CC BY
13спектр нелинейных магнитоупругих колебании в пластине (011) с комбинированной анизотропией
Вахитов Р.М. (VakhitovRM@bsu.bashedu.ru) (1), Хусаинова В.Р.(2)
(1)Башкирский государственный университет, Россия, 450074 Уфа, ул. Фрунзе, 32 (2)Башкирский государственный педагогический университет Россия, 450000 Уфа, ул. Октябрьской революции, 3А
Известно, что вклад магнитоупругого (МУ) взаимодействия, которое играет заметную роль в некоторых магнитных материалах (например, в кристаллах ферритов-гранатов), может существенно возрасти, если магнетик находится вблизи спин-переориентационного фазового перехода [1,2]. В состоянии, когда "жесткость" магнитной подсистемы уменьшается, любые слабые внешние возмущения могут привести к большим отклонениям вектора намагниченности от равновесного состояния, что позволяет целенаправленно возбуждать с помощью переменных упругих возмущений нелинейные МУ волны (НМУВ). Распространение НМУВ достаточно хорошо изучено в некоторых легкоплоскостных магнетиках (см. напр. [3,4]) и практически не исследовано в кристаллах с комбинированной анизотропией, к которым относятся и ферриты-гранаты [5]. В них, как правило, имеет место два типа анизотропии различной симметрии: наведенная одноосная (НОА) и естественная кубическая (КА). Такое сочетание анизотропий существенно влияет на ориентацион-ную фазовую диаграмму магнетиков [6,7], которая в зависимости от результирующей симметрии взаимного расположения "легких" осей НОА и КА имеет характерные особенности, сказывающиеся на его МУ динамике [8,9].
В работе рассмотрено распространение НМУВ в кристалле-пластине (011 ), когда легкая ось НОА совпадает с [011]. Такая постановка обусловлена тем, что аналогичные исследования нелинейной МУ динамики были проведены для легкоплоскостных магнетиков с тетрагональной симметрией (к ним относится и пластина (001) с комбинированной анизотропией) в [3,4], из которых следует, что в них возможны следующие типы стационарных НМУВ: уединенные, спиральные и периодические нелинейные волны, а также волны с неравномерной прецессией намагниченности. В связи со сказанным представляет интерес изучение влияния симметрии и характера нелинейности потенциала взаимодействия на рассмотренные типы НМУВ. В пластине (011), которая описывается группой симметрии D2h, НОА разбивается на две компоненты: перпендикулярную (с константой Ки) и ромбическую (Кр). Плотность энергии такого магнетика с учетом первой (Kj) и второй (К2) констант КА запишем в виде:
*=
\2
+8-Я2p + Ku sin2 -+Kp sin2 -sin2 Ф+K1 [sin2-cos29(cos2-+sin2-sin2ф)+
+4
4(cos2 -—sin2 -sin2 ф) +4 K2sin2 W ф(^ «-sin2 esin2 ф) + Btlu ^ sin2 -cos2 ф+^и«+uyy )x
x(cos2 -+sin2 -sin2 ф)+2му2 sin-sinфcos—}+B2 [2sin—cosф(u,Iy sin-sinф+u,(z cos^)+1(Myy —uzz )
x(sin2 -^rn2 ф—cos2 -)]+ )CnuXx + 4(c11 +C12 +2C44 )(u^ +ulz )(C11—C12 )2yz + 2C44 (uXy +ulz )+
+C12 uxx ( yy +uzz +C12 —2C44 )uyyu zz (1)
где А , Bi, С^ - константы обменного взаимодействия, МУ связи и упругости; ф, ф - полярный и азимутальные углы вектора намагниченности М; и^ - тензор деформации; И^р - размагничивающее поле, определяемое из уравнений магнитостатики:
Шу (И ар + 4пМ) = 0, гаг И ар =0 . (2)
МУ динамика рассматриваемого магнетика описывается уравнениями движения для векторов намагниченности М (уравнения Ландау - Лифшица) и смещения и :
M = -у
SE
M х-
Р« = , (3)
ои
8M
которое необходимо решать с учетом соотношений (1) и (2). Здесь у - гиромагнитное отношение, р - плотность кристалла. Диссипация и явления, связанные с поверхностными эффектами, здесь
не учитываются, а также предполагается, что (M)2 = MS = const, где Ms - намагниченность насыщения.
Рассмотрим стационарные МУ волны, распространяющиеся вдоль оси ÜZ¡[011]. Тогда d = ф = ф(^), и = и(^), ^ = z - vt, v-скорость МУ волны. В этом случае уравнения упругости после интегрирования примут вид:
u X = в2 sin 2d cos ф, u = в1 sin 2d sin ф, u'z = в3 sin 2d sin 2ф + в4 cos 2d, (4)
где в! = Bj4C2(v V s 2 -1) в2 = Bj2C44(vVs12-l), вз = (( - В2)18С^ У^), в 4=(g1+ B2 )) 8Ct (v У S32 -l),Q = (( + C12+2C44)), C2 = Си-C12, si =yfCjP, s2 = -\JC2/2p, s3 = yjC1¡2p, s1,s2,s3 - скорости поперечного и продольного звука. Соответственно, уравнения для намагниченности преобразуются к следующему виду:
vMqM^2 sindd'=-2A^'sin2 d)'+Kp sin2 dsin2ф+J Kx {4sin4 d(sin4ф+ 2sin3 фcosф)-
8
2 1 63 2 2 1 22
-3sin 2dsin2ф}+4K2{2sin dsin фcosф(2cos ф-sin ф)--^sin 2d(cos dsin2ф-
--M2ф,sind=-2A(d'+1 sin2d(ф/)2)+((u -2nMs2 )sin2d+ K sin2 dcosф+- K1 {4sin3 dcosdx
sin2 dsin4ф)}+2( -B2 )(( sin2 dsin2 ф+в4 cos2 d)sin2 dsin2ф+1 ((e¡ -B2в2 )sin2 2dsin2ф ,
Trn-lMV , 2
x(sin2 2ф+sin4 ф)+sin4d(2cos2 ф-sin2 ф) - 4cos3 dsin d}+2 ( sin2 dsin2 ф+в4 cos2 d)x
<{( -B2 )sin2 ф-( + B2 )in2d+2((sin2 ф+B2в2 cos2 ф)sin4d. (5)
Считая, что LH>> K , K1, K2, B1, B2, C1, C2, C44, где K* = Ku -2nM2 <0 (случай легкоплоско-
п
стного магнетика), и принимая во внимание, что ф = —— %, X << 1, уравнения Ландау-Лифшица,
записанные в угловых переменных ф и ф, после несложных преобразований упростятся и сведутся к следующим:
М2V
2 A
i
V У
cos d~X =--ф, (6)
«0 Ku
ф'' - D1 sin 2ф - D2 sin 4ф + D3 sin 6ф = 0 , (7)
где Д =КР - Кх/ 8 - К 2/32+(/?з + 2^ ) - В2 )/4+(/ - В2 Р2 )/4, =[3КХ + 3К^2 - в 3 В - В 2 )]/ 8, В3 = 3К2/32, = уМэ ^ = 2ю0К^! - некоторая характерная скорость. Из соотношений (4) и (6) видно, что в принятом приближении основной вклад в упругие колебания рассматриваемой системы дает компонента и'2, которая имеет отличное от нуля среднее значение.
Уравнение (7) представляет собой тройное уравнение sin-Гордона, имеющее нетривиальные решения [10], и является частным случаем нелинейной консервативной динамической системы [11]. Его первый интеграл, записанный в форме закона сохранения энергии, имеет вид:
А
г 2 л 1-^
я
V У
/ф')2- А 8Ш 2ф-1 В
2 8Ш 2 2ф + 3В3 8Ш 2 3ф = С .
(8)
на
Стационарными точками этого уравнения являются точки: фх = 0, ф2 = п/2
ф3 = 12 ягс^/в2 +д/В22 + 4В3 (/), + В3 (4В3), ф4 = ]/2 arccos/D2 - д/В22 + 4В3 (/), + В3(4В3). Им
фазовом портрете уравнения (8) в зависимости от значения константы интегрирования С и соотношений между скоростями V и э, а также между параметрами В В2, соответствуют точки типа "центр" или "седло". Этими же соотношениями констант будут определятся и решения уравнений
(4), (6), (7).
Для определенности положим, что v<s, и рассмотрим возможные типы НМУВ в пластине (011):
1. В3<В2<0, В{>3В3+2В2. Типичный фазовый портрет уравнения (8), соответствующий этому случаю (Ву=0.2, В2=-0.9, В3=-1.3), представлен на рис.1. Различным траекториям отвечают разные значения константы интегрирования С. В частности при С=-0.001 решения представляют нелинейные периодические волны (рис.2 кривые 1, 2), с вектором намагниченности, колеблющимся около положения равновесия, которое определяется углами: ф0=-240 и 240, а для случая С=0.233 -ф0=00 и 900 (рис.2 кривые 3, 4, 5).
4.0 и ф
2.0-
0.0-
-2.0-
-4.0
I I I I [
20.0 0.0 20.0 40.0 60.0 80.0
Рис. 1. Фазовый портрет тройного sin-Гордона Рис. 2. График нелинейных периодических волн для для случая В3<В2<0, В1>3В3+2В2 случая В3<В2<0, В1>3В3+2В2
Причем решения, отвечающие кривым 1, 2, 4, описывают спиральные НМУВ, которые характеризуются наличием постоянных составляющих М2 и и'2, а решения, отвечающие кривым 3, 5 - нелинейные периодические волны с наличием в них "перетяжек". Сепаратрисным траекториям (петли с самопересечением), которым соответствуют значения: С=0 (рис. 3), отвечают уединенные волны типа солитонов, а С=0,234 (рис.4 и 5) - типа кинков [10] или движущихся доменных границ (ДГ), которые могут иметь "перетяжку" (рис. 5).
0.8 -|
0.4-
0.0- -
-0.4-
-0.8
2.4 -|
2.0-
1.6-
1.2-
~~1 I 1 I 1 I 1 I
8.0 -4.0 0.0 4.0 8.0
1.0-,
0.5-
0.0-
-0.5-
0.8Н-1-1-1-1-1-1-1—I % -1.0
0.0 2.0 4.0 6.0 8.0
I I I I I I I I I I
0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0
Рис. 3. Солитонное решение трой-
Рис. 5. График движущейся ДГ с
ного уравнения 8Ш-Гордона для Рис. 4. График движущейся ДГ для «перетяжкой» для случая В3<В2<0,
случая В3<В2<0, В1>3В3+2В2
случая В3<В2<0, В1>3В3+2В2
В1>ЗВз+2В2
Известно, что в статическом случае "перетяжка" в структуре ДГ (наличие трех точек перегиба на графике функции ф = ф(%)) возникает, если в плоскости вращения спинов имеется метастабильная ось [12]. В частности на ориентационной фазовой диаграмме пластины (011) для рассматриваемого случая [13] этой оси соответствует состояние с вектором М ¡[001]. Появление "перетяжки" с дальнейшим ее разрастанием приводит к тому, что границы становятся неустойчивыми относительно ее разбиения на две ДГ с меньшой амплитудой вектора М , в частности 1 800 ДГ с "перетяжкой" в ферромагнетике с тетрагональной симметрией могут распадаться на две 900 [14].
1. Для случая Ву>0, В3<0, В{>3В3+2В2 (Ву=0.4, В2=0.5, В3=-1.7) фазовый портрет представлен на рис.6. На рис.7 также проиллюстрированы решения, отвечающие пространственно-периодическим волнам, которые как и в предыдущем случае могут быть спирального типа (кривые 1, 3) или типа нелинейных периодических волн (кривые 2, 4, 5).
4.0 п
2.0-
0.0-
-2.0-
-4.0
>3 2
1
т
-20.0 0.0
I 1 I 1 I 1 I
20.0 40.0 60.0 80.0
Рис. 6. Фазовый портрет тройного уравнения 8Ш-Гордона для случая Д>0, В3<0, В1>3В3+2В2
Рис. 7. График нелинейных периодических волн для случая Д>0, В3<0, В1>3В3+2В2
ф
ф
ф
ф
Непериодическим ограниченным решениям (локализованные решения уравнения (8), случай С=-0.487) отвечают сепаратрисы, соответствующие солитонам (рис.8, кривые 1, 2) и ДГ без "перетяжек" (рис.8 кривая 3), а для случая С=0 - движущееся ДГ с двумя "перетяжками" (рис.9). Появление двух "перетяжек" в структуре ДГ может привести к ее разбиению на три типа стенок.
1. При В2>0, В2>В3 (Ву=0.3, В2=1.8, В3=0.1) решения уравнения (8) аналогичны решениям двойного уравнения sin-Гордона для случая 2В2>В{>0 (приложение).
3.0-,
2.0-
1.0
0.0
4.0-,
3.0-
2.0-
1.0
0.0
-4.0
0.0
4.0
8.0
1 1 I 1 I 1 [ ■
0.0 2.0 4.0 6.0 8.0
Рис. 8. Солитоноподобное решение тройного уравне- Рис 9 График движущейся ДТ с двумя «шретяжка-ния sin-Гордона для случая Д>0, В3<0, В1>3В3+2В2 ми» Для слУчая В1>0, В3<0, А>3В3+2В2
Ф
Ф
1. При В1>В3>0, В1>3В3+2В2 (В^1.1, В2=-0.1, В3=0.2) решения также соответствуют решениям двойного уравнения sin-Гордона для случая В2<0, В1>-2В2.
В случае v>s решения уравнения (8) будут аналогичны, только при других соотношениях параметров В1, В2, В3. В частности при В3>В2>0, В1<3В3+2В2 решения совпадают с решениями случая 1, при Б1<0, В3>0, В1<3В3+2В2 - 2, при В2<0 - 3, при В3<В1<0, В1<3В3+2В2 - 4.
Следует отметить, что при К2=0 уравнение (7) переходит в двойное уравнение sin-Гордона, решения которого приведены в Приложении. В подобной ситуации (т.е. в аналогичном приближении), распространение стационарных НМУВ в пластине (001) с комбинированной анизотропией описывается лишь уравнением sin-Гордона [3]. Это объясняется различием в симметрии рассматриваемых кристаллов: ((001) - пластина обладает более высокой симметрией), а также наличием ромбической компоненты НОА, которая и в отсутствии КА дает нетривиальную картину нелинейных колебаний в магнетиках [15]. Суммируя сказанное, видим, что симметрия нелинейного потенциала взаимодействия существенно влияет на типы возможных НМУВ. В то же время учет К2, вклад которого в потенциал взаимодействия представляет собой более высокий порядок нелинейности, повышает кратность уравнение sin-Гордона и тем самым увеличивает число возможных типов НМУВ. В частности, характерным становятся распространение уединенных волн типа соли-тонов, а также нелинейных периодических волн с наличием "перетяжек" в их профиле. Причем их число зависит от кратности уравнения sin-Гордона.
Таким образом, можно сказать, что при учете К2, который позволяет более полно учесть кубическую компоненту симметрии рассматриваемой системы, в ней как бы возникает дополнительная степень свободы. Последнее в некоторой степени и объясняет усложнение спектра нелинейных колебаний в пластине (011) по сравнению с легкоплоскостными тетрагональными магнетиками.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Рассмотрим случай V < ^
1. Пусть Вх >0, - Вх/2 < В2 < 0. Соответствующий фазовый портрет двойного уравнения sin-Гордона представлен на рис. П1 . Отметим, что в данном случае имеют место три типа решений:
a) В интервале -В1<С<0 имеем:
Ф=аге% \
СП (п,к)
Ф=arccos
vM2 А0д| z1 sn (п,к )dn (п,к)
Ю0К и сп2 (п,к)+ z1
(П1)
где , АО =л/А(1^2Д2)/|С+В
1
Это решение является спиральной НМУВ, причем ф не превышает п/2. Период данной волны определяется периодом эллиптических функций Якоби: Т^ =4кД/|С + Д|, Тd =2кД/|С + ), где К=К(к) - полный эллиптический интеграл первого рода, к - модуль эллиптической функции
^Г+Н) ,
(0<к<1) [16]. В рассматриваемом случае к = у р 2 где = | - 2С - ) - 2)2 ± ^(А + 2)2 )2 + 8С)2 \ 2(С + )).
1. При С = 0 :
ф=arctg
д/|°1 + 202| sh л' Ф=arccos■
vM2|Dl + 2D2|V Dl Л п
«0К и р1 + 2D2 sh2 п+ D1
(П2)
Это решение описывает 180е ДГ, ширина которой равна [12, 14]: А=2(п-ф0 )}ф'0 + 2п0, где
Ф0 = ^ЭД
/
1п
1Ч ф0 ^04^1/(1+П0 =(1/ Чт^У
1-2Ч2 +д/(1-2Ч2)+ Ч2 \ Ч2 , Ч^+ 2D^|Dl|.
2. В области С>0 получаем: г—^п( п,к)
ф = д/ ^ - г—,
* сп(п,к)
Ф=arccos<
vM2л/ zl А0 ап(тп,к)
®0ки сп2 (п,к)+ z1 ^п2 (п,к)
(П3)
где
к = Л
2 2 - 21 У N
Это решение описывает нелинейную периодическую волну.
1. В1 > 0, где В2 > Вх/2. В этом случае фазовый портрет двойного уравнения sin-Гордона представлен на рис. П2. Здесь имеются пять типов решений:
Рис. П2. Фазовый портрет двойного уравнения бш-Гордона для случая В1>0, В2>В1/2
1. В интервале - (В1 + 2В2)2 /8В2 < С < -В1: + (П,к)
Ф=аге^^ , . V сп (п,к)
—=шгссоб
(1-к2) бп (п,к)
^К u СП2 (п,к )+| Z2|dп2 (п,к)
(П4),
где к = у^2| . Это спиральная НМУВ. 2. При С = -В1 :
101
ф = ШГЙЙг
|202 -
—=шгссоб
тch
202 - ),
ум2 А/0|б1| 2Б2 - Б1 |3/2
sh
202 - Б1
р112 Л2 ((|2Б2 - Б1)
202-01
(П5)
^ \Чл/1^2"
Данное решение описывает солитон, ширина которого равна: Ас =(п-2ф0 )/ф0 + 2П0, где
Ф0 = агс^
(ж^яТИ/д), ф0 = Ч2Л1\Б1\(д2 + ch2), П0 = 1П 1+Ц2 +д/(+^ )
c) В области - В1 < С <0 такое же решение, как и в случае 1.а.
d) При С = 0 решение аналогично случаю 1.Ь.
e) При С >0 решение совпадает со случаем 1.с.
3. В1 < 0, В1/2< В2 < 0. Фазовый портрет для данного случая представлен на рис.П3. При этом имеются три типа решений:
Рис. П3. Фазовый портрет двойного уравнения Гордона для случая А<0, Д/2<Б2<0
1. В интервале Ф = Ф ) такое же решение как и в случае 1л, при этом вместо необходимо подставить г2.
2. При С = —Д решение описывает уединенную волну, которая представляет собой движущуюся 1800 ДГ:
ф=arctg
51
|252 — 51
Ф=arccos
sh ((|2В2 — ),
" ум2^бЦ2Б2 — Б!
Л ((|2Б2 — )
Ю0Ки |2Б2 — А = (п—2ф0 )Ф0 + 2Лo, где Ф0 = arctg (^04^01/ Я), ' = я2 (я2 +sh2Лo^дÍDl), Л0 = 1пя2 — 2+д/(2 —2 .
(П.6)
равна:
Ее ширина
Ф0 = Я2 лИ (я2 +^2 Л0^/1511 ) Л0 =1п Я
3. В области С > — Д решение аналогично случаю 1.с.
4. Д <0, Б2 >— . Соответствующий фазовый портрет представлен на рис.П4, из которого видно, что имеется, пять типов решений:
Рис. П4. Фазовый портрет двойного уравнения 8Ш-Гордона для случая А<0, Б2>-Д/2
(Б + 2Б )2
1. В интервале--1-2— < С <0 решение соответствует случаю 2.а.
8Б2
2. При С = 0 решение описывает солитон.
1
ф=arctg
Б1 + 2Б2
Л ((|Б1 + 2Б2|)'
arccos<
WoKU |Di| ch2 ((+2D2 )| Di + 2D21
виД: А с =- 2Ф()/ Фо"
(П.7)
Фо sh^q^^/(l+q2ch2no^^Dl),
Его ширина имеет вид:
V
/
q=V N/ |Di + 2D2
3. В интервале 0 < С < —01 решение совпадает со случаем 3.а.
4. При С = решение аналогично случаю З.Ь.
5. В области С > —решение такое же как в случае 1.с.
Рассматривая случай V > ^, получаются те же типы решений только при других соотношениях П1 и П2, причем знаки этих констант меняются на противоположные, а значение 21 на 22, случай 1 имеет место при Б2 >0, Д < —2Б2; 2 - 2Б2 < Д < 0; 3- Д > 0, Д > 2Д; 4 -Д < 0, 0 < Д < —2 Д.
1. Белов К.П., Звездин А.К., Кадомцева А.М., Левитин Р.З., Ориентационные переходы в редкоземельных магнетиках, М.: Наука (1979), 320с.
2. Туров Е.А., Шавров В.Г. УФН, Т. 140, №1, 429 (1983).
3. Кабыченков А.Ф., Шавров В.Г. ЖТЭФ, Т.95, В.2, 580 (1989).
4. Зарембо Л.К., Карпачев С.Н., Волков В.В., Яфасов А.М. Письма в ЖТФ, Т.22, №15, 56 (1996).
5. Тикодзуми С. Физика ферромагнетизма. Магнитные характеристики и практические применения М.: Мир (1987) 419с.
6. Бучельников В.Д., Шавров В.Г. ФТТ, Т.23, №5, 1296 (1981).
7. Гриневич В В., Вахитов Р.М. ФТТ, Т.38, №11, 3409 (1996).
8. Бучельников В.Д., Шавров В.Г. ФММ, Т.55, В.5, 892 (1983).
9. Вахитов Р.М., Гриневич В.В. ФММ. Т.80, В.4, 168 (1995).
10. Солитоны/ Под ред. Буллафа Р., Кодри Ф. М.: Мир, (1983) 408с.
11. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебании М.: Наука, (1981) 568с.
12. Сабитов Р.М., Вахитов Р.М. Изв. ВУЗов, Т.31, В.8, 51 (1988).
13. Вахитов Р.М. ФММ, Т.89, В.6, 16 (2000).
14. Филлипов Е.Н., Береснев В.И. ФММ, Т.58, В.6, 1093 (1984).
15. Бучельников В.Д., Шавров В.Г. ФТТ, Т.25, В.1, 90 (1983).
16. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции М.: Наука, (1977), 342с.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
