Солитоны в кубическом ферромагнетике с наведенной магнитной анизотропией вдоль оси [001] Текст научной статьи по специальности «Физика»

5. W.N.Everitt, A.Zettl. Generalized symmetric ordinary differential expressions 1. The general theory \parallel. Niew archief voor wisKunde (3), 1979, p.363-397.

Поступила в редакцию 04.04.03 г.

УДК 537.6 ББК 22.161.6

СОЛИТОНЫ В КУБИЧЕСКОМ ФЕРРОМАГНЕТИКЕ С НАВЕДЕННОЙ МАГНИТНОИ АНИЗОТРОПИЕИ

ВДОЛЬ ОСИ [001]

Шамсутдинов Д. М.*

(Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 02-02-17417).

Теоретически исследованы солитоны в кубическом ферромагнетике с наведенной магнитной анизотропией вдоль оси [001]. Определены зависимости скорости движения солитонов от констант магнитной анизотропии.

Солитоны в одноосном ферромагнетике исследованы достаточно хорошо (см., например [1]). При скоростях меньших предельной скорости уравнение Ландау-Лифшица для намагниченности сводится к уравнению синус-Гордон. В случае кубических ферромагнетиков возникает иная ситуация. Дело в том, что в кубических ферромагнетиках наряду с естественной кубической магнитной анизотропией может иметь место наведенная магнитная анизотропия. Настоящая работа посвящена исследованию солитонов в кубическом ферромагнетике с наведенной одноосной анизотропией.

При исследовании нелинейных волн в кубическом ферромагнетике с наведенной одноосной магнитной анизотропией свободную энергию обычно записывают в виде

w = — [ Бау , (1)

V 1

F = А

- ! 0mH - - Fку6 ' 829

Здесь т- единичный вектор намагниченности М = М 0 m , М0 =| М I - намагниченность насыщения; А - параметр неоднородного обменного взаимодействия, Ки - константа наведенной одноосной анизотропии вдоль

оси [001], нт - магнитостатическое поле, определяемое из уравнений магнитостатики

rot Н т = 0 , div Н т = - 4 яМ 0 div m ,

F' g - энергия кубической кристаллографической магнитной анизотропии. В системе координат с осями

# II [110], ^ II [110], z II [001]

Fкуб = " 1

-z2(-X + -I) +-Т (-2 - -2уУ

(3)

1 4

где "1 - константа кубической кристаллографической магнитной анизотропии.

Рассмотрим распространение нелинейных волн вдоль оси у II [110] . В одномерном случае плотность полной

энергии F в угловык переменный, то есть

m = (sin Q sin ф , COS Q , sin Q COS ф ) , (4)

можно записать в следующем виде

F = А Q у2 + Sin2 QV у ]+ F (°9 , (5)

F (°) = "и Sin 2 ф Sin 2 Q + " - COS 2 Q +

2 2 4 2 2 7 2

COS ф Sin ф Sin Q + Sin Q COS Q (1 - “Sin ф )

( Шамсутдинов Данир Миниахатович - аспирант БашГУ, кафедра дифференциальных уравнений.

0 к 1,Кт = 2жМ 02 + Ки

4 1

(6)

Ки = К и +- К , ,кт = 2^! 0 + ки • (7)

Наведенная магнитная анизотропия влияет на магнитные состояния и фазовые переходы между различными состояниями (см., например [2-4]). Далее рассмотрим случай положительной константы одноосной магнитной

анизотропии (Ки > 0) и отрицательной константы кубической магнитной анизотропии ("1 < 0). В зависимости от соотношения между константами возможны состояния, в которых вектор Ш лежит в плоскостях типа {110} и ориентирован под следующими углами к оси 7 :

19 0 = 0,^ при ки >| К1 I ; 2)

cos 2о =

4 К,

пРи Ки <\К 1 I-

(8)

3 I*0 I

При Ки = I *0 I существует фазовый переход второго рода между этими двумя состояниями. Рассмотрение нелинейных волн проведем для случая Ки >| Kj |, когда в основном состоянии вектор m ориентирован вдоль оси

z\| [001].

Уравнение Ландау-Лифшица с учетом (5), (6) принимает вид

Уё1м09t sin в = -2$в%% + $ sin 2qp2v + F}0)

'УУ

2

■). -F-

(0)

У~-Хмов& sinв = 2$(sin‘в <Ру,у

где Ye _ гиромагнитное отношение. При 2ж!о >> Ки >>\ Kj |, полагая в = ж/2-s (s << 1) исключая S получим уравнение синус-Гордон [1]:

¥ТТ - ¥ хх + si$V = 0,

¥ = 2ф , X = у(Ки/Áj , Т = t(8яу2 Ки )12. Стационарное

(9)

где

: солитонное решение:

d — (X

VT—

2 sin —, — = 4arctg exp

VT-

и 2 у

Солитонное решение представляет собой ферромагнитные доменные стенки с поворотом намагниченности на 180 градусов и описывает изменение намагниченности между доменами ориентированными вверх и вниз. Из солитонного

при и 1, Щх ^ ВД Щ ^ ВД,Щ ^ ВД 1 В этом случае отброшенные в (9) слагаемые

решения видно, что :

могут оказаться не малыми. Таким образом, когда скорость нелинейной волны и ^ 1 следует провести более последовательный анализ системы (9).

Уравнение Ландау-Лифшица при 0 — Ж /2 — Є (є 1), 2жМ2 >> "и >| "1 можно представить в

виде

3 К

уе ХМ0е& = Ки Sin 2ф - 2 А фуу +—4^Sin 2ф cos 2ф у" 1М0ф& = - 4жМ02s + 2Аsуу + 2Аф%s

Рассмотрим стационарное решение системы уравнений (10)

ф = ф(у - vt), S = s(y - vt).

Граничные условия задачи:

s(-w) = s(+w) = 0, sy (±w) = 0; ф(-ад) = 0, ф(+ад) = ж ,фу (±ад) = 0.

Вводя обозначения

(10)

(11)

4ç =Щ .

к - 4К"

X -

У - vt

А о -

4 А

3|"J

+

|KJ 2жМ 2

8М 0v

3уе А о I К I

(13)

получим

¥

¥ ## - Р sin ¥ - 2* sin — - Sv£ # = 0

2 [ (14)

4 1 2 S

£ ## -—£ + — £¥ # +-)¥ # = 0

3+ 16 16

где р = sign Kj, параметр * > 1. Второе уравнение системы (14), дифференцируя по X и учитывая первое

уравнение, представим так

3+

4

(1 - *2 у

11 '

3xxx + — 3x¥ X + -3¥ x¥ XX - 2к sin у + Р sin у ,05)

/ 2

где 3 - SvS , * - V / С, С - предельная скорость равная

Первое уравнение системы (14) перепишем в виде

16 8

ная

с - 2уел!2жА

3X -¥ XX - - Р sin ¥ - 2 к sin у.

(16)

(17)

При 5 ^ 1 и + << 1, как видно из (15), слагаемые в правой части уравнения (17) малы. Тогда из (17) получим

Зх *¥##, . (18)

Уравнение (15) при скоростях близких к предельной скорости С можно записать в виде

( - *2 у XX- р sin ¥- 2 к sin уу-

¥

3 2

—¥ ¥ XX 16

- 0

(19)

где 5 = V / С. Это уравнение соответствует стационарному модифицированному двойному уравнению синус-Гордон с высшей дисперсией вида [5]:

U 2

Utt - UXX + Р sin U + 21 sin 2 - /UXXXX - PUxUxx - 0 .

(20)

При /3 - 0, X - 0, р -1 численно [6] и аналитически [7] найдено солитонное решение уравнения (20) в виде 4ж -кинка движущегося с определенной скоростью. Аналитическое решение (20) в виде 4ж -кинка при g Ф 0, X Ф 0,3 - 0, р - 1 найдено в [8], а в наиболее общем случае при g Ф 0, X Ф 0,3 Ф 0, р - 1 в [5]. Уравнение (20) в случае стационарного движения переходит в (19) при замене U ^¥ , X ^ к, g ^ -3+ /4,3 ^ -9+ / 64. Следуя [5] можно показать, что уравнение (19) допускает солитонное решение в

виде 4ж -кинка при р - -1 ("1 < 0) . Переходя к углу Ç - ¥ / 4 и 9 - Ж / 2 - Є - Ж / 2 - 3 / Sv это решение можно записать в виде

exp

У - v*t

А 0 V а

ж с

9 --- —

2 V,

ч 1/ 4

4жМ

ch

-1

0

У - v*t

(21)

(22)

А 0 V а

VА0^а J

1/4

жМ Д

Это решение (22) соответствует движущейся 180-градусной доменной стенке между областями с

V

намагниченностью «вверх» и «вниз», со скоростью V. равной.

1/2

V. = с< 1 - (3* - 1\ +

(+ << 19

(23)

Решение (21)—(23) было получено предполагая слабое изменение угла 0 с изменением координаты % и малость

магнитной анизотропии "и скорость V^ уменьшается. В близи точки фазового перехода из симметричной фазы в угловую, скорость движения солитона возрастает и достигает максимального значения в точке фазового перехода

(k ^ 1 при Ки ^ | К0 |): V5 = С (— ,/+78 с ( -10—2 )

Таким образом солитонное решение уравнения Ландау-Лифшица в виде кинка, соответствующее движущейся 180-градусной доменной стенке со скоростью близкой к предельной, существует только для отрицательной константы кубической магнитной анизотропии. Это обусловлено тем, что модифицированное двойное уравнение синус-Гордон с высшей дисперсией допускает решение в виде 4ж -кинка только при определенных условиях согласованности членов в нем [5]. Выполнение условий согласованности членов модифицированного двойного уравнения синус-Гордон с

высшей дисперсией gUXXXX с членами, содержащими высокую нелинейность 0U#2UXX и р sin U , g = —3 +/4,

3 = —9+ j64, р = —1 достигаются только в случае отрицательной константы кубической магнитной анизотропии.

Аналогичные солитонные решения можно получить при наведении магнитной анизотропии и вдоль других кристаллографических осей.

1. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис. X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М.:Мир, 1988. 694 с.

2. Бучельников В.Д., Шавров В.Г. Спин—переориентационные фазовые переходы в кубических магнетиках при упругих напряжениях. // ФТТ. 1981. Т. 23. № 5. С. 1296-1301.

anisotropies. //Phys. Stat. (а). 1983. V. 75, P. 121-127.

4. Вахитов P.M. Особенности магнитных и магнитоупругих свойств кристаллов с комбинированной анизотропией. Автореферат доктор. Диссерт. M. 2001.

5. Шамсутдинов Д.М., Султанаев Я.Т. Кинки модифицированного уравнения синус-Гордон // Вестник Башкирского Университета. 2002. '2. С. 22-23.

6. Alfimov G.E., Eleonskii V.M., Kulagin N.E. and Mitskevich. Dynamics of topological solitons in models with nonlocal interactions//Chaos. 1993. V. 3. Issue 3. P. 405-414.

7. Bogdan M.M., Kosevich A.M. Interaction of moving solitons in a dispersive medium and regimes of their radiationless motion//Proc. Estonian Acad. Sci. Phys. Math. 1997. 46. 1/2. P. 14-23.

8. Bogdan M.M., Kosevich A.M.,Maugin G.A. Soliton complex dynamics in strongly dispesive medium // Wave motion. 2001. 34. P. 1-26.

параметра + = | К1 | /2жМ0 - Это условие хорошо выполняется при + < 10 3. С ростом константы одноосной

ЛИТЕРАТУРА

3. Tomas J., Murtinova L., Kaczer J. Easy magnetization axes in materials with combined cubic and uniaxial

Поступила в редакцию 27.06.03 г.