w, h0 = e уравнения
главного
резонанса, получаемые из (5) применением классического метода усреднения [39], имеют вид:
dR=R dt
2р hj . ш'
——+ —sin Y
(9)
dY rih1 m
— = -R + —Lcos Y + -Щ-т.
dx 2е е2
Фигурирующий в анзатце (8) параметр е выделяет определенный класс решений с малой начальной амплитудой. Анализ системы уравнений (9) (по-гранслойных уравнений) при следующих соотношениях малых параметров:
|^|/е = 1, ц/е2 »1, р/е<0(1), (10)
показывает существование решений с растущими (рис. 1, 2а) и ограниченными (рис. 2б) амплитудами на выходе из погранслоя. Подробности можно найти в [30-31].
e
e
Если параметр диссипации мал по сравнению с безразмерной амплитудой накачки, то есть Ь / h1 << 1, то выход амплитуды решения на растущую асимптотику происходит медленно. На временном масштабе t = h1t обнаруживаются неубывающие осциллирующие слагаемые (рис. 1).
Наличие решений с неограниченно растущими амплитудами можно усмотреть из фазового уравнения (9), если растущее слагаемое mt / hf компенсировать за счет функции R (t). При этом фазовая функция Y(t) оказывается ограниченной. Изменение бризера с течением времени приведено на рис. 2. Необходимым условием параметрического авторезонансного роста бризера при наличии диссипации является выполнение условия
h1 > h1k, (11)
где
h\k = 2р -
критическое значение амплитуды поля накачки, которое в размерных переменных имеет вид:
H1k = 2aWFM = DH.
Y
Видно, что амплитуда переменного поля должна быть больше ширины линии ферромагнитного резонанса DH . Однако для захвата в авторезонанс выполнение условия (11) оказывается недостаточным, так как вхождение системы в параметрический резонанс еще зависит от начальных значений амплитуды и фазы бризера, то есть от А^ и с 0.
Эти начальные данные могут быть определены численными исследованиями полных уравнений (5). Однако более эффективным оказывается исследование уравнений главного резонанса (9). Ниже приводятся результаты численного определения области захвата - множества начальных данных, которые соответствуют авторезонансным решениям. На рис. 3 темным цветом изображены такие области на плоскости начальных данных ( A0, c0 )
в полярных координатах х = А0 cos с0, Y = А0 sin с0
в зависимости от параметра b / h1 при
e = h = 0.01, m / h2 = 1.
и ю3 и 103
Рис. 1. Растущие решения уравнений главного резонанса (9) (а) и полных уравнений (5) (б) при ц / = 1,
Ь/кх = 0.Ь А0 = 0.141, ¥0 =р/2, кх = 0.01
Из анализа разных случаев, аналогичных приведенному на рис. 3, следует, что область захвата сильно зависит от отношения скорости изменения частоты накачки к квадрату амплитуды ц / ^12. При
быстром изменении частоты внешнего переменного поля множество резонансных решений становится весьма бедным, зато амплитуды резонансных решений быстро растут. С другой стороны, при медленном изменении частоты накачки область захвата становится более богатой, однако рост амплитуд, соответствующих резонансным решениям, оказывается более медленным.
Рис. 2. Эволюция бризера согласно полному уравнению (5) для т / /г2 = 1, р / И1 = 0.1, А0 = 0.141; (а) Н1 = 0.01 - растущее решение (с0 = Л /4), (б) -нерастущее (с 0 = -Л / 8 )•
Из представленных рисунков на плоскости начальных данных Ао, С 0 можно усмотреть, что окрестность начала координат (для очень малых значений начальной амплитуды Ао) не входит в область захвата. Наименьшее значение начальной
А *
амплитуды Ао , при котором решение захватывается в авторезонансный режим, можно назвать поро-
гом авторезонансного возбуждения. Очевидно, порог зависит от характерных параметров ц / И и Р / И1 и в начальных данных согласован с определенным значением начальной фазы %0. В частности, при ц / И12 = 1 приближенное значение для порога составляет А**» 0.031. Наличие диссипации
приводит к увеличению порога, при этом количество резонансных решений падает с ростом скорости изменения частоты ц и затухания р [30, 31]. Как показано выше, более простые усредненные уравнения позволяют идентифицировать авторезонанс-ные решения исходной системы. Однако, надо иметь ввиду, что для полных уравнений (5) граница области захвата размывается. При изменении начальных значений А0, С0 на решениях уравнений
(5) уже не наблюдается резкого перехода от нерезонансного случая к резонансному. Граница области захвата становится более отчетливой при уменьшении основного малого параметра - амплитуды накачки И1 .
-2 0 2 4 6 8 10
X
У ))
-2 0 2 4 6 8 10
X
Рис. 3. Область захвата в авторезонанс (темный цвет) при m / h2 = 1, b / hv (а) - 0, (б) - 0.1.
Весьма важным, с точки зрения экспериментальных исследований, является то обстоятельство, что уравнение типа (9) можно получить и в случае переменного поля вида
h = h0(t) + hj cos йt, hj, й = const, (12)
h0 (t) = -mt, hj << 1.
Уравнения (9) главного резонанса при этом остаются справедливыми при | h0 (t) |<< 1, то есть на
временах t << 1/ m (0 < m << 1) .
Таким образом, авторезонансное параметрическое возбуждение бризера оказывается возможным и при неизменной частоте накачки, равной удвоенной частоте линейного ферромагнитного или анти-ферромагнитного резонанса. Захват фазы имеет
место при подстраивании собственной частоты бризера путем медленного изменения (роста) со временем величины поля Н0, параллельного намагниченности. В отличие от случая переменной частоты накачки рост амплитуды бризера до больших значений в последней модели невозможно рассмотреть в силу условия | h0 (t) |<< 1, то есть в силу
применимости адиабатического приближения. Возбуждение бризера звуковой волной
Как известно, упругой волной можно параметрически возбуждать линейные магнитные волны [3, 40]. Рассмотрим параметрическое возбуждение малоамплитудной нелинейной магнитной неоднородности в виде бризера полем упругой волны. Нелинейная динамика намагниченности в безразмерных переменных описывается возмущенным уравнением синус-Гордона [41]:
• и о ex .
utt - uxx + sin и = 2h0 sin-put + b—- sin и, (13)
2 Э x
где ho - безразмерное магнитное поле; b - параметр затухания; b - магнитоупругая постоянная; ex = e0 sin(kx - Wt) - продольная звуковая волна.
Частота гиперзвуковой волны Й равна удвоенной частоте ферромагнитного резонанса WFM,
к = Й/ S , где S - скорость продольной гиперзвуковой волны. В (13) внешнее поле ho считаем медленно меняющейся функцией времени h0 = -mt.
Взяв в качестве решения уравнения (13) малоамплитудный бризер невозмущенного уравнения си-нус-Гордона, и используя анзац (8), можно получить уравнения главного резонанса вблизи положения равновесия в виде (9), где h = kbeo [42]. Как было показано выше, при h1 > 2b существует решение системы уравнений (9) с растущей при t ® ¥ амплитудой R в определенной области начальных значений амплитуд Ro и фаз Yo. Амплитуда упругой волны должна удовлетворять условию
eo > ecr = 2р /(kb).
В размерных переменных пороговое значение амплитуды упругой волны накачки имеет вид
oSM (14)
cr 2gB ’
где a - параметр затухания Гильберта; M - намагниченность насыщения; B - магнитоупругая постоянная; g - гиромагнитное отношение.
Поток звуковой энергии определим по формуле: П = po^a^S.
Используя материальные параметры железо-иттриевого граната Y3Fe5012 M = 14o Гс,
S = 7 ■ 1o5 см/с, аш = 6 • 1010 с-1, B = 4 106 эрг/см3, а = 5 ■ 10-5, получаем П» 5 Вт/см2, что вполне
реализуемо на эксперименте [3]. При этом длина гиперзвуковой волны равна 350 нм.
Таким образом, параметрическое возбуждение магнитного бризера возможно упругой волной с частотой, равной удвоенной частоте ферромагнитного резонанса при медленном росте со временем резонансного поля.
Возбуждение бризера в одноосных ферромагнетиках Динамика бризера намагниченности в одноосном ферромагнетике в постоянном поле исследовалась в работах [15, 37]. Было показано, что при начальной амплитуде меньше некоторого значения в случае постоянного внешнего магнитного поля
h = h0 рост амплитуды получить нельзя. Наличие
диссипации приводит к уменьшению амплитуды. В случае переменного внешнего поля, как и в случае двухосных магнетиков, возможно появление резонансных эффектов, которые приводят к более значительному изменению амплитуды [44].
Рассмотрим авторезонансное параметрическое возбуждение магнитного бризера. Исходим из плотности энергии
F = а{^0 j + Ku sin2 0 + 2рМ2 sin2 0 sin2 j - M0H cos 0,
где 0 и j - полярный и азимутальный углы намагниченности.
Решение бризера уравнения Ландау-Лифшица при отсутствии затухания и внешнего магнитного поля можно представить в виде [43]
J___
2 ^ юj ' ~ '“"ch2 АХ
- tg с, ю = -\/W(W + Q ^), W = л/1 - А ,
tg2 q=[ Aо - л2+о->s,n2 о-
w
ctg j = tg c , w =
где c = Wt + C0, A, Co - const, W - собственная частота колебания бризера. Ограничимся слабой диссипацией a << 1 и малыми полями с медленно меняющейся частотой (2). При наличии внешнего поля и затухания, считая A = A(t) и c = c(t) неизвестными функциями времени, уравнения для A и с в адиабатическом приближении можно получить из системы уравнений [15, 37]
W,:
2(1 — Q)
(1 + a2)(1 + О 1 sin2 j)
X .¡a(fí + Q 1sin2 j)(Q + Q 1 sin2 j — h) + 7^ |h + sin2j| sin2j^ X
X -M +
Q + Q 1 sin2 j
ln
(y 1 — Q + л/1 + Q 1sin2 j) 2
2^(1 — Q)(1 + Q— sin2 j) Q + Q 1 sin2 j
jt = —^—r I Q + Q_1 sin2 j- h - — sin2j
1 + a2
2Q
Проанализируем случай переменной частоты накачки, равной й - цг, (|1 Ф 0). Как и в двухосных магнетиках, эволюция во времени квадрата амплитуды А2 (г) определяется из резонансного условия 2й= й -цг :
2^/1 - А2 (л/1 - А2 + 2- )}/2 = й-ц г.
Для получения уравнений главного резонанса воспользуемся анзацем вида (8). Путем усреднения уравнений для функций К(г), ¥(г), можно получить следующие уравнения главного резонанса [44, 45]:
dR
= R
dY
dt
dt
2+Q-1
4a
ho — 1 —
2
—1
hQ ^a/i+"q 1
_ h 2 + О 1 h1P 1 1 m /1
- ,----R- . 0 ---^-cosу+-^1. (15)
2V1+Q- л/1+Q- e ^1+ Q- e e
Система (15) по своей структуре совпадает с системой, рассмотренной в случае возбуждения бризера в двухосных магнетиках. Анализ системы (15) уравнений в случае h1 = 0 показывает, что растущие решения существуют при амплитуде поля накачки h1 больше некоторого критического
h1k =
4a
Q31
1 +
Q
1
2
/1 + Q -
В отличие от случая слабых ферромагнетиков и ферромагнетиков типа легкая плоскость амплитуда критического поля сильно зависит от фактора качества материала. В предельных случаях большого и малого фактора качества амплитуда критического поля накачки в размерных переменных соответственно равна
Hjk =
4a^,2
Q >> 1,
лМ 0
4а^/2лКи
Результаты численного эксперимента системы (15) приведены на рис. 4, а эволюция бризера показана на рис. 5.
ят
Рис. 4. Растущие решения уравнений главного резонанса в ферромагнетике при а = 0.001, Я(0) = 1,
¥(0) = Р /2 с большим фактором качества 2(1) = 10, И = 0.1, е = 0.01 (кривая 1) и малым фактором качества 2(2) = 0.1, И = 0.1, е = 0.3 (кривая 2).
-100 0 100 Рис. 5. Эволюция бризера в ферромагнетике при а = 0.0003, Я (0) = 1, ¥(0) = р /2
с большим фактором качества 2(1) = 10, И = 0.1, е = 0.01.
Таким образом, авторезонансное параметрическое возбуждение магнитного бризера в одноосном ферромагнетике возможно в переменном внешнем магнитном поле с медленно уменьшающейся со временем частотой. В случае большого фактора качества материала для роста амплитуды необходима большая по амплитуде переменное магнитное поле, чем для случая малого фактора качества. По видимо, такое различие связано с тем, что энергия поля накачки тратится не только на рост амплитуды бризера, но и на прецессию намагниченности.
В заключение следует отметить, что с ростом начальной амплитуды бризера эффективность ав-торезонансного возбуждения возрастает. Поэтому в реальности эффективное возбуждение магнитного бризера достаточно большой амплитуды с помощью параметрической авторезонансной накачки становится наиболее вероятным либо вблизи существующих дефектов образца, на которых имеются готовые магнитные статические неоднородности, либо на магнитных неоднородностях, созданных импульсным пространственно локализованным магнитным полем. Однако возможность возбуждения магнитной неоднородности в случае отсутствия «дефектов» не исключается благодаря наличию теплового шума.
Применительно к проблеме перемагничивания магнетиков полученные аналитические и численные результаты позволяют сделать следующий вывод. Переменные магнитные поля в режиме автофа-
зировки могут быть использованы как для увеличения, так и уменьшения размеров магнитных неоднородностей, а также для зарождения доменов обратной намагниченности.
Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ № 09-0192436-КЭ и ГНТП №3 АН РБ.
ЛИТЕРАТУРА
1. Косевич А. М., Иванов Б. А., Ковалев А. С. Нелинейные волны намагниченности. Динамические и топологические солитоны. Киев: Наукова думка, 1983. 192 с.
2. Львов В. С. Нелинейные спиновые волны. М.: Наука, 1987. 272 с.
3. Гуревич А. Г., Мелков Г. А. Магнитные колебания и волны. М.: Физматлит, 1994. 464 с.
4. Кандаурова Г. С. // Успехи физических наук. 2002. Т. 172. С. 1165-1187.
5. Калиникос Б. А., Ковшиков Н. Г., Славин А. Н. // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1988. Т. 94. С.159-176.
6. Калиникос Б. А., Ковшиков Н. Г., Костылев М. П., Беннер Х. // Письма в журнал экспериментальной и теоретической физики. 2002. Т. 76. С. 310-315.
7. Серга А. А., Костылев М. П., Калиникос Б. А., Демокритов С. О., Хиллебрандс Б., Беннер Х. // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 2006. Т. 129. C. 566-580.
8. Танкеев А. П., Шагалов А. Г., Борич М. А., Смагин В. В. // Физика металлов и металловедение. 2003. Т. 95. С. 10-20.
9. Borich M. A., Kobelev A. V., Smagin V. V., Tankeyev A. P. // J. Phys.: Condens. Matter. 2003. V. 15. P. 8543-8559.
10. Косевич А. М., Кившарь Ю. С. // Физика низких температур. 1982. Т. 8. С. 1270-1284.
11. Kivshar Yu. S., Malomed B. A. // Rev. Mod. Phys. 1989. V. 61. P. 763-915.
12. Кившарь Ю. С., Маломед Б. А. // Физика твердого тела. 1989. Т. 31. №2. С. 209-212.
13. Kivshar Yu. S., Malomed B. A., Fei Z., Vazquez L. // Phys. 31.
Rev. B. 1991. V. 43. P. 1098-1109.
14. Шамсутдинов М. А., Ломакина И. Ю., Назаров В. Н. //
Физика металлов и металловедение. 2005. Т. 100. C. 17-33. 32.
15. Шамсутдинов М. А., Назаров В. Н., Ломакина И. Ю. //
Физика металлов и металловедение. 2006. Т. 101. C. 339- 33.
349.
16. Куделькин Н. Н., Прохоров А. М., Рандошкин В. В., Сига- 34.
чев В. Б., Тимошечкин М. И. // ДАН СССР. 1985. Т. 281.
С. 848-851.
17. Рандошкин В. В., Червоненкис А. Я. Прикладная магнито- 35.
оптика. М.: Энергоатомиздат, 1990. 320 с. 36.
18. Fajans J., Friedland L. // Am. J. Phys. 2001. V. 69. P. 1096-1102.
19. Векслер B. И. // Доклады АН СССР. 1944. Т. 43. С. 346-348. 37.
20. Векслер B. И. // Доклады АН СССР. 1944. Т. 44. С. 393-396.
21. McMillan E. M. // Phys. Rev. 1945. V. 68. P. 143-144.
22. Голованевский К. С. // Физика плазмы. 1985. Т. 11. С. 295-299.
23. Meerson B., Friedland L. // Phys. Rev. A. 1990. V. 41. 38.
P. 5233-5236.
24. Калякин Л. А. // Современная математика и ее приложения. 2003. Т. 5. С. 79-108. 39.
25. Калякин Л. А. // Математические заметки. 2003. Т. 73.
С. 449-452.
26. Kalyakin L. A. // Proc. of the Steklov Inst. of Math. 2003. 40.
Suppl. 1. P. 108-122.
27. Гарифуллин Р. Н. // Доклады РАН. 2004. Т. 398, №3. 41.
С. 306-309.
28. Шамсутдинов М. А., Калякин Л. А. // Сборник трудов 9-го 42.
Международного симпозиума «Фазовые превращения в
твердых растворах и сплавах» 0МА-2006. Сочи, 12-16 сентября 2006 г. Ростов н/Д: Издательство Ростовского го- 43.
сударственного педагогического университета, 2006. Ч. II.
С. 220-222.
29. Шамсутдинов М. А., Калякин Л. А. // Фазовые переходы, 44.
критические и нелинейные явления в конденсированных
средах: Сб. трудов международной конференции, 12-15 сентября 2007 г. Махачкала, 2007. С. 21-23.
30. Гарифуллин Р. Н., Калякин Л. А., Шамсутдинов М. А. // 45.
Журнал вычислительной математики и математической
физики. 2007. Т. 47. С. 1208-1220.
Калякин Л. А., Шамсутдинов М. А., Гарифуллин Р. Н., Салимов Р. К. // Физика металлов и металловедение. 2007. Т. 104. С. 115-128.
Friedland L. Shagalov A. G. // Phys. Rev. E. 2005. V. 71. 036206-1:12.
Friedland L. Shagalov A. G. // Phys. Rev. E. 2006. V 73. 066612-1:8.
Маслов Е. М., Калякин Л. А., Шагалов А. Г. // Теоретическая и математическая физика. 2007. Т. 152. №1. С. 356367.
Dietze H. D., Thomas H. Z. // Physik. 1961. V. 163. P. 523. Хуберт А. Теория доменных стенок в упорядоченных средах. М.: Мир, 1977. 308 с.
Шамсутдинов М. А., Ломакина И. Ю., Назаров В. Н., Харисов А. Т., Шамсутдинов Д. М. Ферро- и антиферромаг-нитодинамика. Нелинейные колебания, волны и солитоны. Уфа: Гилем, 2007. 368 с.
Заславский Г. М., Сагдеев Р. З. Введение в нелинейную физику. От маятника до турбулентности и хаоса. М.: Наука, 1977. 368 с.
Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. 504 с.
Matthews H., Morgenthaler F. R. // Phys. Rev. Lett. 1964. V. 13. P. 614-616.
Maugin G. A. and Miled A. // Phys. Rev. B. 1986. V. 33. P. 4830-4842.
Kharisov A. T., Shamsutdinov М. A., Kalyakin L. A. // Moscow International Symposium on Magnetism. Book of abstracts. M.: 2008. P. 120.
Иванов Б. А., Косевич А. М., Бабич И. М. // Письма в журнал экспериментальной и теоретической физики. 1979. Т.
29. С. 777-780.
Назаров В. Н., Шамсутдинов М. А., Калякин Л. А. // Сб. трудов XXI Международной конференции НМММ (28 июня - 4 июля 2009 г., Москва). М.: Физический факультет МГУ им. М. В. Ломоносова, 2009. С. 1000-1002. Назаров В. Н., Шамсутдинов М. А., Калякин Л. А. // В сб. Структурные и динамические эффекты в упорядоченных средах. Уфа: РИЦ БашГУ, 2009. С. 217-222.
Поступила в редакцию 06.10.2009 г.
