CC BY
44
5. W.N.Everitt, A.Zettl. Generalized symmetric ordinary differential expressions 1. The general theory \parallel. Niew archief voor wisKunde (3), 1979, p.363-397.
Поступила в редакцию 04.04.03 г.
УДК 537.6 ББК 22.161.6
СОЛИТОНЫ В КУБИЧЕСКОМ ФЕРРОМАГНЕТИКЕ С НАВЕДЕННОЙ МАГНИТНОИ АНИЗОТРОПИЕИ
ВДОЛЬ ОСИ [001]
Шамсутдинов Д. М.*
(Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 02-02-17417).
Теоретически исследованы солитоны в кубическом ферромагнетике с наведенной магнитной анизотропией вдоль оси [001]. Определены зависимости скорости движения солитонов от констант магнитной анизотропии.
Солитоны в одноосном ферромагнетике исследованы достаточно хорошо (см., например [1]). При скоростях меньших предельной скорости уравнение Ландау-Лифшица для намагниченности сводится к уравнению синус-Гордон. В случае кубических ферромагнетиков возникает иная ситуация. Дело в том, что в кубических ферромагнетиках наряду с естественной кубической магнитной анизотропией может иметь место наведенная магнитная анизотропия. Настоящая работа посвящена исследованию солитонов в кубическом ферромагнетике с наведенной одноосной анизотропией.
При исследовании нелинейных волн в кубическом ферромагнетике с наведенной одноосной магнитной анизотропией свободную энергию обычно записывают в виде
w = — [ Бау , (1)
V 1
F = А
- ! 0mH - - Fку6 ' 829
Здесь т- единичный вектор намагниченности М = М 0 m , М0 =| М I - намагниченность насыщения; А - параметр неоднородного обменного взаимодействия, Ки - константа наведенной одноосной анизотропии вдоль
оси [001], нт - магнитостатическое поле, определяемое из уравнений магнитостатики
rot Н т = 0 , div Н т = - 4 яМ 0 div m ,
F' g - энергия кубической кристаллографической магнитной анизотропии. В системе координат с осями
# II [110], ^ II [110], z II [001]
Fкуб = " 1
-z2(-X + -I) +-Т (-2 - -2уУ
(3)
1 4
где "1 - константа кубической кристаллографической магнитной анизотропии.
Рассмотрим распространение нелинейных волн вдоль оси у II [110] . В одномерном случае плотность полной
энергии F в угловык переменный, то есть
m = (sin Q sin ф , COS Q , sin Q COS ф ) , (4)
можно записать в следующем виде
F = А Q у2 + Sin2 QV у ]+ F (°9 , (5)
F (°) = "и Sin 2 ф Sin 2 Q + " - COS 2 Q +
2 2 4 2 2 7 2
COS ф Sin ф Sin Q + Sin Q COS Q (1 - “Sin ф )
( Шамсутдинов Данир Миниахатович - аспирант БашГУ, кафедра дифференциальных уравнений.
0 к 1,Кт = 2жМ 02 + Ки
4 1
(6)
Ки = К и +- К , ,кт = 2^! 0 + ки • (7)
Наведенная магнитная анизотропия влияет на магнитные состояния и фазовые переходы между различными состояниями (см., например [2-4]). Далее рассмотрим случай положительной константы одноосной магнитной
анизотропии (Ки > 0) и отрицательной константы кубической магнитной анизотропии ("1 < 0). В зависимости от соотношения между константами возможны состояния, в которых вектор Ш лежит в плоскостях типа {110} и ориентирован под следующими углами к оси 7 :
19 0 = 0,^ при ки >| К1 I ; 2)
cos 2о =
4 К,
пРи Ки <\К 1 I-
(8)
3 I*0 I
При Ки = I *0 I существует фазовый переход второго рода между этими двумя состояниями. Рассмотрение нелинейных волн проведем для случая Ки >| Kj |, когда в основном состоянии вектор m ориентирован вдоль оси
z\| [001].
Уравнение Ландау-Лифшица с учетом (5), (6) принимает вид
Уё1м09t sin в = -2$в%% + $ sin 2qp2v + F}0)
'УУ
2
■). -F-
(0)
У~-Хмов& sinв = 2$(sin‘в <Ру,у
где Ye _ гиромагнитное отношение. При 2ж!о >> Ки >>\ Kj |, полагая в = ж/2-s (s << 1) исключая S получим уравнение синус-Гордон [1]:
¥ТТ - ¥ хх + si$V = 0,
¥ = 2ф , X = у(Ки/Áj , Т = t(8яу2 Ки )12. Стационарное
(9)
где
: солитонное решение:
d — (X
VT—
2 sin —, — = 4arctg exp
VT-
и 2 у
Солитонное решение представляет собой ферромагнитные доменные стенки с поворотом намагниченности на 180 градусов и описывает изменение намагниченности между доменами ориентированными вверх и вниз. Из солитонного
при и 1, Щх ^ ВД Щ ^ ВД,Щ ^ ВД 1 В этом случае отброшенные в (9) слагаемые
решения видно, что :
могут оказаться не малыми. Таким образом, когда скорость нелинейной волны и ^ 1 следует провести более последовательный анализ системы (9).
Уравнение Ландау-Лифшица при 0 — Ж /2 — Є (є 1), 2жМ2 >> "и >| "1 можно представить в
виде
3 К
уе ХМ0е& = Ки Sin 2ф - 2 А фуу +—4^Sin 2ф cos 2ф у" 1М0ф& = - 4жМ02s + 2Аsуу + 2Аф%s
Рассмотрим стационарное решение системы уравнений (10)
ф = ф(у - vt), S = s(y - vt).
Граничные условия задачи:
s(-w) = s(+w) = 0, sy (±w) = 0; ф(-ад) = 0, ф(+ад) = ж ,фу (±ад) = 0.
Вводя обозначения
(10)
(11)
4ç =Щ .
к - 4К"
X -
У - vt
А о -
4 А
3|"J
+
|KJ 2жМ 2
8М 0v
3уе А о I К I
(13)
получим
¥
¥ ## - Р sin ¥ - 2* sin — - Sv£ # = 0
2 [ (14)
4 1 2 S
£ ## -—£ + — £¥ # +-)¥ # = 0
3+ 16 16
где р = sign Kj, параметр * > 1. Второе уравнение системы (14), дифференцируя по X и учитывая первое
уравнение, представим так
3+
4
(1 - *2 у
11 '
3xxx + — 3x¥ X + -3¥ x¥ XX - 2к sin у + Р sin у ,05)
/ 2
где 3 - SvS , * - V / С, С - предельная скорость равная
Первое уравнение системы (14) перепишем в виде
16 8
ная
с - 2уел!2жА
3X -¥ XX - - Р sin ¥ - 2 к sin у.
(16)
(17)
При 5 ^ 1 и + << 1, как видно из (15), слагаемые в правой части уравнения (17) малы. Тогда из (17) получим
Зх *¥##, . (18)
Уравнение (15) при скоростях близких к предельной скорости С можно записать в виде
( - *2 у XX- р sin ¥- 2 к sin уу-
¥
3 2
—¥ ¥ XX 16
- 0
(19)
где 5 = V / С. Это уравнение соответствует стационарному модифицированному двойному уравнению синус-Гордон с высшей дисперсией вида [5]:
U 2
Utt - UXX + Р sin U + 21 sin 2 - /UXXXX - PUxUxx - 0 .
(20)
При /3 - 0, X - 0, р -1 численно [6] и аналитически [7] найдено солитонное решение уравнения (20) в виде 4ж -кинка движущегося с определенной скоростью. Аналитическое решение (20) в виде 4ж -кинка при g Ф 0, X Ф 0,3 - 0, р - 1 найдено в [8], а в наиболее общем случае при g Ф 0, X Ф 0,3 Ф 0, р - 1 в [5]. Уравнение (20) в случае стационарного движения переходит в (19) при замене U ^¥ , X ^ к, g ^ -3+ /4,3 ^ -9+ / 64. Следуя [5] можно показать, что уравнение (19) допускает солитонное решение в
виде 4ж -кинка при р - -1 ("1 < 0) . Переходя к углу Ç - ¥ / 4 и 9 - Ж / 2 - Є - Ж / 2 - 3 / Sv это решение можно записать в виде
exp
У - v*t
А 0 V а
ж с
9 --- —
2 V,
ч 1/ 4
4жМ
ch
-1
0
У - v*t
(21)
(22)
А 0 V а
VА0^а J
1/4
жМ Д
Это решение (22) соответствует движущейся 180-градусной доменной стенке между областями с
V
намагниченностью «вверх» и «вниз», со скоростью V. равной.
1/2
V. = с< 1 - (3* - 1\ +
(+ << 19
(23)
Решение (21)—(23) было получено предполагая слабое изменение угла 0 с изменением координаты % и малость
магнитной анизотропии "и скорость V^ уменьшается. В близи точки фазового перехода из симметричной фазы в угловую, скорость движения солитона возрастает и достигает максимального значения в точке фазового перехода
(k ^ 1 при Ки ^ | К0 |): V5 = С (— ,/+78 с ( -10—2 )
Таким образом солитонное решение уравнения Ландау-Лифшица в виде кинка, соответствующее движущейся 180-градусной доменной стенке со скоростью близкой к предельной, существует только для отрицательной константы кубической магнитной анизотропии. Это обусловлено тем, что модифицированное двойное уравнение синус-Гордон с высшей дисперсией допускает решение в виде 4ж -кинка только при определенных условиях согласованности членов в нем [5]. Выполнение условий согласованности членов модифицированного двойного уравнения синус-Гордон с
высшей дисперсией gUXXXX с членами, содержащими высокую нелинейность 0U#2UXX и р sin U , g = —3 +/4,
3 = —9+ j64, р = —1 достигаются только в случае отрицательной константы кубической магнитной анизотропии.
Аналогичные солитонные решения можно получить при наведении магнитной анизотропии и вдоль других кристаллографических осей.
1. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис. X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М.:Мир, 1988. 694 с.
2. Бучельников В.Д., Шавров В.Г. Спин—переориентационные фазовые переходы в кубических магнетиках при упругих напряжениях. // ФТТ. 1981. Т. 23. № 5. С. 1296-1301.
anisotropies. //Phys. Stat. (а). 1983. V. 75, P. 121-127.
4. Вахитов P.M. Особенности магнитных и магнитоупругих свойств кристаллов с комбинированной анизотропией. Автореферат доктор. Диссерт. M. 2001.
5. Шамсутдинов Д.М., Султанаев Я.Т. Кинки модифицированного уравнения синус-Гордон // Вестник Башкирского Университета. 2002. '2. С. 22-23.
6. Alfimov G.E., Eleonskii V.M., Kulagin N.E. and Mitskevich. Dynamics of topological solitons in models with nonlocal interactions//Chaos. 1993. V. 3. Issue 3. P. 405-414.
7. Bogdan M.M., Kosevich A.M. Interaction of moving solitons in a dispersive medium and regimes of their radiationless motion//Proc. Estonian Acad. Sci. Phys. Math. 1997. 46. 1/2. P. 14-23.
8. Bogdan M.M., Kosevich A.M.,Maugin G.A. Soliton complex dynamics in strongly dispesive medium // Wave motion. 2001. 34. P. 1-26.
параметра + = | К1 | /2жМ0 - Это условие хорошо выполняется при + < 10 3. С ростом константы одноосной
ЛИТЕРАТУРА
3. Tomas J., Murtinova L., Kaczer J. Easy magnetization axes in materials with combined cubic and uniaxial
Поступила в редакцию 27.06.03 г.
