Индексы дефекта сингулярных ОДУ нечетного порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

раздел МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

УДК 517.4.43+517.4.94 ББК 22.161.1

ИНДЕКСЫ ДЕФЕКТА СИНГУЛЯРНЫХ ОДУ НЕЧЕТНОГО ПОРЯДКА. Назирова Э.А.

(работа выполнена при поддержке грантов РФФИ №01-01-00996, №03 - 01 - 06079)

Изучаются индексы дефекта дифференциальных операторов, порожденных в пространстве суммируемых с квадратом на полуоси функций самосопряженным дифференциальным выражением нечетного порядка с комплекснозначными коэффициентами.

1. ВВЕДЕНИЕ

Одной из основнык задач спектральной теории линейнык обыкновенных дифференциальны« операторов является исследование их индексов дефектов в зависимости от поведения коэффициентов соответствующего дифференциального выражения /у. Такие задачи изучались М.А. Наймарком [1], Я.Т. Султанаевым [2], М.В. Федорюком [3] и другими авторами (см. библиографию в [3]). Как правило, ими рассматривались симметрические операторы с вещественными коэффициентами. Известно, что индексы дефекта определяют размерность пространств решений уравнений Іи=іу и Іи=-іу.

Целью настоящей работы является исследование индексов дефекта некоторого класса дифференциальны« операторов, порожденных на полуоси самосопряженным дифференциальным выражением нечетного порядка с комплекснозначными коэффициентами.

Итак, мы рассматриваем уравнение вида:

1у = (-1)"2іу12”" + £ (-1)к(р,,_,(х)у(Н)(Н +

к = 0

+ і£ (-1)1 ^qn-J (х)у°))°+1) + (qn-J (х)у°+1))0) ]= іру, (а Ф 0), 0 < х < от, (1)

>=0

где Рк (х), к = 0, п, q. (х), у = 1, п -дважды непрерывно-дифференцируемые вещественнозначные функции. Введем в рассмотрение:

^ ( х, а , М ) = (- 1) " 2 іМ (2"+1) + £ (- 1) к Р п к ( х )М 2к +

к = 0

+ 2і£(- ^ 3 q п- . (х)я2 31 - іа •

. = 1

Пусть коэффициенты Рк (X), q. (х) удовлетворяют следующим условиям:

1. |ри (х)| ^ ОТ при X ^ ОТ ;

2. Существует достаточно большое К>0, что для х>К функции р'к (х), q(х) не меняют знак и

| Рк (х)| = О{рк (х)|П ) 0 < у к < 1 +1 /(4и - 4к + 2), к = 0, п, ^(( х) | = О ^(х) [к )

0 < Ц ■ < 1 +1 /(4п - 4]), . = 1, п ;

3. для всех і,. = 1,2й + 1 и х^Я

*

Назирова Эльвира Айратовна - к. ф-м.н., ассистент кафедры дифференциальных уравнени й БашГУ.

О < А <

Лі (х,а)

< Д

(х,о)

где А,В - положительные постоянные, а и ' (х,О) - корни уравнения Р(х,О, и) =0,

4. Ке(иг — и1) не меняет знак для достаточно больших х.

Известно, см. [3], что при выполнении данных условий, являющихся по сути условиями регулярности коэффициентов, уравнение (1) имеет 2п+1 линейно-независимых решений, таких, что при х ^ от справедливы асимптотические формулы:

( _ ..к* ^ (—1/2)

У (х ,а ) =

д Р (х, а , л д л

ехр

| Л к (і, а ) & > , к = 1,2 п + 1 ■

(2)

В указанной работе исследованы индексы дефекта в наиболее простом частном случае условий 1-3 при выполнении дополнительного ограничения, что интеграл

2 П 2 П + 1

х ) ІЇ.Х

(3)

сходится. Они равны [(2п+г+1)/2, (2п+г+1)/2], где г=1,3,5,..,2п+1. Мы будем рассматривать случай, когда интеграл (3) расходится.

2. Построение асимптотик корней уравнения Р(Х,О,и) = 0.

Рассмотрим класс функций, которые можно разложить в асимптотические ряды по рациональным степеням некоторой функции ф( х) :

2и+1—2к

к }ак тк

-л —к

Рк(х) = ф 2"+1 ЕаФ

}=1

2п-2к ш

~гк

= -к > О, тк, Ік є 2 , к = О, п;

Чк(х) = ф 2п+х Е Ь ф

}=1

которая удовлетворяет условиям:

a) |ф(х)| ^ от, х ^ от ;

b) ф' (х) не меняет знак для достаточно больших х. Введем параметр

а =

¡Рк

Рк = — > О, вк, Як є 2, к = 1, п: ек

1

НОК (1 о ,■■, 1 п, е 1 ,■■, еп ,2п + 1)

Тогда ряды (4) можно переписать в виде

2п+1-2к

Рк(х) = ф 2"+1

2 п - 2 к

Еа)ф

}=1

кА - Іа

а” * О, к = О,п.

Чк (х) = Ф 2и+1 Е ЬкФ ~]а , Ь” * О, к = 1, п.

і=1

при этом, конечно же, часть коэффициентов ак , Ь могут оказаться нулями Будем искать решения уравнения Р (х,а, л) = О в виде ряда:

л( х, а) = іф2 "+1 Е лф

-}а

(6)

(4)

}=о

Подставим это выражение в уравнение и разделим обе его части на ф(х) . Выпишем коэффициент при нулевой степени ф(х) :

0(Мо) := 2/ио”+1 + Ёа0>+ ЁЬ0 (х)и02к 1 = 0

к=0 к=1

Следующий член в разложении функции ¡л(х,о) получится при ф (х) :

64^0 К + (и> а°> Ь <> Ь1) = 0

Откуда

^(^0, а°, ¿11,.., а", Ь")

(7)

Я1

6'(Я0

(8)

Здесь К1(и0, а10, Ь1а ” , Ь” ) - полином от и0,а1к,Ь/ , у = 1, й , к = 0, й . Пусть теперь N - такое натуральное число, что

Ыа = 1.

Аналогично (8) можно выписать уравнения для нахождения следующих поправок:

и,

г>/ „0 7 1 _ 0 т 1 п 1П п

^. (и 0’", —1, а0 , Ь0,.., а у , Ьз'а0 , Ь0 а у , Ь j J

бЧЯс

(9)

Для получаем соотношение:

, (и0 —1 ’ а0 ’ Ь0 аN , ЬЫ а0 ’ Ь0 аN ’ ЬЛТ )

им =----------------------------------:-------------------------------+ ■

6'(Я0) 6'(Я0)

Замечание 1. Так как функции Рк (х), Чу (х), - вещественнозначные, то все числа ак, Ь- также вещественные. Следовательно, если корень и0 -вещественный, то и выражения

Я. (и0,..,и,—1,а°,Ь0,..,а0,Ь1.а”,Ьп0а”,Ь”)- вещественные, У = 1,N

V \И 0’--’Н .—1>'л0’и0’"'> У 5 У’"’ 0 ’ и0’'"> ^3^3 Изучим далее поведение функций

! \(—1/2) дР ( х,О, и )

ди

Пользуясь разложениями (5,6), нетрудно получить

/

дР (х,о, и ди

к = 1,2п +1.

к.\ (—1/2)

= сот1ф 4п+2 (х)(1 + о(1)).

Так как рп (х) = а”ф(х) и интеграл (3) расходится, то, очевидно, интеграл

2п

также расходится, и функции

ЛГ, ^ Л( —1/2)

дР ( х,о, и ди

£ 12(0, от).

(10)

Тогда из асимптотических формул (2) для ФСР уравнения (1) следует, что принадлежность решений у . (х,о)

пространству Ь2 (0, от) будет зависеть только от поведения функций Ке(и к (х,о)) , к = 1,2п + 1

Яе(и к ) = Ке(гф 2и+1 Ё и

’ // 5 1

кф-]а ) = ф2^

Ё )ф

за

(11)

Предположим, что уравнение (7) имеет 2г комплексных корней (занумеруем их ¡л 1,¡л 2г) , тогда в силу

вещественности коэффициентов характеристического уравнения, они имеют вид

2к, 2к—1 ^ к | • к

и = т ± гд .

Таким образом, для J — 1 , 2г

i

Яе(и2к,2к—1) = кф 2и+' (х)(1 + о(1)) . (12)

Следовательно , ровно г решений , соответствующих корням характеристического уравнения, для которых 0 к > 0, будут суммируемыми с квадратом на (0 , от) , и еще г решений не будут суммируемыми с квадратом.

Рассмотрим теперь случай вещественных корней уравнения (7). В силу замечания 1

1т( и*, ) = .. = М и I—1) = 0 1т( и N ) = 7ТТ.

Q \л<

Докажем следующее несложное Утверждение 1.

к+1

Q (л 0 )Q (л 0 ) < 0 для всех к — 2 г +1 , 2п

тт г-р 2 г +1 2п+1 /•'7\

Доказательство. 1 ак как числа и0 , л - все различные корни уравнения (7), то для любого

к — 2г +1 , 2п, при переходе через каждую точку л о функция Q^ ) меняет знак, а значит , в каждом отрезке

( к к+1 Л i

(Л , Ло /данная функция имеет точки локального экстремума, откуда в свою очередь следует, что производная

к

меняет знак каждый раз при переходе через точку л о ■

Из соотношений (11,12) теперь следует, что (п-г) (либо (п-г+1)) функций Яе(л к (X,о)) > о и (п-г+1) (либо (п-г))

функций Ке(л к (X, о)) < о для достаточно больших *■ Итак, нами доказана Теорема. Пусть выполнены следующие условия:

1) функции Рк (х) , q J (х) , - вещественнозначные, дважды непрерывно дифференцируемые и представимы в виде (4)

2) Существует достаточно большое R>0 , что для x>R функции рк (х) , qj (х) не меняют знак и

\рк (х)| — о(рк (х)|У ) о < у к < 1 +1 /(4и - 4к + 2), к — о , п , |qj (х)| — О (q у (х)|Щ )

о < Ц ■ < 1 +1 /(4п - 4 j), J — 1 , п ;

3) |ф(х)| ^ от, X ^ от ;

4) уравнение

^Яо) :— 2Ло2”+1 + Y ао ^ + Y bo (х)ло2к 1 — о

к—о к—1

не имеет кратных корней

Тогда индексы дефекта минимального дифференциального оператора , порожденного на полуоси выражением /у, суть (п,п+1) либо (п+1,п).

ЛИТЕРАТУРА.

1 Наймарк МА Линейные дифференциальные операторы, М^, 1969^

2^ Федорюк М^Ф^ Асимптотические методы для линейных ОДУ , М^, Наука, 1983■

3^ Мукимов В^, Султанаев ЯХ Ь2-решения сингулярных дифференциальных операторов нечетного порядка^ -Дифференциальные уравнения^ 2оо2^ т 38(2) сЛ9о-194^

4^ Мукимов В^, Султанаев ЯХ Об индексах симметрического дифференциального оператора нечетного порядка^ - Дифференциальные уравнения^ 1995^ тЛ, №12^ а2о83-2о84^

5. W.N.Everitt , A.Zettl. Generalized symmetric ordinary differential expressions 1. The general theory \parallel. Niew archief voor wisKunde (3), 1979, p.363-397.

Поступила в редакцию 04.04.03 г.

УДК 537.6 ББК 22.161.6

СОЛИТОНЫ В КУБИЧЕСКОМ ФЕРРОМАГНЕТИКЕ С НАВЕДЕННОЙ МАГНИТНОИ АНИЗОТРОПИЕИ

ВДОЛЬ ОСИ [001]

Шамсутдинов Д. М.

(Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 02-02-17417).

Теоретически исследованы солитоны в кубическом ферромагнетике с наведенной магнитной анизотропией вдоль оси [001]. Определены зависимости скорости движения солитонов от констант магнитной анизотропии.

Солитоны в одноосном ферромагнетике исследованы достаточно хорошо (см., например [1]). При скоростях меньших предельной скорости уравнение Ландау-Лифшица для намагниченности сводится к уравнению синус-Гордон. В случае кубических ферромагнетиков возникает иная ситуация. Дело в том , что в кубических ферромагнетиках наряду с естественной кубической магнитной анизотропией может иметь место наведенная магнитная анизотропия. Настоящая работа посвящена исследованию солитонов в кубическом ферромагнетике с наведенной одноосной анизотропией.

При исследовании нелинейных волн в кубическом ферромагнетике с наведенной одноосной магнитной анизотропией свободную энергию обычно записывают в виде

w = — [ ,

V 1

F = А

д m

д х„

- К..т 2 - М „тН т - F

суб

(1)

(2)

Здесь т-единичный вектор намагниченности М = М 0 m , М0 =| М I - намагниченность насыщения; А - параметр неоднородного обменного взаимодействия, Ки - константа наведенной одноосной анизотропии вдоль

оси [001], нт - магнитостатическое поле, определяемое из уравнений магнитостатики

rot Н т = 0 , div Н т = - 4 жМ 0 div m ,

F- энергия кубической кристаллографической магнитной анизотропии. В системе координат с осями

* II [110], у II [110], z II [001]

F куб = К1

2 / 2 , 2 \ ^ ґ 2 2 \ 2

т . (т х + т v ) + — (т г - т v)

^Vx У J /I v х У 7

(3)

где К1 - константа кубической кристаллографической магнитной анизотропии.

Рассмотрим распространение нелинейных волн вдоль оси у II [110] . В одномерном случае плотность полной энергии Р в угловых переменных , то есть

можно записать в следующем виде

F

m = (sin Q sin q , COS Q , sin Q cos q) +

F = А Q У + Sin 2 Q q У ]+ F (°) +

) = К u sin 2 q sin 2 q + К т cos 2 q +

(4)

+ — К 1 4 1

cos 2 q sin 2 q sin 4 q + sin 2

2 /1 7 2

cos q (1 - -3- sin q

Шамсутдинов Данир Миннахатовнч - аспирант БашГУ, кафедра дифференциальных уравнени й.