Моделирование процесса изменения локальной намагниченности под воздействием внешнего поля и температуры Текст научной статьи по специальности «Физика»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

УДК 517.539.3

С. А. МАЯКОВА

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ИЗМЕНЕНИЯ ЛОКАЛЬНОЙ НАМАГНИЧЕННОСТИ ПОД ВОЗДЕЙСТВИЕМ ВНЕШНЕГО ПОЛЯ И ТЕМПЕРАТУРЫ

Обсуждается моделирование процессов, протекающих в ферромагнитном веществе под воздействием переменных внешних факторов: температуры и внешнего магнитного поля. Рассматривается численное решение уравнений динамики вектора намагниченности для магнитной системы, описываемой модельным гамильтонианом Л. Проводятся исследования исходных уравнений с точки зрения теории хаотизации. Не прибегая к решению уравнений статистической физики, дается объяснение возникновения таких эффектов магнетизма, как зарождение магнитных доменов, критическое поведение намагниченности в области фазовых переходов. Теория хаотизации; уравнения Ландау-Лифшица; затягивание потери устойчивости

В классической теории магнетизма для исследования отклика магнитной системы на воздействие внешнего магнитного поля и температурного отжига применяются либо методы теории фазовых переходов, основанные на разложении термодинамического потенциала в ряд по четным степеням параметра порядка [1], либо прямое решение уравнений динамики магнитного момента, предложенных Л. Д. Ландау еще в 30-х гг. XX в. [2]. В последние годы в связи с развитием высокопроизводительных ЭВМ большую популярность получили также методы численного моделирования поведения магнитных систем на основе моделей, предлагаемых статистической физикой [3-4]. Каждый из этих подходов имеет как свои преимущества, так и существенные недостатки.

В частности, теория фазовых переходов удобна тем, что в результате ее применения можно получить представление о процессах, протекающих в магнетике в асимптотическом приближении, и плоха тем, что в большинстве случаев при разложении термодинамического потенциала в ряд не учитываются слагаемые, вносящие существенную нелинейность, что приводит к несоответствию теоретических и экспериментальных данных.

Непосредственное решение уравнений Ландау довольно трудоемкий процесс, поскольку эти уравнения содержат помимо временной производной нелинейные слагаемые, отражающие неоднородный обмен рассма-

триваемого иона с окружающими его соседними частицами.

С другой стороны, для того, чтобы адекватно описать процессы намагничивания и размагничивания какого-либо ферромагнитного материала с помощью численных статистических методов, необходимо рассматривать магнитную систему, состоящую из нескольких тысяч частиц и проводить статистическое усреднение по огромному количеству испытаний. Современные высокопроизводительные вычислительные системы дают возможность решать задачи подобного класса. Поэтому применение теории хаотизации к таким задачам становится все более актуальным, поскольку позволяет составить представление

о качественном поведении решения нелинейной системы дифференциальных уравнений, еще не решая самой системы.

1. ОСНОВНЫЕ ВИДЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ «ОБМЕННОГО» ФЕРРОМАГНЕТИКА

Рассмотрим ферромагнетик конечной формы, находящийся в тепловом равновесии с окружающей средой. Если задано распределение вектора локальной намагниченности, определяемое полярным и азимутальным углами спина

= (соз(9, (9 зтф, (9 созф) (см. рис. 1),

то гамильтониан рассматриваемой ферромагнитной системы имеет смысл плотности энергии

-- — 1 “I” ^маги.уир 1 ^ви.иоля;

(1.1)

где каждое слагаемое суммы является функцией углов .

Рис. 1

Рассмотрим подробнее каждое слагаемое (1.1):

1. ш0б — плотность энергии обмена. В случае, когда задано распределение векторов , плотность энергии обмена выражается формулой [5]:

(1.2)

где .4 = П ^ ^ , ,1 — обменный интеграл, 5 — а

спиновое число, а — период кристаллической решетки, в случае простой кубиче-

ской, о.ц.к. и г.ц.к. решеток соответственно.

2. — плотность энергии анизотропии, конкретный вид которой определяется кристаллографической структурой ферромагнетика. Функция от а(г) и температуры Т (см. табл. 1).

3. — плотность магнитоупругой

энергии, возникающей при деформации кристалла. Зависит от компонентов тензора деформации , , и температу-

ры Т (см. табл. 1).

4. — плотность энергии взаимо-

действия с внешним магнитным полем. Если направление внешнего магнитного поля Н задано единичным вектором /3 (рис. 1), то .

Рассмотрев основные виды взаимодействий, перейдем к уравнениям движения магнитного момента под воздействием температуры и внешнего поля.

2. УРАВНЕНИЯ ЛАНДАУЛИФШИЦА

Уравнение движения магнитного момента М «обменного» ферромагнетика под воздействием внешнего магнитного поля было предложено Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшицем в 1935 г. [2]. Согласно теории Ландау, на каждый атом ферромагнитного материала действует эффективное поле , связанное со свободной энергией соотношением

(2.1)

при этом скорость изменения магнитного момента задается следующим уравнением:

“ = (2-2) где , — заряд и масса электрона, —

гиромагнитное отношение, с — скорость света в вакууме.

Явный вид эффективного поля находится варьированием полной внутренней энергии тела

ТТ - ° ( \

-И-эф - У]У[ °:;1'П .^. .^. ^ви.иоля) "Ь

..'.дХг ОМ/дХг ’

Т аблица1

Плотности магнитоупругой энергии и энергии анизотропии для одноосного и кубического кристаллов

Одноосный кристалл Кубический кристалл

ша = А'ю: и-’мцгн.унр = В\ (еи + £вв)(-1'; + В‘2б • + + Вх(бхх(Х^ + £ Ц Ц (Ху + + + В.1 (еи~ О и о ~+ех~ (Ух а ; ) й-’ц = А. 1 (о~о~ 1 ^ * 7( 0 7 1 0 7 0 7 ) й^магн-уир = в 1{£х:х:Ох ""I" -- ц II (17, + £ ; ; С-У 7 ) +В->(ех1,(Гх(Г1, +е,1га„аг +ехгОхОг)

К\ — первая константа магнитной анизотропии

В: (г = 1, 2.3,4) — константы магнитоупругой связи.

Здесь шот(М) — плотность свободной энергии однородно намагниченного тела, учитывающая лишь обменные взаимодействия и потому не зависящая от направления М.

Причем, поскольку производная

М

дшаА11(М) ~дМ

= ш,

(М)— при подстановке в (2.2) дает

ноль, то слагаемое ш0Дн может быть опущено. 1 ШШ

плотность допол-

нительной обменной энергии тела, связанной с медленным изменением направления вектора вдоль неоднородно намагниченного тела. В одноосных кристаллах симметричный тензор второго порядка имеет компоненты Цхх = Цуу = Ц\, Цгг = Ц2 (ось ;г — ось симметрии кристалла); в кубических кристаллах №гк = цйгк. Порядок величины // оценивается

из условия

Тг

, где а — период решетки,

а,М2 ’

Тс — температура Кюри.

Рассмотрим кубический ферромагнетик. Положим М = 1, тогда М = а(г). Уравнение (2.2), записанное в сферических координатах для полярного и азимутального углов вектора намагниченности и при внешнем магнитном поле , направленном противоположно оси , имеет вид

• адв

81ПР— = ОТ

9\е\

2 тс

• о а,двд’Ф X < 8111 20 I — ——

их их

д2ф д2ф

' ]_

-Кі 8ІІ14 вн’т4’ф+ [X X

двдф двдф\ . 2л ТГ^Г + -^1 + 8111 в X иу иу

д2ф

дх2 ду2 дг2

дг дг Н 8ІІ1 в 8ІІ1 Ф

(2.3)

от 2 тс

К] ( - 8ІП40 + кіп3 в соявх

.2пЛ \(&2ф д2ф д2ф\ 1 х™ 2,/,)+'‘{(чгь?+ + 2 х

—(Ш)г+(1)2+ШУ2)}+

+Нсозвсозф . (2.4)

Заметим, что наличие слагаемых, зависящих от производных по , , вносит в уравнения (2.3-2.4) существенную нелинейность, что сильно затрудняет процедуру численного решения этой системы. С другой стороны, производные углов , по координатам

будут отличны от нуля только в том случае, когда распределение углов в начальный момент времени неоднородно. Неоднородность начального распределения может возникнуть за счет существования дефектов кристаллической структуры магнетика. Поскольку энергия взаимодействия спинов складывается из энергии однородного обмена, энергии анизотропии, энергии магнитоупругих связей и уравновешивающей ее упругой энергии [5] и — Сс?одн Н- СОм&т.упр

+ Ша +

, то эффективное поле задается следующим выражением ( не зависит от намаг-

и тт *1 (^маги.уир + ^а) .

ниченности М): Нзск = —а---------т—5----------Ь

аМ

.

Исходя из вышесказанного, можно сделать следующий вывод: если в рассматриваемой модели не учитывать неоднородный обмен, а учесть энергию магнитоупругих связей, то уравнения динамики намагниченности имеют следующий вид:

дф д нтв~т = о0^Ша^'в'Т^+

+ ^магн.упр('0; в,Т)) + Н СОБ в СОБ ф, (2.5)

. пдв д ,

«т 0— = {ша{ф,в,Т)+

ш

маш.уир

(ф, в,Т)) + Нятввтф. (2.6)

Напомним, что константы анизотропии и магнитоупругой связи, входящие в суммарную плотность , являются темпе-

ратурозависимыми параметрами, а величина внешнего магнитного поля может изменяться со временем. Поэтому в полной постановке задачи должны присутствовать уравнения, выражающие зависимость температуры и поля от времени.

Рассмотрим случай, когда внешнее поле зафиксировано, а температурный режим меняется со временем. Результаты эксперимента показывают [5] , что смена ориентации спинов за счет температурного или полевого воздействия происходит не мгновенно, а скачками, при достижении определенного уровня энергии. Этот эффект обусловлен смещением доменных стенок и носит название Барк-гаузеновского скачка. Соответственно, смена температуры окружающей среды происходит в так называемом «медленном времени». Если ширина временной ступеньки, т. е. времени, необходимого для достижения нужного

уровня энергии для переворота группы спинов, равна 1/е, где е — малый параметр, меньший частоты магнитного резонанса, то температура выражается зависимостью

, — скачок температуры, происходя-

щий каждые 1/е с (рис. 2).

Рис. 2. Смена режима температуры окружающей среды

Следовательно, для того чтобы получить поля локальной намагниченности при некоторой фиксированной Тср, необходимо решить уравнения (2.5)-(2.6) на временном отрезке [т/е, (т + 1)/е], где Т и const = Тср. Если величина скачка составляет несколько градусов, то есть смена режима происходит плавно, то можно считать, что изменения температуры во времени происходит непрерывно

дТ

= еД Т.

dt

(2.7)

Рис. 3. Смена режима магнитного поля

Перейдем теперь к случаю, когда температура остается неизменной, а для внешнего магнитного поля введена временная зависимость циклического характера, аналогичная указанной на рис. 3. Изменение внешнего поля со временем задается соотношением:

дН

~di

^isHrjiav г г Зс ос 1

/С с . г£(2?2^

2 £н„

Соответственно, динамика спинов при пе-ремагничивании за счет воздействия периодически изменяющегося внешнего магнитного поля определяется системой (2.5)-(2.6), (2.8).

Поиск стационарных решений задачи (2.5)-(2.6), (2.7) (или (2.5)-(2.6), (2.8))

эквивалентен задаче поиска минимума функционала ,

но, как уже было сказано, преимущество постановки задачи вида (2.5)-(2.6) заключается в том, что для ее исследования можно воспользоваться методами нелинейной динамики: получить зоны устойчивости решения, точки бифуркации решения, а также объяснить возникновение гистерезиса, т. е. получить некоторые сведения о решении, еще не решая самой системы.

Далее, для того чтобы показать адекватность предложенного подхода, сравним результаты, получаемые при численной минимизации гамильтониана , с исследованиями, проводимыми методами теории хаотизации.

3. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННЫХ РАСЧЕТОВ

При построении модели ферромагнетика с деформированной кристаллической структурой, будем опираться на результаты работ [6]-[7], в которых подробно рассматривалось влияние линейных дефектов структуры на изменение локальных полей намагниченности и зарождение доменов. Повторение результатов, изложенных авторами указанных работ, поможет нам сделать следующий шаг в исследовании рассматриваемой магнитной системы, а именно: с точки зрения теории ха-отизации объяснить магнитные явления, происходящие как при низких температурах, так и вблизи точки фазового перехода.

Рассмотрим ферромагнетик, содержащий источник внутренних напряжений. Наиболее простым примером такого источника является прямолинейная деформация. Пусть краевая дислокация параллельна оси с вектором Бюргерса Ь| |оу (рис. 4).

(2.8)

Рис. 4. Строение кристалла с дислокацией

При этом отличны от нуля только Єууі єzz■, єуг = єгу— компоненты дислокационной деформации [6]

£уу(У: z) — £zz{y,z) =

£yz(v,z) =

bz [2y2 + (1 - 2v){y2 + z2)] 4тг(1 — і') (у2 + z2)2 bz [(1 + 2i/)у2 — (1 — 2v)z2]

4-7t(1 — v)(y2 + z2)2 by(y2

4-7t(1 — I')(?/2 + z2)2 '

где v — коэффициент Пуассона, для железа

м.

В качестве осей легкого намагничивания двухосного кристалла с кубической решеткой выберем кристаллографические оси [010] и [001]. Пусть константа анизотропии двухосного ферромагнетика , тогда ось

соответствует направлению [010], а ось oz — [001].

При указанных ограничениях =0, а угол .

Положим , тогда с уче-

том выражений для плотности энергии анизотропии и энергии магнитоупругих связей, приведенных в табл. 1, для двухосного ферромагнетика получим

0J-2 = Di(£yy Sill2 ф + £zz COS2 ф) +

1 К

+ -B2£yz §т2ф + —р sin2 2ф. (3.1)

Значений, при котором дш2/дф = 0, найдем из уравнения

(3.2)

Это необходимое условие минимума Ш2-Достаточное условие, заключающееся в положительности второй производной в

точке экстремума, будем проверять непосредственно при численном моделировании полей локальной намагниченности.

При вычислении полей распределения локальной намагниченности, соответствующих минимуму модельного гамильтониана будем опираться на две основные модели:

• модель Изинга с гамильтонианом

О = — As.jsj

<i-3>

.у,. Z;)AyjA-:;.

где — спиновое число, проек-

ция вектора локальной намагниченности на направление оси ;

• модель Гейзенберга с гамильтонианом (1.1).

В модели Изинга для построения конфигурации спинов , минимизирующих , используется процедура бинарного поиска с предварительным расчетом параметров из уравнения (3.2). В модели Гейзенберга для поиска минимума применяется метод покоординатного спуска.

При расчетах будем использовать следующие нормированные на К\ = 4,2 • 104 Дж/м3 значения констант магнитоупругой связи и постоянной анизотропии:

= 173, К\ = 1. Эти данные соответствуют реальным значениям параметров, полученным для железа при температуре = 2930К [5], [1].

Рис. 5. Поля намагниченности, рассчитанные на основе модели Гейзенберга (участок модели 64х64)

Рис

6. Области бифуркаций решения системы (2.5)-(2.6)

На рис. 5 представлены результаты численного моделирования локальных магнитных полей в двухосном кубическом ферромагнетике на основе модели Гейзенберга. Хорошо видно, что на расстоянии порядка 67 межатомных расстояний от центра дислокации наблюдается переориентация локальных магнитных моментов.

Вернемся к уравнениям динамики. Области переориентации векторов локальной намагниченности, полученные путем численного моделирования, можно оценить, найдя зоны неустойчивости решения системы (2.5)-

(2.6) в окрестности стационарного решения в предположении, что изменения температуры незначительны [8]. Эти зоны определяются уравнением

■2 _ / 0'2П(у,г; фо,во)

Х ' дфдв с/20(у, г; ф0, 00) д2П(у, г; ф0, во)

дф2

дв2

Щу, г)

где фо, во = 7т/2‘— стационарное реше-

ние (2.5)-(2.6) (значения углов, минимизирующие суммарную плотность ).

• Если Л > 0, то Ах = —Л-2 = у/В., (Фо,0о) - седло,

• если Л < 0, то Ах = —А‘2 = гуЩ, (фо,Оо) — центр,

• если Я = 0, то Ах = А2 = 0 — необходимое условие бифуркации,

Достаточным условием существования бифуркации решения является выполнение в рассматриваемой точке пространства одного из двух условий (3.3) или (3.4):

>0,

длП(х, у, г; ф°, в0) дф2дв

длП(х, у, г; ф°, в0) длП(х, у, г; ф°, в0) дфдв2 дф2дв длП(х, у, г; ф°, в0)

дв2

' дА0,(х, у, г; ф°, 9°)

(3.3)

дф'л

<0,

длП(х, у, г; ф°, в0) длП(х, у, г; ф°, в0)

дф2дв длП(х, у, г; ф°, в°) дфдв2

дфл

С 0.

На рис. 6 отмечены бифуркационные значения параметров , полученные при исследовании системы (2.5)-(2.6) при € [0, 0,1]. Так же как и в результате численных расчетов, мы получили, что в начале координат существует область, решение в которой меняет свое качественное поведение при изменении параметров . То есть даже при достаточно низких температурах в этой области имеет место переориентация векторов локальной намагниченности (сравним рис. 5, 6).

Далее будем действовать по следующей схеме: выберем произвольные точки и , являющиеся представителями двух

множеств — множества точек с седловой неустойчивостью и множества точек типа «центр», и построим в этих точках численные решения системы (2.5)-(2.6) при изменяющейся согласно уравнению (2.7) температуре. В качестве начальных условий выберем , , и ,

, для первой и второй точки соответственно.

При изменении температуры в диапазоне от до и отсутствии внешнего маг-

нитного поля решение системы (2.5)-(2.6) со временем стягивается в точку, устремляясь к некоторому фиксированному значению углов

и . Это справедливо для всех трех рассматриваемых точек пространства. Следовательно, низкая температура, подобно внешнему полю, является сдерживающим фактором, который препятствует разориентирова-нию локальных магнитных моментов атомов. Тот же результат получается и при численном расчете полей локальной намагниченности на основе модели Изинга: при многочисленных запусках расчетной программы распределение спинов вблизи дислокации всегда имеет один и тот же вид (рис. 7, а). Т. е. все спины, за исключением небольшого количества находящихся в непосредственной близи дислокации, ориентированы в одном направлении (+ и - на графике обозначают два противоположных направления спина).

При изменении температуры в диапазоне от до и нулевом поле решение си-

стемы (2.5)-(2.6) для точек типа «седло» и «центр» стремится со временем к некоторому предельному циклу. То есть существуют ограничения на угол разориентировки между спинами, что должно приводить к образованию отдельных магнитных доменов и падению суммарной намагниченности всей системы атомов (рис. 7, б ).

(3.4)

Рис. 7

При температурах, начиная с Тс и выше, происходит потеря устойчивости решений системы (2.5)-(2.6), дополненной уравнением, описывающими изменение температуры. Это явление характерно для всех точек рассматриваемой пространственной области. То есть, начиная с температуры Кюри, не существует никакого ограничения на значения, принимаемые углами ф и в, задающими направление векторов локальной намагниченности. Соответственно, наступает ситуация, при которой векторы ориенти-

рованы хаотично (рис. 7, в), а суммарная намагниченность равна нулю (рис. 7, г).

Рассмотрим теперь систему (2.5)-(2.6) при постоянной температуре и изменяющемся согласно (2.8) внешнем поле . При изменении параметра , решение системы (2.5)-

(2.6) теряет устойчивость с прохождением пары собственных значений через мнимую ось. Но, поскольку параметр является «медленным», то есть скорость его изменения пропорциональна малому параметру , имеет место затягивание потери устойчивости. Яв-

ление затягивания состоит в том, что фактический уход фазовой точки от потерявшего устойчивость положения равновесия происходит не сразу после потери устойчивости, а спустя некоторое время (ос 1/ \/е \1пе\), за которое параметр успевает измениться на конечную величину. Потеря устойчивости происходит в момент смены знака Н. Пусть смена знака скорости изменения поля происходит при некотором . Тогда в момент времени , решение системы (2.5)-(2.6) сорвется с устойчивого предельного цикла и за промежуток времени перейдет в другое устойчивое состояние, характеризуемое новым предельным циклом (рис. 8). Этот процесс соответствует явлению магнитного гистерезиса [9].

Рис. 8. Явление гистерезиса, наблюдаемое в системе (2.5)-(2.6), (2.8)

ВЫВОДЫ

Схема исследований дифференциальных уравнений вида (2.5)-(2.6), построенная по принципу выявления областей устойчивости и неустойчивости решения, и следующее за этим решение системы для типичных представителей указанных областей, позволяют наблюдать те же эффекты, что и непосредственно численное моделирование изменения намагниченности. Плюсом данной схемы является то, что она существенно снижает объем вычислений.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Белов, К. П. Магнитные превращения / К. П. Белов. М.: Физматлит, 1959. 260 с.

2. Лифшиц, Е. М. Статистическая физика. Теория конденсированного состояния / Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский. М.: Наука, 1978. 449 с.

3. Ибаев, Ж. Г. Исследование анизотропной модели Изинга с конкурирующими взаимодействиями методами Монте-Карло / Ж. Г. Ибаев, И. К. Камилов, А. К. Муртазаев,

A. В. Шевченко // Новые магнитные материалы микроэлектроники : сб. тр. ХХ междунар. шк.-сем. М., 2006. С. 622-623.

4. Камилов, И. К. Исследование фрустирован-ной модели Гейзенберга методами Монте-Карло / И. К. Камилов, А. К. Муртазаев, М. К. Рамазанов // Новые магнитные материалы микроэлектроники : сб. тр. ХХ междунар. шк.-сем. М., 2006. С. 629-630.

5. Тикадзуми, С. Физика ферромагнетизма. Магнитные характеристики и практическое применение : пер. с яп. / С. Тикадзуми; под ред. Р. В. Писарева. М.: Мир, 1987. 419 с.

6. Диченко, А. Б. Локальное изменение констант магнитной анизотропии, обусловленное линейными дефектами / А. Б. Диченко,

B. В. Николаев, А. П. Танкеев // ФММ. 1978. Т. 45, № 5. С. 958-967.

7. Диченко, А. Б. О распределении осей легкого намагничивания вблизи краевой дислокации в кубическом ферромагнетике / А. Б. Диченко, В. В. Николаев // ФММ. 1979. Т. 48, №6.

C.1173-1179.

8. Емченко, О. В. Устойчивость и бифуркации в динамических системах, описывающих ферромагнетики с упругопластическими деформациями / О. В. Емченко, С. А. Маякова // Вестник УГАТУ. 2006. Т. 7, № 2 (15). С. 44-50.

9. Арнольд, В. И. Теория бифуркаций / В. И. Арнольд, В. С. Афраймович, Ю. С. Илья-шенко, Л. П. Шильников. М. : ВИНИТИ, 1986.218 с.

ОБ АВТОРЕ

Маякова Светлана Алексеевна, асс. каф. высокопроиз-водит. выч. технол. и систем. Дипл. мат., сист. программист (УГАТУ, 2004). Иссл. в обл. физики магнетизма, мат. моделирования.